Основная идея Шрёдингера состоит в том, чтобы математическую аналогию между геометрической оптикой и классической механикой перенести на волновые свойства света и частиц.

Получим уравнение Шрёдингера из выражения для волновой функции свободного электрона . Перепишем его в комплексной форме .

Используя связи частоты с энергией, а волнового числа с импульсом, получаем: .

В общем случае – полная энергия частицы, , – кинетическая энергия и –энергия взаимодействия.

Найдем первую производную по и вторую по координате от ф-ции Y: (1), (2).

Домножим уравнение (1) на , а уравнение (2) на (таким образом множители в правых частях будут иметь размерность энергии):

, .

Сложим полученные уравнения:

.

Так как , то последнее равенство перепишется в виде .

Это и есть уравнение Шрёдингера. Оно получено для одной координаты . Если его переписать для 3 координат , то введя оператор Лапласа, окончательно будем иметь

.

Уравнение Шрёдингера нельзя непосредственно вывести из фундаментальных законов классической физики. Уравнение Шрёдингера позволяет находить волновую функцию в произвольный момент времени. Для этого надо знать волновую ф-цию в фиксированный момент времени, массу частицы и энергию взаимодействия частицы с силовым полем. Найденная волновая ф-ция дает возможность рассчитать вероятность нахождения частицы в произвольной точке пространства для любого момента времени.

Основные свойства, которым должны удовлетворять волновые функции – решения уравнения Шрёдингера:

1. Волновая функция линейна, т.е. если …- решения уравнения, то их линейная комбинация – решение.

2. Первые частные производные по координатам являются линейными

3. Волновая функция и её пространственные производные должны быть однозначными, конечными и непрерывными.

4. При стремлении к ∞ значение волновой функции должно стремиться к нулю.

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний.

Если силовое поле, в котором движется описываемая частица, стационарно, то потенциал его не зависит явно от времени, а функция имеет смысл потенциальной энергии и зависит только от координат . В этом случае волновую функцию можно представить как произведение двух. Одна функция зависит только от , другая – только от времени :

Подставим последнее выражение в уравнение Шрёдингера

После сокращения на временной множитель и некоторых элементарных преобразований получим: (*).

Это уравнение Шрёдингера для стационарных состояний. В него входит только координатная часть волновой ф-ции – . Если последняя будет найдена, то полная волновая ф-ция находится домножением координатной части на временной множитель .

Поскольку вероятность определяется квадратом волновой ф-ции, а квадрат комплексной величины находится умножением на комплексно сопряженную, то имеет место следующее соотношение для стационарных волновых функций:

Таким образом, чтобы найти волновую ф-цию для стационарных состояний, необходимо решить уравнение (*) и знать полную энергию .

Свободное движение частиц.

Во время свободного движения квантовой частицы никакие силы на нее не действуют и можно ее потенциальную энергию равной нулю. Пусть движение частицы происходит в направлении , тогда (*) принимает вид: .

Частным решением этого уравнения является ф-ции вида , где и – константы. Если подставить искомое решение в само уравнение, то мы получим связь энергии частицы и величины :

Полная волновая функция с учетом зависимости от времени для свободной частицы имеет вид . Это плоская монохроматическая волна с частотой и волновым числом . Так как , а , то .

Эту лекцию я читаю вам для развлечения. Захотелось посмотреть, что получится, если начать читать в немного ином стиле. В курс она не входит, и не думайте, что это попытка обучить вас в последний час чему-то новому. Я скорее воображаю, будто провожу семинар или будто делаю отчет об исследованиях перед более подготовленной аудиторией, перед людьми, которые в квантовой механике уже многое понимают. Основное различие между семинаром и регулярной лекцией в том, что на семинаре докладчик не приводит все стадии, всю алгебру выкладок. Он просто говорит: «Если вы проделаете то-то и то-то, то получится вот что», а в детали не входит. Вот и в этой лекции будут только высказываться идеи и приводиться результаты расчетов. А вы должны понимать, что вовсе не обязательно во всем немедленно и до конца разбираться, надо только верить, что если проделать все выкладки, то все так и получится.

Но это не все. Главное – что об этом мне хочется говорить. Это такая свежая, актуальная, современная тема, что вполне законно вынести ее на семинар. Тема эта – классический аспект уравнения Шредингера, явление сверхпроводимости.

