Закон дюлонга и пти. Теплоемкость твердых тел. Закон Дюлонга и Пти

21.09.2019

Лабораторная работа № 36

1. Цель работы: закрепление теоретических знаний по теме 5.8. “Атомы и молекулы в квантовой физике”

приобретение практических навыков в решении задач по указанной теме

изучение методики расчетов

2. Порядок подготовки к выполнению работы: изучить тему и материал лабораторной работы

3. Порядок выполнения лабораторной работы

4. Подведение итогов выполнения работы

предъявить результаты, подготовка и оформление отчета, заполнить таблички, произвести обработку результатов измерений

5. техника безопасности при выполнении лабораторной работы

Цель работы: определить молярную теплоёмкость твёрдого тела. Проверить закон Дюлонга и Пти.

Теплоемкость кристаллов. Теория Эйнштейна.

Согласно классическим представлениям кристалл, состоящий из N атомов, является системой с 3N колебательными степенями свободы, на каждую из которых приходится в среднем энергия kT (½ kT в виде кинетической и ½ kT в виде потенциальной энергии). Из этих представлений вытекает закон Дюлонга и Пти, который утверждает, что молярная теплоемкость всех химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова и равна 3R. Этот закон выполняется достаточно хорошо только при сравнительно высоких температурах. При низких температурах теплоемкость кристаллов убывает, стремясь к нулю при приближении к 0К.

Значение kT для средней энергии колебательного движения получается в предположении, что энергия гармонического осциллятора может принимать непрерывный ряд значений. Ранее мы установили, что колебательная энергия квантуется. Это приводит к тому, что средняя энергия колебания оказывается отличной от kT. Согласно формуле () энергия гармонического осциллятора может иметь значения:

Приняв, что распределение осцилляторов по состояниям с различной энергией подчиняется закону Больцмана, можно найти среднее значение энергии гармонического осциллятора < ε >. Проделав выкладки, анологичные тем, которые привели нас к формуле (), получим для < ε > выражение, отличающееся от () лишь тем, что оно имеет дополнительное слагаемое ½ ħω. Таким образом:

Теория теплоемкости кристаллических тел, учитывающая квантование колебательной энергии, была создана Эйнштейном (1907) и впоследствии усовершенствована Дебаем (1912).

Эйнштейн отождествил кристаллическую решетку из N атомов с системой 3N независимых гармонических осцилляторов с одинаковой собственной частотой ω. Существование нулевой энергии колебаний было установлено значительно позже, лишь после создания квантовой механики. Поэтому Эйнштейн исходил из планкового значения энергии гармонического осциллятора . Соответственно в использованном Эйнштейном выражении для < ε > слагаемое ½ ħω отсутствовало.

Умножив второе слагаемое выражения () на 3N, Эйнштейн получил для внутренней энергии кристалла формулу

Продифференцировав выражение () по температуре, Эйнштейн нашел теплоемкость кристалла:

Величина T θ = называется характеристической температурой.

Рассмотрим два предельных случая.

1. Высокие температуры (kT>> ). В этом случае можно положить в знаменателе и 1 – в этом числителе формулы (). В результате для теплоемкости получается значение

Таким образом, мы пришли к закону Дюлонга и Пти.

2. Низкие температуры (kT<< ). При этом условии единицей в знаменателе выражения () можно пренебречь. Тогда формула для теплоемкости принимает вид

.

Экспоненциальный множитель изменяется значительно быстрее, чем T 2 . Поэтому при приближении к абсолютному нулю выражение () будет стремиться к нулю практически по экспоненциальному закону. Опыт показывает, что теплоемкость кристаллов изменяется вблизи абсолютного нуля не экспоненциально, а по закону T 3 . Следовательно, теория Эйнштейна дает лишь качественно правильный ход теплоемкости при низких температурах. Количественного согласия с опытом удалось достигнуть Дебаю.

В классической физике теория теплоемкости основывается на законе равнораспределения энергии по степеням свободы. Однородное твердое тело рассматривается как система независимых друг от друга частиц, имеющих три степени свободы и совершающих тепловые колебания с одинаковой частотой. Средняя энергия, приходящаяся на одну колебательную степень свободы равна kT. Тогда внутренняя энергия одного моля твердого тела равна U = 3 N А = 3 N А kT . В одном моле N = N А. Отсюда с учетом того, что k N А = R. имеем молярную теплоемкость химически простых кристаллических твердых тел

С μ = = 3R = 25 = 5,97

Эта теплоемкость для всех тел одинакова и не зависит от температуры или каких-либо иных характеристик этих тел. Особенно отчетливо зависимость теплоемкости от температуры обнаруживается в низкотемпературных экспериментах, корда классический закон равнораспределения энергий становится абсолютно непригодным

Это и есть закон Дюлонга и Пти.