Обычно та волновая функция, которая появляется в уравнении Шредингера, относится только к одной или к двум частицам. И сама волновая функция классическим смыслом не обладает в отличие от электрического поля, или векторного потенциала, или других подобных вещей. Правда, волновая функция отдельной частицы - это «поле» в том смысле, что она есть функция положения, но классического значения она, вообще говоря, не имеет. Тем не менее бывают иногда обстоятельства, в которых квантовомеханическая волновая функция действительно имеет классическое значение, именно их я и хочу коснуться. Своеобразие квантовомеханического поведения вещества в мелких масштабах обычно не дает себя чувствовать в крупномасштабных явлениях, если не считать стандартных выводов о том, что оно вызывает к жизни законы Ньютона, законы так называемой классической механики. Но существуют порой обстоятельства, в которых особенности квантовой механики могут особым образом сказаться в крупномасштабных явлениях.

При низких температурах, когда энергия системы очень-очень сильно убывает, вместо прежнего громадного количества состоянии в игру включается только очень-очень малое количество состояний - тех, которые расположены неподалеку от основного. При таких условиях квантовомеханический характер этого основного состояния может проявиться на макроскопическом уровне. Вот целью этой лекции и будет продемонстрировать связь между квантовой механикой и крупномасштабными эффектами – не обычное обсуждение пути, по которому квантовая механика в среднем воспроизводится ньютоновой механикой, а специальный случай, когда квантовая механика вызывает свои собственные, характерные для нее эффекты в крупных, «макроскопических» размерах.

Начну с того, что напомню вам кое-какие свойства уравнения Шредингера. Я хочу с помощью уравнения Шредингера описать поведение частицы в магнитном поле, потому что явления сверхпроводимости связаны с магнитными полями. Внешнее магнитное поле описывается векторным потенциалом, и вопрос состоит в том, каковы законы квантовой механики в поле векторного потенциала. Принцип, определяющий квантовомеханическое поведение частицы в поле векторного потенциала, очень прост. Амплитуда того, что частица при наличии поля перейдет по некоторому пути из одного места в другое (фиг. 19.1), равна амплитуде того, что она прошла бы по этому пути без поля, умноженной на экспоненту от криволинейного интеграла от векторного потенциала, умноженного в свою очередь на электрический заряд и деленного на постоянную Планка [см. гл. 15, § 2 (вып. 6)]:

Это исходное утверждение квантовой механики.

Фиг. 19.1. Амплитуда перехода из в по пути пропорциональна .

И вот в отсутствие векторного потенциала уравнение Шредингера для заряженной частицы (нерелятивистской, без спина) имеет вид

где – электрический потенциал, так что – потенциальная энергия. А уравнение (19.1) равнозначно утверждению, что в магнитном поле градиенты в гамильтониане нужно каждый раз заменять на градиент минус , так что (19.2) превращается в

Это и есть уравнение Шредингера для частицы с зарядом (нерелятивистской, без спина), движущейся в электромагнитном поле .

Чтобы стало ясно, что оно правильно, я хочу проиллюстрировать это простым примером, когда вместо непрерывного случая имеется линия атомов, расставленных на оси на расстоянии друг от друга, и существует амплитуда того, что электрон перепрыгнет в отсутствие поля от одного атома к другому. Тогда, согласно уравнению (19.1), если имеется вектор-потенциал в -направлении, то амплитуда перескока по сравнению с тем, что было раньше, изменится, ее придется домножить на - экспоненту с показателем, равным произведению на векторный потенциал, проинтегрированный от одного атома до другого. Для простоты мы будем писать , поскольку , вообще говоря, зависит от . Если обозначить через амплитуду того, что электрон обнаружится возле атома , расположенного в точке , то скорость изменения этой амплитуды будет даваться уравнением

В нем три части. Во-первых, у электрона, который находится в точке , есть некоторая энергия . Это, как обычно, дает член . Затем имеется член , т. е. амплитуда того, что электрон от атома , расположенного в , отпрыгнул на шаг назад. Однако если это происходит в присутствии векторного потенциала, то фаза амплитуды обязана сместиться согласно правилу (19.1). Если на расстоянии между соседними атомами заметно не изменяется, то интеграл можно записать попросту в виде значения посредине, умноженного на расстояние. Итак, произведение на интеграл равно . А раз электрон прыгал назад, я этот сдвиг фазы отмечаю знаком минус. Это дает вторую часть. И точно так же имеется некоторая амплитуда того, что будет прыжок вперед, но на этот раз уже берется векторный потенциал с другой стороны от , на расстоянии , и умножается на расстояние . Это дает третью часть. В сумме получается уравнение для амплитуды того, что частица в поле, характеризуемом векторным потенциалом, окажется в точке .