Упражнение 1.

Оборудование: набор тел примерно одного объема из алюминия, стали, свинца, железа, вольфрама. Термостат. Электроплитка. Сосуд для кипячения воды. Секундомер, весы, штангенциркуль.

Порядок выполнения работы:

1. Определяем массу и теплоёмкость термостата. Для этого заливаем в термостат кипящую воду и через 2 мин. определяем установившуюся температуру.

m в с в (tº к - tº н) = m т с т (tº к,т - tº н,т)

m в - масса залитой воды

с в - удельная теплоёмкость воды

tº к - конечная (через 2 мин.)

tº н - 100ºС

m т - масса термостата

с т - удельная теплоёмкость термостата

tº к,т = tº к – конечная температура термостата

tº н,т – комнатная температура

2. Охлаждаем термостат. Кладём в него испытуемый металлический образец и повторяем опыт. Теперь

m в с в (tº к2 - tº н) = m А l с Al (tº к,т2 - tº н,т) + m т с т (tº к,т2 - tº н,т)

Из () находим m т с т и подставляем в (). Из () после этого находим теплоёмкость образца из металла.

Используем связь между молярной и удельной теплоёмкостью.

и определяем молярную теплоёмкость с м.

При выполнении работы в остывший термостат следует заливать каждый раз одинаковое количество кипящей воды при одинаковой температуре. Время установления теплового равновесия в термостате порядка двух минут. При изменениях в конструкции термостата его следует определять экспериментально заново. В опыте по пункту (1), фиксируя конечную температуру от времени τ и строя график tº, С.

Время t u – постоянная времени термостата и есть время установления теплового равновесия в термостате.

Данные эксперимента занести в таблицу

Упражнение 2.

Определение удельной теплоемкости металлов методом охлаждения

Оборудование: электропечь, набор образцов для исследования, секундомер, термопара, гальванометр, технические весы.

Введение

Всякое тело, которое имеет температуру выше температуры окружающей среды, будет охлаждаться, причем скорость охлаждения зависит от теплоемкости тела. Если взять два металлических стержня определенной формы, то, сравнивая кривые охлаждения (температуры как функции времени) этих образцов, один из которых служит эталоном (его удельная теплоемкость известна), можно определить теплоемкость другого образца, если определить скорость охлаждения.

Количество теплоты, теряемое элементарным объемом d V металла за время dt,

(1)

где с – удельная теплоемкость металла; r - его плотность; Т – температура образца (принимается одинаковой во всех точках образца, поскольку линейные размеры тела малы, а теплопроводность металла большая).

, (2)

где а – коэффициент теплоотдачи; - температура окружающей среды; dS – элемент поверхности.

Сравнивая формулы (1) и (2), получаем:

.

Общее количество теплоты, которое теряет весь объем образца,

.

Считая, что , с и r не зависят от координат точек объема, а а,Т, - от координат точек поверхности образца, можно записать:

, (3)

где V – объем образца; S – площадь его поверхности.

Запишем выражение (3) для двух образцов одинаковой формы и размеров, но из разных металлов . В этом случае их коэффициенты теплоотдачи будут одинаковы .

Разделив одно выражение на другое, после простых преобразований получим:

, (4)

где - массы соответственно первого и второго образцов.

Описание установки

Определение удельной теплоемкости металла производится на установке, схема которой приведена ниже.

Цилиндрическая электропечь 2 смонтирована на штативе 1, вдоль которого она может перемещаться вверх или вниз. Образец 3 представляет собой цилиндр с высверленным с одной стороны каналом. В этот канал помещают фарфоровую трубку с вмонтированной в нее термопарой 4. Температура образца определяется по гальванометру 5 с помощью градуировочного графика.

Порядок выполнения работы

1. Поместите внутрь образца фарфоровую трубку с термопарой.

2. Поднимите столик с образцом по направляющему стержню настолько, чтобы образец оказался внутри печи.

3. Включите печь в электрическую сеть.

4. Нагрев образец до температуры 250…300°С (определите для этого число делений шкалы гальванометра по графику), опустите образец, отключите электропечь.

5. Нагретый образец будет охлаждаться в неподвижном воздухе. Через каждые 10 с записывайте температуру Т образца по показаниям гальванометра. Время t отсчитывайте по секундомеру.

6. По полученным данным постройте для каждого образца кривые охлаждения, т.е. график Т = f(t) зависимости температуры образца от времени t, откладывая время по оси абсцисс, а температуру – по оси ординат.

7. Постройте графики зависимости скорости охлаждения ΔТ/Δt образца от температуры Т, т.е. ΔТ/Δt = f(Т). Для этого выберите на оси ординат графика Т=f(t) некоторые значения температур образца (например, 100°, 150°, 200°, и т. д.). Вблизи каждого значения температуры выберите небольшие одинаковые интервалы температур ΔТ. Из полученных точек проведите перпендикуляры к оси ординат так, чтобы они пересекались с графиком кривой охлаждения. Из этих точек пересечения проведите перпендикуляры на ось абсцисс. В результате на оси абсцисс получится ряд интервалов времени Δt 1 , Δt 2, Δt 3 , … , на протяжении которых образец при соответствующих Т 1 , Т 2 , Т 3 ,… охлаждается на ΔТ. Отношения ΔТ 1 / Δt 1 , ΔТ 2 / Δt 2 , ΔТ 3 / Δt 3 , характеризуют скорость охлаждения образцов при температурах Т 1 , Т 2 , Т 3 ,… . Получите числовые значения отношений ΔТ/ Δt для каждой выбранной температуры Т и результаты занесите в таблицу. Постройте графики зависимости ΔТ/Δt=f(T) для медного и железного образцов, откладывая по оси абсцисс значения температур Т, а по оси ординат- отношения ΔТ/Δt.

8. Определите теплоёмкость железа для температур 100°, 150°, 200°, 250°. Для этого в формулу (4) подставьте отношение ΔТ/Δt для каждого образца при этих температурах. За эталонный примите медный образец. Зависимость удельной теплоёмкости меди от температуры известна. Из прил. 20 возьмите значение теплоёмкости меди для соответствующих температур и подставьте в формулу (4). Массы m 1 и m 2 образцов определите взвешиванием.

Контрольные вопросы и задания.

1. Что называется теплоёмкостью и удельной теплоёмкостью?

2. Назовите единицы теплоёмкости и удельной теплоёмкости.

5. При каких условиях коэффициенты теплоотдачи двух образцов будут одинаковыми?

6. Каким образом в данной работе определяется температура образцов?

7. При каких температурах скорость охлаждения образцов выше - при низких или высоких?

8. В чём заключается суть определения теплоёмкости металлов методом охлаждения?

9. Каким образом изменяется теплоемкость твердых тел при высоких и при низких температурах по теории Эйнштейна и Дебая.

10. Дайте определение теплоемкости тела, удельной теплоемкости и молярной теплоемкости вещества.

11. Можно ли понятие теплоемкости перенести на изучение?

12. Что понимают под степенью свободы микрочастиц в кристалле?

13. Какими процессами определяются теплопотери в калориметре?

14. Почему калориметр должен быть металлическим и иметь хорошую теплоизоляцию?


Похожая информация.


Тепловые свойства твердых тел

При любой температуре атомы твердого тела совершают тепловые колебания. При нагреве твердого тела увеличивается колебательная энергия атомов, а при остывании твердого тела атомы излучают энергию. Закономерности поглощения и излучения тепловой энергии характеризуются теплоемкостью.

Молярная теплоемкость численно равна энергии, поглощенной веществом при его нагреве на 1 °С.

В 1819 г. Дюлонг и Пти экспериментально установили закон, согласно которому удельная теплоемкость всех твердых тел при высоких температурах есть величина постоянная и равная 25 Дж/моль×К, или 3R .

Согласно классической физике, тепловая энергия равномерно распределяется по степеням свободы: . Каждый атом имеет три степени свободы и характеризуется полной энергией, равной кинетической энергии плюс потенциальная энергия. Для отдельного атома . 1 моль вещества содержит N A атомов, тогда его средняя тепловая энергия E = 3N A kT .

Таким образом,

(6.2)

Однако, при низких температурах закон Дюлонга и Пти не работает (рис. 6.1) и это следует объяснить.