Но дальше мы знаем, что если функция достаточно плавная (мы берем длинноволновый предел) и если мы сдвинем атомы потеснее, то уравнение (14.4) (стр. 80) будет приблизительно описывать поведение электрона в пустоте. Поэтому следующим шагом явится разложение обеих сторон (19.4) по степеням , считая очень малым. К примеру, если , то правая часть будет равна просто , так что в нулевом приближении энергия равняется . Затем пойдут степени , но из-за того, что знаки показателей экспонент противоположны, останутся только четные степени. В итоге, если вы разложите в ряд Тэйлора , и экспоненты и соберете затем члены с , вы получите. А теперь вспомните, что решения в нулевом магнитном поле (см. гл. И, § 3) изображают частицу с эффективной массой , даваемой формулой

Если вы затем положите и снова вернетесь к , то легко убедитесь, что (19.6) это то же самое, что первая часть (19.3). (Происхождение члена с потенциальной энергией хорошо известно, и я не буду им заниматься.) Утверждение (19.1) о том, что векторный потенциал умножает все амплитуды на экспоненциальный множитель, равнозначно правилу, что оператор импульса заменяется на , как мы и сделали в уравнении Шредингера (19.3).

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
И ЕГО ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ (продолжение): прохождение частицы через ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР, Гармонический осциллятор

Прохождение частицы через потенциальный барьер для классического случая нами уже рассматривался в ЛЕКЦИИ 7 ЧАСТИ 1 (см. рис. 7.2). Рассмотрим теперь микрочастицу, полная энергия которой меньше уровня U потенциального барьера (рис. 19.1). В классическом варианте в этом случае прохождение частицы через барьер невозможно. Однако в квантовой физике существует вероятность, что частица пройдет. Причем она не "перепрыгнет" через него, а как бы "просочится", употребив свои волновые качества. Поэтому эффект еще называется "туннельным". Для каждой из областей I, II, III запишем стационарное уравнение Шредингера (18.3).

Для I и III : , (19.1, а)

для II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, где a = const. Тогда и y" = . Подстановка y" в (19.1a) дает: Искомое общее решение для области I запишется в виде суперпозиции

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

В этом случае начальная точка распространения волны сдвинута на L , a В 3 = 0 , поскольку в области III имеется только проходящая волна.

В области II (барьер) подстановка y" в (19.1б) дает

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

Вероятность прохождения характеризуется коэффициентом прохождения - отношением интенсивности прошедшей волны к интенсивности падающей:

(0) = y2"(0) , y2"(L ) = y3"(L ); (19.5)

из которых первые два означают "сшивание" функций на левой и на правой границах барьера, а третье и четвертое - гладкость такого перехода. Подставляя в (19.5) функции y1, y2 и y3, получим уравнения

Поделим их на А 1 и обозначим a 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; a 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.

. (19.6)

Умножим первое уравнение (19.6) на i k и сложим со вторым. Получим 2 i k = a 2(q + i k ) - b 2(q - i k ) . (19.7)

Вторую пару уравнений (19.6) будем рассматривать как систему двух уравнений с неизвестными a 2 и b 2.

Детерминанты этой системы:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

где e-qL (q+ i k) 2 » 0, т. к. qL >> 1.

Поэтому https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63">, и, чтобы найти модуль комплексной величины а 3, умножим числитель и знаменатель полученной дроби на (q + i k )2. После простых преобразований получим

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Обычно E/U ~ 90% и весь коэффициент перед "е" имеет порядок единицы. Поэтому вероятность прохождения частицы через барьер определяется следуюшим соотношением:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

Это означает, что при E < U частица барьера не преодолеет, т. е. туннельный эффект в классической физике отсутствует.

Этот эффект используется в инженерной практике для создания туннельных диодов, широко применяемых в радиотехнических устройствах (см. ЧАСТЬ 3, ЛЕКЦИЯ 3).

Кроме того, оказалось возможным инициировать в земных условиях термоядерную реакцию синтеза, которая на Солнце идет в обычных для Солнца условиях - при температуре T ~ 109 K . На Земле такой температуры нет, однако, благодаря туннельному эффекту, есть вероятность запуска реакции при температуре T ~ 107 K , имеющей место при взрыве атомной бомбы, которая и явилась запальным устройством для водородной . Более подробно об этом в следующей части курса.

Гармонический осциллятор. Классический гармонический осциллятор нами также уже рассматривался (ЛЕКЦИИ 1,2 ЧАСТИ 3). Им, например, является пружинный маятник, полная энергия которого E = mV 2/2 + kx 2/2. Теоретически эта энергия может принимать непрерывный ряд значений, начиная от нуля.