Рис. 6.1. Температурная зависимость теплоемкости твердых тел

Теплоемкость твердых тел.

1. Модель Эйнштейна.

В 1907 г. Эйнштейн, исходя из гипотезы Планка, предложил первую модель, объясняющую низкотемпературный ход теплоемкости. Он предположил:

1) Твердое тело – это совокупность одинаковых гармонических осцилляторов (атомов), которые колеблются независимо друг от друга с одинаковой частотой w в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

2) Энергия осцилляторов квантована по Планку .

(6.4)

(6.5)

а) Высокие температуры: (exp в числителе стремится к 1, в знаменателе exp разложим в ряд). Выполняется закон Дюлонга и Пти:

(6.6)

б) Низкие температуры:

(6.7)

т.е. C v ® 0 , .

Причина – неравномерное распределение энергии по степеням свободы, т.е. .

Однако, модель Эйнштейна плохо согласуется с экспериментом (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Сравнение расчетов по модели Эйнштейна (2) с экспериментальной зависимостью (1).



2. Модель Дебая

Дебай (1912 г.) учел наличие в твердом теле различных мод нормальных колебаний.

Тогда для единичного объема (5.50) через w :

(6.8)

Характеристическая температура Дебая q определяется через предельную частоту w D , соответствующую предельному значению волнового вектора k D на границе зоны Бриллюэна, когда т.е. при температуре Дебая возбуждены все возможные собственные колебания кристалла. В фазовом пространстве волновых векторов значение k D связано с полным числом колебаний N условием:

, (6.9)

где (2p ) 3 – объем k -пространства, приходящегося на 1 волновой вектор.

Так как , в p -пространстве объем равен h 3 , в k -про-странстве – (2p ) 3 .

Таким образом, k D = (6p 2 N ) 1/3 .

а) Высокие температуры:

e x – 1 » 1 + x – 1 = x

(6.10)

(6.11)

б) Низкие температуры:

Заменяя пределы интегрирования:

(6.12)

(6.13)

Этот результат хорошо согласуется с экспериментом при Т ~ 0 К и лучше, чем модель Эйнштейна при более высоких температурах (рис. 6.2).

Некоторые значения q для полупроводников приведены в таблице 6.1.

Таблица 6.1

DЕ g , эВ w о ×10 –13 q D , К
Si 1,08 9,45
Ge 0,66 4,8
GaAs 1,35 5,35

В металлах вклад в теплоемкость дают также свободные электроны плюс решетка (у диэлектриков)


Одной из основных характеристик твердых тел является их теплоемкость. Напоминаем (см.гл. 1 ), что теплоемкость тела С определяется как количество теплоты, необходимое для нагревания тела на 1 градус С = dQ /dT . Практически используют удельную и молярную теплоемкости , обозначаемые часто одинаково с , с размерностями, соответственно, джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг ⋅ К)) и джоуль на моль-кельвин (Дж/(моль ⋅ К)). Удельные (молярные) теплоемкости веществ являются характеристиками вещества и собраны в справочные таблицы.

Для твердых тел можно не различать теплоемкости при постоянном объемеСV и при постоянном давлении Ср и считать, что они равны СV = Ср = С . Это связано с тем, что твердые тела при нагревании мало изменяют свой объем и расходом тепла на совершение работы против внешних сил можно пренебречь. Тогда, согласно первому началу термодинамики , вся теплота расходуется на изменение внутренней энергиитела, и теплоемкость можно определить как С = dU /dT .

Как известно (см.гл. 1 ), в твердом теле молекулы находятся в потенциальной яме и совершают малые колебания около положения равновесия. Связи молекул (ионов, атомов) в кристаллических твердых телах хорошо (в аморфных хуже) можно промоделировать «пружинками». Поэтому энергия молекул может быть записана как сумма кинетической mV 2/2 и потенциальной kx 2/2 энергии пружинного маятника, совершающего колебания по закону . В среднем за период кинетическая и потенциальная энергии равны (докажите). Поэтому средняя энергия в расчете на одну молекулу в твердом теле равна . Используя основное уравнение молекулярно-кинетической теории, получим для твердых тел:

(5.28)

(Напомним, здесь ν - количество вещества.)

Отсюда получаем теплоемкость твердого тела С = 3νR . Молярная теплоемкость идеального кристалла будет равна (закон Дюлонга и Пти ):

c = cV = cp = 3iR , (5.29)

где i - число атомов в молекуле твердого вещества.