Квантовый гармонический осциллятор - это колеблющаяся по гармоническому закону микрочастица, находящаяся в связанном состоянии внутри атома или ядра. При этом потенциальная энергия остается классической, характеризуя аналогичную упругую возвращающую силу kx . Учитывая, что циклическая частота получим для потенциальной энергии https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

В математическом отношении задача эта еще более сложная, чем предыдущие. Поэтому ограничимся констатацией того, что получится в результате. Как и в случае с одномерной ямой, мы получим дискретный спектр собственных функций и собственных энергий, и одному собственному значению энергии будет соответствовать одна волновая функция: En Û yn (нет вырождения состояний, как в случае с трехмерной ямой). Плотность вероятности |yn|2 также представляет собой осциллирующую функцию, однако высота "горбов" различна. Это уже не банальный sin 2 , а более экзотические полиномы Эрмита Hn (x ). Волновая функция имеет вид

, где С n - зависящая от n константа. Спектр собственных значений энергий:

, (19.10)

где квантовое число n = 0, 1, 2, 3 ... . Таким образом, существует и "нулевая энергия" , выше которой спектр энергий образует "этажерку", где полочки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 19.2). На том же рисунке для каждого уровня энергии показана соответствующая плотность вероятности |yn|2, а также потенциальная энергия внешнего поля (пунктирная парабола).

Существование отличной от нуля минимально возможной энергии осциллятора имеет глубокий смысл. Это означает, что колебания микрочастиц не прекращаются никогда , что в свою очередь означает недостижимость абсолютного нуля температуры.

1. , Бурсиан физика: Курс лекций с компьютерной поддержкой: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений: В 2 т. – М.: Изд-во ВЛАДОС-ПРЕСС, 2001.

В принципе ничего особенного, их можно найти в таблицах и даже построить графики.

Уравнение Шредингера

Уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого вытекали бы волновые свойства частиц. Оно должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ(х , у , z , t ), так как величина │ Ψ│ 2 определяет вероятность пребывания частицы в момент времени в объеме.

Основное уравнение сформулированоЭ. Шредингером: уравнения не выводится, а постулируется.

Уравнение Шредингера имеет вид:

- ΔΨ + U (x ,y , z , t )Ψ = iħ , (33.9)

где ħ=h/ (2π ), т -масса частицы, Δ-оператор Лапласа, i - мнимая единица,U (x ,y ,z ,t ) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ(x ,y , z , t ) - искомая волновая функция частицы.

Уравнение (32.9) является общим уравнением Шредингера . Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (33.9) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний - состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функцияU (x ,y ,z ,t ) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии.

∆ Ψ + (E -U )Ψ = 0. (33.10)

Уравнение (33.10) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний .

В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. Решение уравнения имеет место не при любых значениях параметра Е , а лишь при определенном наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный и дискретный ряд.

33.5. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками»

Свободная частица - частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х ) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U (х ) = соnstи ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. Энергия свободной частицы может принимать любые значения, т. е. ее энергетический спектр является непрерывным. Свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля, и все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к свободной частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» (рис.33.1). Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х )

∞, х < 0

U (x ) = {0, 0 ≤ х ≤ l }(33.11)

∞, х > 1

где l - ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис.33.1).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

+ (Е- U )Ψ = 0. (33.12)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х =0 и х=l ) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

Ψ(0)=Ψ(l )=0. (33.13)

В пределах «ямы» уравнение Шредингера сведется к уравнению

+ Е Ψ = 0. (33.14)

Стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е п зависящих от целого числа п .

Е п = ,( n= 1, 2, 3, …).(33.15)

(Документ)

Фадеева А.А. Тренировочные задания по физике (Документ)

Решения экзаменационных билетов по физике (3 семестр, оптика, ядерная физика) (Документ)

Билеты с ответами на экзамен по физике (раздел Оптика) (Документ)

Струж Н., Чиж О. ДПА 2012. Фізика 11 клас: Розв"язки завдань державної підсумкової атестації (Документ)

(Документ)

ЕГЭ 2011 - Диагностическая работа по физике (Документ)

n1.doc

Уравнение Шредингера

Для описания поведения микрочастиц необходима особая форма механики, учитывающая их волновые свойства. Новая механика получила название волновой или квантовой механики. Основные авторы Шредингер, Гайзенберг, Дирак, Паули. Кроме того, в Копенгагене активно работала группа под общим руководством Н. Бора.

Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера. Подобно тому, как уравнения динамики Ньютона не могут быть получены теоретически, а представляют собой обобщение большого числа опытных фактов, уравнение Шредингера также нельзя вывести из каких – либо известных ранее соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия достаточно точно согласуются с опытными фактами.

Поскольку точное значение параметров состояния микрочастицы неизвестно, основной задачей квантовой механики является определение вероятности реализации данной величины, если она может быть измерена. Для этого, по аналогии с рассмотрением дуализма волна – квант энергии, вводится в рассмотрение функция волны, соответствующей частице (волновая функция), которую принято обозначать буквой . Она является функцией координат и времени и может быть найдена путем решения уравнения:

Это уравнение было введено в практику Шредингером в 1926 г. и называется уравнением Шредингера со временем (или временным уравнением Шредингера). Здесь: i – мнимая единица; ħ – постоянная Планка; m – масса частицы; U – потенциальная энергия частицы; ? – оператор Лапласа

Из уравнения Шредингера следует, что волновая функция определяется потенциальной энергией U , т. е., в конечном счете, есть функция координат и времени. Для стационарного силового поля U не зависит явно от времени. В этом случае волновая функция представляется в виде множителей, один из которых зависит только от времени, второй – только от координат:

где Е – полная энергия частицы.

В самом деле, при подстановке этой функции в уравнение Шредингера с независящим от времени силовым полем экспоненты, содержащие время, сокращаются. Тогда уравнение для не зависящих от времени состояний  (стационарных состояний) получает вид:

(*)

В дальнейшем мы будем называть это выражение просто уравнением Шредингера.

К уравнению Шредингера можно прийти путем следующих рассуждений. Из опытов по дифракции микрочастиц вытекает, что параллельный пучок частиц обладает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси х , имеет вид:

Согласно гипотезе де – Бройля свободному движению частицы соответствует плоская волна с частотой  = E/t и длиной волны  = 2ħ/p. Подставляя  и  в уравнение плоской волны, получим волновую функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси х :

Продифференцировав функцию  один раз по t, a второй раз дважды по х, получим:

Из этих соотношений можно выразить Е и р 2 через функцию  и её производные:

Теперь запишем для нерелятивистского случая E = p 2 /2m и подставим в него полученные выражения:

Появление в уравнении лапласиана есть обобщение уравнения на случай распространения волны в произвольном направлении.

Полученное уравнение совпадает с уравнением Шредингера для движения свободной частицы (U = 0). Так как данное состояние стационарно (U = 0 и, следовательно, не зависит от времени) уравнение получает вид:

Это уравнение совпадает с уравнением (*) для случая U = 0.

Полная энергия Е складывается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U. В случае свободной частицы полная энергия Е совпадает с кинетической Т, так что величину Е можно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы. Если принять, что Е – полная энергия частицы получится не физичная ситуация: обобщенное уравнение не будет зависеть от характера силового поля (то есть от U). Поэтому при наличии сил, действующих на частицу, вместо Е в уравнение нужно ввести кинетическую энергию частицы Т = Е– U. Произведя такую замену, мы придем к уравнению (*).

Еще раз отметим, что приведенные математические манипуляции не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Их цель – пояснить, каким образом можно было прийти к установлению вида волнового уравнения для микрочастицы. Доказательством же правильности уравнения Шредингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые получаются с помощью этого уравнения.

Квантование энергии.

В отличие от модели атома Бора, основанной на введении некоторых постулатов, уравнение Шредингера позволяет получить фиксированные значения энергии при непосредственном решении уравнения. Требования, предъявляемые к волновым функциям вполне стандартны для математики: конечность, однозначность, непрерывность, гладкость. Требования должны выполняться даже в случае неаналитического поведения потенциала U: потенциал может быть разрывным, бесконечным в некоторой области пространства и проч.

Решения, получаемые при этом, соответствуют лишь некоторым определённым значениям энергии Е. Они носят название собственных значений энергии. Волновые функции, полученные в процессе решения уравнения Шредингера, носят название собственных функций, принадлежащих собственным значениям.

Значения Е могут быть как дискретными (квантованными), так и принимать непрерывный набор значений. В последнем случае говорят о непрерывном спектре энергии.

Решив уравнение Шредингера, вообще говоря, можно получить и набор вероятностей обнаружения других параметров частицы: импульса и момента импульса.

Наконец, следует отметить некоторую ограниченность полученных решений. Она заключается в том, что стационарное уравнение Шредингера не предназначено для рассмотрения процессов во времени. Между тем, опыт показывает, что энергии стационарных (точнее почти стационарных) состояний получаются в полном согласии с опытом.

Частица в потенциальной яме .

Решение задач о поведении или состоянии частицы в потенциальной яме позволяет продемонстрировать математическую сторону квантового подхода. Кроме того, потенциальная яма является отличной моделью для получения представления о формировании энергетического спектра частиц, ограниченных в своём движении. С точки зрения атомной или ядерной теории имеет смысл рассмотреть частицу в ямах трёх типов. Простейший случай – частица в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками есть всего лишь пример решения задачи в квантовой теории и демонстрация универсального факта появления дискретных состояний микрочастицы, ограниченной в своём движении. Рассмотрение состояния частицы в яме с параболическим потенциалом позволяет понять особенности колебаний связанных микрочастиц и решение этой задачи имеет прямое отношение к расчёту теплоёмкости твёрдого тела. Наконец, решение задачи с гиперболической ямой аналогично решению задачи о состояниях электрона в атоме водорода, но без использования гипотезы о существовании стационарных состояний. В данном случае стационарность состояний есть следствие решения задачи (уравнения Шредингера).