5.9.2. Понятие о квантовой теории
твердых тел

Свойства твердых тел получили свое объяснение только на основе квантовой механики.

Недостаточность классической физики для объяснения строения (и свойств) твердых тел становится ясной, если вдуматься, например, в суть излагаемой в курсе химии модели (версии модели!) типичных твердых кристаллических веществ - металлов. Всегда рисуют в узлах решетки положительные ионы («остов»), а между ними хаотически движущийся газ отрицательных частиц (электроны). С точки зрения электростатики такая модель существовать не может. Что удерживает электроны и не дает им сесть на ионы? Что удерживает сами ионы в узлах? Почему электроны (заряженные частицы), двигаясь с ускорениями, не излучают электромагнитные волны в соответствии с законами электродинамики? Число таких вопросов, не имеющих ответов в рамках механики и электродинамики, можно легко увеличить.

Оказывается, что в квантовой теории можно построить теорию твердых тел без противоречий с наблюдаемыми свойствами.

Как и в атоме водорода в модели Бора электроны в твердом теле находятся в стационарных состояниях - в состояниях, в которых они не излучают. Из-за того что электронов в веществе, а значит и таких состояний, очень много, то энергии их могут принимать все значения (в некоторых пределах). Электроны в таких стационарных состояниях и есть электронный газ . Электростатическая энергия отталкивания ионов компенсируется энергией химической связи - энергией, выделяющейся из-за перекрытия плотностей вероятности обнаружения электронов. Именно энергия перекрытия, специфически квантовый эффект, приводит к появлению сил притяжения в потенциале Леннард–Джонса (слагаемое (–В /r 12)). Она же лежит в основе ковалентной и металлической химических связей .

ОТКРЫТИЕ ДЮЛОНГА И ПТИ

В истории физики 1819 г. отмечен свершением: французские ученые Пьер Луи Дюлонг и Алексис Терез Пти опубликовали результаты своих опытов по измерению теплоемкости твердых тел. Обобщая эти результаты, они сформулировали фундаментальный закон, согласно которому произведение теплоемкости одного грамма вещества в твердом состоянии на его молярную массу есть величина почти одинаковая для всех веществ, не зависит от температуры и составляет около шести калорий. Или, по-иному, теплоемкость в расчете на моль для всех веществ одна и та же: 6 кал/(моль К). Осторожные слова «почти» и «около» нисколько не умаляют значимости обобщения. Это будет ясно из дальнейшего.

Сейчас трудно надежно реконструировать психологическую канву, на фоне которой было сделано это открытие, но думается, что, найдя такое широкое обобщение, Дюлонг и Пти должны были быть потрясены его величием. Так как моль любого вещества содержит одно и то же количество атомов, то находка Дюлонга и Пти означает, что для повышения на один градус температуры твердого вещества каждый его атом поглощает одно и то же количество энергии. Ничего удивительного нет в том, что все атомы данного элемента равноправны: с чего бы, собственно, им отличаться? А вот что перед законом равны и атомы различных элементов - это должно было бы поразить и открывателей, и их современников.

Для нас, прослеживающих судьбы живого кристалла, закон Дюлонга и Пти может явиться источником сведений о том, как движутся атомы в кристалле, - именно поэтому и начат рассказ о теплоемкости. Ведь тепло, поглощаемое кристаллом при его нагреве, расходуется на увеличение интенсивности теплового движения атомов.

Сделаем конкретное предположение о характере этого движения и попытаемся теоретически оправдать закон Дюлонга и Пти. Можно было бы строить логику в обратном порядке: исходить из закона Дюлонга и Пти и пытаться понять, какому характеру движения атомов он соответствует. Воспользуемся первой возможностью.

Допустим, что каждый атом в узле кристаллической решетки колеблется подобно маятнику независимо от своих соседей, ближних и тем более дальних. Воспользуемся следующей моделью кристалла и происходящего в нем теплового движения. Представим себе атом в виде весомого шарика, укрепленного на трех парах взаимно перпендикулярных пружинок так, как это изображено на рисунке. Три пары пружинок символизируют то обстоятельство, что атом может колебаться в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Физики говорят так: атом имеет три независимые степени свободы. Итак, принимаем модель: кристалл - совокупность упорядоченно расположенных в пространстве «трехпружинных» маятников, каждый из которых по существу является совокупностью трех осцилляторов.