Рассмотрим поведение частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме .

Для простоты примем, что частица движется вдоль оси х (см. рисунок). В пределах 0  х  l потенциал U = 0. Вне этих пределов потенциал бесконечен: U  . Фактически это означает, что вне пределов ямы функция равна нулю, так как частица вне ямы существовать не может. Тогда для 0  х  l можем написать:

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Как говорилось выше,  (х = 0) =  (х = l ) = 0. Первое равенство позволяет определить  = 0. Из второго следует, что  l = n  . Определив отсюда  и подставив это значение в выражение для  2 , получим собственные значения задачи:

Заметим, что n = 1,2,3…, но не равно нулю, так как при этом исчезает волновая функция: частица отсутствует. Собственные функции определяются тогда таким образом:

Функции определены с точностью до постоянного множителя а . В подавляющем большинстве случаев бывает удобным, чтобы функция была нормирована. При этом имеется ввиду, что интеграл от плотности вероятности
нахождения частицы во всех возможных состояниях равен единице. (Звёздочка означает комплексное сопряжение). Условие нормировки соответствует достоверности нахождения частицы в одном из возможных состояний. Формально это равносильно определению коэффициента при волновой функции:

Волновая функция приобрела полный вид:

Теперь можно определить распределение плотности вероятности нахождения электрона по координате х :

Графики распределения волновой функции и плотности вероятности приведены на рисунке. Очевидно, что график распределения вероятности соответствует распределению интенсивности стоячей волны. Обращает на себя внимание аномальность распределения вероятности при малых значениях числа n : частица пребывает в основном в середине интервала возможных положений. Однако при очень больших n вероятность появления частицы вблизи стенки растёт, то есть при больших n частица становится подобной классической.

Частица в параболической яме .

Часто эта задача называется задачей о квантовом осцилляторе, так как в ней рассматривается вопрос о колебаниях микрочастицы. В квантовой физике понятие силы теряет свой смысл из-за проявления соотношения неопределённости координата – импульс. В этом случае использование уравнения Шредингера позволяет решить задачу о колебаниях частицы, обладающей потенциальной энергией аналогичной потенциальной энергии в классической теории:

Так как в классической механике действие упругой силы проявляется в существовании собственной частоты
, имеет смысл перейти к выражению:

Здесь жёсткость определена из выражения для собственной частоты колебаний. Тогда уравнение Шредингера приобретает вид:

Математическое решение этого уравнения весьма громоздко и требует применения так называемых специальных функций. Поэтому укажем, что требования к собственным функциям данной задачи (непрерывность, гладкость, конечность, однозначность) выполняются при собственных значениях задачи:

Е = ħ  ( + 1/2), ( = 0,1,2,…)

Эти энергии для различных  (цифры справа) вместе с зависимостью потенциальной энергии от координаты х (жирная сплошная линия) приведены на рисунке.

Из полученного выражения следует, что уровни осциллятора эквидистантны. Энергия, соответствующая  = 0 носит название нулевой энергии колебаний. Её появление уже объяснено выше действием принципа неопределённости: частица не может покоиться и одновременно иметь некоторую координату в данном случае равную нулю.

Изменение введённого квантового числа  возможно только на единицу? =  1. Это так называемое правило отбора для гармонического квантового осциллятора. Подобное изменение появляется, например, при оптических переходах между стационарными состояниями, обусловленными взаимодействием электронов атома с ядром и друг с другом. Приведённая картина характеризует спектр в каждом из стационарных состояний электронов атома. При переходах с изменением числа  помимо прочего испускается квант с энергией ħ, где частота  приобретает свой реальный физический смысл.

Говорить о частоте колебаний частицы в каждом стационарном состоянии неверно. Частица в классическом осцилляторе может двигаться лишь в пределах координаты, задаваемых потенциальной кривой. При падении её на границу она отражается. Микрочастица в квантовой механике может проникать внутрь соседней области, то есть за границу потенциальной кривой. При этом о колебаниях не может быть никакой речи. Имеет смысл только плотность вероятности нахождения частицы в некоторой точке.

На рисунке приведено распределение плотности вероятности обнаружения частицы в параболической потенциальной яме вдоль оси Х . Жирные горизонтальные линии есть расстояние между классическими “точками поворота” частицы, находящимися на потенциальной кривой и соответствующими разным значениям числа  . Видно, что проникновение частицы в соседнюю область тем меньше, чем больше значение числа  , то есть частица становится более классической при увеличении её полной энергии.

Потенциальные барьеры .