Прежде чем эту модель положить в основу расчета теплоемкости, необходимо определить энергию колеблющегося маятника. Безотносительно к значению этой энергии можно утверждать, что в течение одного периода колебаний маятника ее величина должна оставаться неизменной, к этому ее обязывает закон сохранения энергии. В предыдущей фразе упомянут «один период» лишь потому, что любой из периодов в равной мере подвластен закону сохранения энергии. В колеблющемся маятнике последовательно происходит преобразование кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую, при этом в среднем за период каждая из этих энергий оказывается равной kT /2 , и в сумме они составляют полную энергию осциллятора

W o = kT , где k - уже встречавшаяся константа Больцмана.

В кристалле, масса которого равна молярной, имеется N атомов, т. е. 3N маятников, где N = 6 10 23 моль -1 - так называемое число Авогадро. Так как средняя тепловая энергия каждого из атомов W o , то тепловая энергия, заключенная в кристалле, W = 3 NkТ . Зная энергию W , мы легко определим теплоемкость кристалла:

С = W/Т = 3Nk . Если воспользоваться известными значениями N и k и учесть, что одна калория равна 4,2 10 7 эрг, легко убедиться, что предыдущая формула означает: С ? 6 кал/(моль К)!

Серьезный успех: мы придумали элементарную модель теплового движения в кристалле и получили закон Дюлонга и Пти. Прочтем наш результат немного по-иному: согласующийся с нашим расчетом и экспериментально подтвержденный закон Дюлонга и Пти свидетельствует о том, что мы, видимо, правильно понимаем характер теплового движения атомов в кристалле, воплощенный в нашей модели.

Все сказанное - правда, однако не вся правда. Хочется сказать так: только «высокотемпературная» часть правды. Дело в том, что прошло не более десяти лет после открытия Дюлонга и Пти, как было обнаружено, что некоторые тугоплавкие вещества, например алмаз, не подчиняются этому закону. А потом было установлено, что теплоемкость таких веществ не является постоянной, как это предсказывает закон Дюлонга и Пти, а увеличивается с ростом температуры, стремясь к тому значению, которое законом предусматривается.

Со временем, когда научились экспериментировать в области низких температур, выяснилось, что особенность поведения тугоплавких веществ - никакая не особенность, а, наоборот, является нормой для всех веществ.

Эта «особенность» впервые обнаружилась на тугоплавких веществах просто потому, что «комнатная» температура по сравнению с их температурой плавления низка. Закон Дюлонга и Пти, обнаружившись, выглядел откровением, а на поверку оказался лишь долей правды, ее «высокотемпературной» частью!

Отвлечемся от того чувства разочарования, которое, видимо, испытывал Дюлонг (Пти ушел из жизни вскоре после открытия закона). Закроем пока глаза на «низкотемпературную» правду и тщательнее вдумаемся в открытие французских физиков: «низкотемпературная» правда не отменяет справедливости закона Дюлонга и Пти в области высоких температур, где закон может быть использован для уточнения характеристик теплового движения атомов.

Из закона Дюлонга и Пти, разумеется применительно к той области температур, где он подтверждается экспериментально, следует, что, участвуя в тепловом движении, атомы в узлах решетки колеблются подобно обычным маятникам. До сих пор мы довольствовались лишь знанием энергии этих колебаний. А теперь построим элементарную теорию колебаний атома в кристалле и установим амплитуду А и период ? 0 этих колебаний.

Немного упростим модель кристалла. Пусть атомы, окружающие данный «одиночный» атом, колебаний не совершают, а лишь, взаимодействуя с колеблющимся, определяют силы притяжения и отталкивания, которые действуют на него в соответствии с потенциалом взаимодействия между ним и окружающими атомами. И еще больше упростим реальную ситуацию, допустив, что атом совершает колебания лишь вдоль определенной прямой, а не во всех трех направлениях в пространстве. В рамках такой модели естественно атом, колеблющийся в узле решетки, мысленно заменить грузиком, колеблющимся на пружинке: грузик - атом, пружинка - упругое окружение. К помощи пружинки мы недавно уже прибегали.

Не увели ли нас предположения и упрощения далеко в сторону от тех реальных условий, в которых колеблется реальный атом в узле реальной кристаллической решетки? Кажется, не увели. Пружинка удачно моделирует наличие силы притяжения (когда она растянута) и силы отталкивания (когда она сжата). Грузик хорошо моделирует атом, так как в нашей задаче, если силы заданы, от атома требуется лишь иметь определенную массу, а грузик ее имеет. А то, что в избранной модели колебания происходят вдоль прямой, существа дела практически не искажает, так как более сложное колебание можно представить в виде суммы прямолинейных, - этой возможностью мы уже пользовались, когда, объясняя открытие Дюлонга и Пти, предполагали, что каждый из атомов участвует в трех прямолинейных колебаниях.

Определим вначале амплитуду колебаний атома. Потенциальная энергия W п колеблющегося грузика, очевидно, не должна зависеть от того, смещается он влево или вправо от своего среднего положения, когда пружина и не сжата, и не растянута. А это означает, что

где ? - постоянная величина, характеризующая упругие свойства пружины. Эта величина определяет силу, действующую на грузик со стороны пружины: F = - ?х .

При максимальном отклонении колеблющегося атома от положения равновесия, т. е. при отклонении на величину амплитуды колебаний А , как мы уже знаем, вся энергия атома kТ будет запасена в виде потенциальной энергии. Это означает, что

?A 2 / 2 = kT

и, следовательно,

A = (2kT / ?) 1/2

Полученная формула неприятна тем, что в нее входит неизвестная нам величина ? . Впрочем, ее нетрудно связать с известными характеристиками кристалла. Для этого левую и правую части формулы, которая определяет силу F , поделим на а 2 , где а - межатомное расстояние:

F/а 2 = - ?/а . x /а

Легко усмотреть, что F/a 2 - напряжение, действующее на атом, х/а - относительное смещение атома. Если оно невелико, последняя формула просто является записью закона Гука, а отношение ?/а имеет смысл модуля упругости Е . Итак, ? = Еа , а амплитуда

A = (2kT /Ea ) 1/2 ? T 1/2

Из нашего расчета следует, что амплитуда колебаний атома с температурой возрастает по закону T 1/2 . У металлов, для которых Е ? 10 12 дин/см 2 , а ? 3 10 -8 см, в области предплавильных температур амплитуда А ? 2 . 10 -9 см и, следовательно, составляет несколько процентов от величины межатомного расстояния. Много это или мало? Конечно же, немного, если иметь в виду сохранение решетки как таковой, если заботиться о том, чтобы тепловые колебания не расшатали кристалл, лишив его порядка в расположении атомов. При найденной нами амплитуде колебаний атомов кристалл сохраняет свою индивидуальность, еще не теряет «черты кристалла».

Определим теперь период колебаний атома. Если иметь в виду лишь приближенную оценку, то сделать это совсем несложно. Когда вся тепловая энергия колеблющегося атома преобразована в его кинетическую энергию, атом движется с максимальной скоростью, которая следует из условия

Мы сделали грубое предположение, сочтя, что на протяжении всего периода колебаний атом движется с максимальной скоростью. Как выясняется, оно привело нас к потере численного множителя 2? . Точная формула выглядит так:

Мы получили результат, противоречащий интуиции: кажется странным, что период колебаний атома в решетке практически не зависит от температуры, разве что лишь в меру очень слабой температурной зависимости модуля упругости. Здесь следует подчеркнуть: не при всех температурах, а лишь при высоких температурах, когда вообще справедливо все то, что рассказано в очерке. Так как масса атома

m ? 10 -22 грамм, то ? 0 = 10 -13 - 10 -12 с

Итак, мы оценили две фундаментальные характеристики движения атома в кристалле: амплитуду и период колебаний. Их значения свидетельствуют об очень активной жизнедеятельности атома: он за секунду, не меняя положения оседлости, совершает п = 1/? 0 = 10 12 - 10 13 колебаний, проходя при этом путь протяженностью L = па = (10 12 - 10 13) 10 -9 см = 10 3 - 10 4 см!

История закона Дюлонга и Пти - отличная иллюстрация к одной из общих закономерностей развития науки: в ее ткань входят не только завершенные «глыбы» правды, но и те «крупицы» знаний, которые оказываются лишь долей правды.