Рассмотрим движение частицы в области пространства, содержащей потенциальный барьер. Примером физической ситуации, в которой проявляется действие барьера на движение частицы, может служить выход электрона за пределы твёрдого тела (автоэлектронная эмиссия). Зависимость формы барьера от координат может быть весьма сложной, но высота барьера конечна и, как правило, вполне конечна длина нарастания барьера. Поэтому в качестве простой модельной задачи следует взять барьер высоты U 0

с вертикальной стенкой. Соответственно, потенциальная энергия будет представлена в виде:

Пусть частица налетает на барьер с левой стороны. Частицу, как обычно, рассматриваем как волну де-Бройля:

Задача заключается в определении амплитуды волны, а затем в определении коэффициентов её отражения и прохождения. Существование отражённой и прошедшей волн возникает из требований, накладываемых на вид функции и её производной (гладкость, однозначность, непрерывность, конечность) при х = 0.

Частота падающей, отражённой и прошедшей волн должна быть одной и той же. Это позволяет перейти от время зависимой функции к функции, зависящей только от координат. Для этого достаточно подставить функцию (x,t) в общее уравнение Шредингера, сократить экспоненту, зависящую от времени и получить стационарное уравнение Шредингера:

В данной задаче имеются два варианта рассмотрения E 1 >U 0 и E 2
1. E 1 >U 0 . Общий вид решения имеет вид

Амплитуда падающей волны равна а 1 , отражённой b 1 . В области x>0 волна только прошедшая (слева направо), поэтому b 2 = 0. Из условия непрерывности и гладкости при х = 0 получаем:

Отсюда получаем:

Для определения коэффициентов прохождения D и отражения R необходимо ввести понятие потока плотности вероятности F . В данном случае оно аналогично обычному понятию потока, применённому к распространению волны: это энергия потока в единицу времени, равная произведению плотности энергии на скорость распространения. Энергия волны пропорциональна квадрату её амплитуды. В рассматриваемом случае скорость потока равна скорости движения частицы. Последняя равна  = р /m = ħ k /m . Тогда:

Обозначим: F – поток падающей волны, F’ поток отражённой волны, F” – поток прошедшей волны. Получаем искомый результат:

Особенности полученного результата:

1. Сумма коэффициентов прохождения и отражения равна единице, что вполне стандартно.

2. Коэффициенты не зависят от направления движения частицы – волны.

3. Даже при энергии частицы большей высоты потенциальной ступеньки существует отражение частицы от барьера.

1. E 1 оказывается мнимой величиной k 2 = ik . Тогда отражение частицы от барьера полное, то есть R = 1.

Вместе с тем, легко видеть, что функция прошедшей во вторую область волны не равна нулю. Так как
функция прошедшей волны равна

Плотность вероятности, таким образом, пропорциональна отрицательной вещественной экспоненте, то есть быстро затухает по мере распространения волны вглубь барьера:

Глубину проникновения l определяют как расстояние при котором величина Р уменьшается в е раз. Тогда 2kl =1. Отсюда

Отсюда следует, например, что при U 0 -E = 10 -3 эВ электрон проникает вглубь барьера на 10 -9 м.

Таким образом, при набегании частицы на потенциальную стенку достаточно малой толщины возможно проникновение этой частицы сквозь стенку как бы по туннелю, что определило название этого явления: туннельный эффект . Разумеется, такое проникновение возможно лишь с определённой вероятностью, что, тем не менее, позволяет не только регистрировать эффект, но и использовать его в практике. Существует так называемый туннельный диод, обладающий рядом весьма интересных характеристик.

В физике, помимо холодной эмиссии электронов из металла, действием туннельного эффекта объясняется  - распад, спонтанное деление ядер, термоядерный синтез и целый ряд других явлений.

Операторы физических величин .

Зная волновую функцию, можно определить любые измеряемые характеристики микрочастицы. Для этого пользуются своеобразным исчислением, носящим название операционного. Чтобы понять суть операционного исчисления, определим вначале очень важное в квантовой механике понятие среднего значения. Рассмотрим для начала координату и определим вероятность dP нахождения частицы в области dx в окрестности точки х. В соответствии с изложенным выше dP = *dx. Тогда среднее значение координаты х равно

При этом предполагается, что функция  нормирована:

Аналогично можно определить среднее значение любой величины, зависящей от координаты:

Для получения других величин приходится проводить дополнительные расчеты, порой весьма громоздкие, позволившие получить, например, среднее значение импульса:

Если записать приведённые выражения в виде:

то оказывается, что получение средних значений можно связать с действием на волновую функцию некоторого оператора. Тип действия и вид оператора подчиняются следующему правилу: формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории заменяются формулами, связывающими операторы этих величин .