Из книги Откровения Николы Теслы автора Тесла Никола

Из книги Нейтрино - призрачная частица атома автора Азимов Айзек

Открытие мезона Пока обменные частицы не найдены и их существование не продемонстрировано каким-либо образом, они остаются не более чем теоретическим вымыслом. Мы знаем, что виртуальная частица остается виртуальной толь-ко потому, что системе, из которой она возникает,

Из книги Курс истории физики автора Степанович Кудрявцев Павел

Открытие Рентгена Конец XIX в. ознаменовался повышенным интересом к явлениям прохождения электричества через газы.Еще фарадей серьезно занимался этими явлениями, описал разнообразные формы разряда, открыл темное пространство в светящемся столбе разреженного газа,

Из книги 50 лет советской физики автора Лешковцев Владимир Алексеевич

Открытие радиоактивности Открытие рентгеновских лучей произошло 8 ноября 1895 г. Сообщение об открытии датировано 28 декабря. Более полутора месяцев ученый тщательно исследовал неведомые лучи. Ему удалось установить, что они возникают там, где стенки трубки сильно

Из книги Кто изобрел современную физику? От маятника Галилея до квантовой гравитации автора Горелик Геннадий Ефимович

Открытие квантов Открытие рентгеновских лучей (Рентген, 1895 г.), радиоактивности (Беккерель, 1896 г.), электрона (Том-сон, 1897 г.), радия (Пьер и Мария Кюри, 1898 г.) положили начало изучению атомной и ядерной физики. В 1899 г. Э. Резерфорд выступил с большой статьей о радиоактивности,

Из книги Достучаться до небес [Научный взгляд на устройство Вселенной] автора Рэндалл Лиза

Открытие атомного ядра Рассмотрим несколько подробнее одно из фундаментальных открытий Резерфорда -открытие атомного ядра и планетарной модели атома. Мы видели, что уподобление атома планетной системе делалось еще в самом начале XX в. Но эту модель было трудно

Из книги Бозон Хиггса. От научной идеи до открытия «частицы Бога» автора Бэгготт Джим

Открытие спина В 1925 г. в физику было введено новое фундаментальное понятие спина. Это понятие было введено Уленбеком и Гаудсмитом, работавшими летом 1925 г. у Эренфеста в Лейдене. К этому времени В. Паули опубликовал свою работу, содержащую формулировку принципа запрета,

Из книги Фарадей. Электромагнитная индукция [Наука высокого напряжения] автора Кастильо Сержио Рарра

Из книги Охотники за частицами автора Рыдник Виталий Исаакович

ОТКРЫТИЕ ЭКСИТ В 1931 г. член-корреспондент АН СССР Яков Ильич Френкель теоретически предсказал весьма интересное физическое явление. Решая задачу о возбуждении атомов в идеальном кристалле, он показал, что возбужденное состояние, возникшее у какого-либо атома такого

Из книги автора

Из книги автора

Глава 8 Открытие Вселенной Новый физический объект - ВселеннаяСлово «вселенная» настолько обычно в русском языке, что его не выкинешь из народной песни: Всю-то я вселенную проехал, Нигде милой не нашел. ………………………………… За твои за глазки голубые Всю вселенную

Из книги автора

ОТКРЫТИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И КВАРКОВ Все объекты в атоме - электроны, обращающиеся вокруг ядра, и кварки, удерживаемые глюонами внутри протонов и нейтронов - были экспериментально обнаружены учеными при помощи Миниатюрных «зондов» с высокими энергиями. Мы уже видели, что

Из книги автора

ОТКРЫТИЕ КВАРКОВ С 1967 по 1973 г. Джером Фридман, Генри Кендалл и Ричард Тейлор провели серию экспериментов, которые помогли установить существование кварков внутри протонов и нейтронов. Эксперименты проводились на линейном ускорителе, который, в отличие от прежних

Из книги автора

Часть вторая Открытие

Из книги автора

ОТКРЫТИЕ БЕНЗОЛА Одно из самых важных открытий Фарадея в области химии было связано с его братом, китами и прозрачной бесцветной жидкостью, имевшей запах миндаля.В середине 1820-х годов старший брат Фарадея, Роберт, начал работать в компании по поставкам газа,

Из книги автора

Глава 5 Открытие невидимки Изгнание электронаНаука - та же армия. Наука никогда не ведет наступление с одинаковой силой по всем фронтам. Сегодня - прорыв оборонительной полосы на одном участке фронта, завтра - на другом, послезавтра - на третьем. Только эти «сегодня»,



Интересные статьи

Интересные статьи

© dagexpo.ru, 2024
Стоматологический сайт