Например, оператором координаты или величины f(x) в приведённом выражении являются сами величины. Их действие заключается в умножении этих величин на функцию . Оператор импульса дифференциальный и имеет вид (ср. с последним выражением):

Обозначаются операторы символами величин, но со шляпкой наверху. Например, оператор импульса записывается в виде .

Основные математические свойства операторов :

1. Операторы можно складывать (ассоциативность). Действие суммы операторов равно сумме их действий порознь: . Здесь символ  обозначает аргумент функции f .

2. Операторы можно перемножать. Действие произведения операторов равно последовательному применению операторов к функции:
. Здесь следует отметить, что коммутативность операторов не является их общим свойством, то есть
может быть не равно
. Если всё-таки равенство выполняется, то операторы называются коммутирующими. Можно показать, что всегда не коммутируют операторы величин, входящих в соотношения неопределённости. Справедливо и обратное соответствие: если операторы не коммутируют, то соответствующие им величины не могут быть определены одновременно.

3. Операторы называются линейными, если выполняется условие:

Именно линейность операторов определяет возможность использования принципа суперпозиции волн де-Бройля.

Приведённые примеры можно обобщить. Среднее значение величины Q равно:

где есть оператор величины Q .

Рассмотрим операторы основных физических величин.

По аналогии с введённым выше оператором проекции импульса можно написать:

Отсюда оператор квадрата импульса имеет вид:

Теперь можно написать оператор энергии, один из основных операторов квантовой механики. Кинетическая энергия определяется в соответствии с приведённым правилом:

Оператор полной энергии, так называемый оператор Гамильтона или гамильтониан, получает уже известный, использованный выше, вид:

Теперь можно определить среднее значение полной энергии, действуя на волновую функцию оператором Гамильтона:

Несмотря на невозможность одновременного определения потенциальной и кинетической энергии можно определить и сопоставить сумму средних значений этих энергий среднему значению полной энергии.

Таким образом, если известна волновая функция частицы, всегда можно определить среднее значение соответствующей величины.

Роль операторов в квантовой механике будет определена не полностью, если не сформулировать общее соотношение, позволяющее получить расчётным путём собственное значение любой величины Q . Это соотношение имеет вид:

(*)

В его справедливости можно убедиться, рассчитывая среднее значение величины Q :

В данном случае волновая функция является собственной функцией задачи или оператора . Значение Q в рассмотренном случае единственное (поэтому собственное). Других значений, соответствующих данной функции, нет. Взаимное соответствие функции и значения в виде (*) есть определение собственных функций и собственных значений опрератора .

Примером соответствия выражения (*) предыдущим уравнениям движения частиц является его совпадение со стационарным уравнением Шредингера. Подставив оператор Гамильтона в уравнение (*), получим уравнение Шредингера для стационарных состояний:

Квантование момента импульса.

В квантовой механике свойства момента импульса существенно отличаются от свойств этой же величины в классической теории. Например, существенной величиной является не сам вектор, а модуль момента М или квадрат момента импульса М 2 . Исследование коммутационных свойств операторов показывает, что коммутируют только квадрат момента и одна из его проекций. Обычно она соотносится с осью Z. Две другие проекции и квадрат момента М 2 друг с другом не коммутируют. Как было сказано выше, это означает возможность одновременного определения только двух данных величин М 2 и М z . Поэтому можно представить, что момент образован некоторым неопределённым движением вектора по конусу. Тогда определимы только проекция и длина вектора.

Следуя приведённому выше правилу, можно ввести в рассмотрение оператор момента импульса . В классической механике момент импульса равен

Тогда оператор проекции момента импульса на ось Z равен

Более простой вид он приобретает в сферической системе координат (r, , ):

Квадрат момента импульса определяется общим уравнением:

В силу большого объема рассуждений и вычислений приведём конечный результат решения этого уравнения:

Число l называется орбитальным квантовым числом. Отсюда модуль момента импульса равен:

В отличие от классического момента квантовый его аналог не зависит от положения точки, относительно которой он определяется. Он определяется только угловым движением частицы. Поэтому в квантовой механике часто момент импульса называется угловым моментом или просто моментом. То же относится и к собственным значениям оператора проекции момента.
вырождении энергетического состояния . Это связано с произвольностью выбора оси Z в отсутствии магнитного поля. Введение в рассмотрение электрического поля не позволяет выбрать направление оси, поэтому электрическое поле снять вырождение по проекции момента полностью не может. Остаётся как минимум двукратное вырождение.

Вообще кратность вырождения проекции момента определяется тем, что формально M z есть проекция момента и, следовательно, не может по величине превышать величину М . Отсюда следует, что

Общее число значений m равно, таким образом, 2l +1, что и определяет кратность вырождения орбитальных состояний.

Полученные результаты можно представить хорошо известным образом:

Они представляют суть положения, называемого пространственным квантованием .