Группой дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, которым должен удовлетворять каждый из векторов поля отдельно, можно получить исключением остальных векторов. Для области поля, которая не содержит свободных зарядов и токов ($\overrightarrow{j}=0,\ \rho =0$) уравнения для векторов $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{E}$ имеют вид:

Уравнения (1) и (2) - это обычные уравнения волнового движения, которые обозначают, что световые волны распространяются в среде со скоростью ($v$) равной:

Примечание 1

Надо заметить, что понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл лишь в связи с волнами простого вида, например плоскими. Скорость $v$ не является скоростью распространения волны в случае произвольного решения уравнений (1) и (2), так как эти уравнения допускают решения в виде стоячих волн.

В любой волновой теории света элементарным процессом считают гармоническую волну в пространстве и времени. Если частота этой волны лежит в интервале $4\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}\le \nu \le 7,5\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}$, такая волна вызывает у человека физиологическое ощущение определенного цвета.

Для прозрачных веществ диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $ обычно больше единицы, магнитная проницаемость среды $\mu $ почти равна единице, получается, в соответствии с уравнением (3) скорость $v$ меньше скорости света в вакууме. Что было впервые экспериментально показано для случая распространения света в воде учеными Фуко и Физо .

Обычно определяют не саму величину скорости ($v$), а отношение $\frac{v}{c}$, для чего пользуются законом преломления . В соответствии с данным законом при падении плоской электромагнитной волны на плоскую границу, которая разделяет две однородные среды, отношение синуса угла ${\theta }_1$ падения к синусу угла преломления ${\theta }_2$ (рис.1) постоянно и равно отношению скоростей распространения волн в двух средах ($v_1\ и{\ v}_2$):

Значение постоянного отношения выражения (4) обычно обозначают как $n_{12}$. Говорят, что $n_{12}$ -- относительный показатель преломления второго вещества по отношению к первому, который испытывает волновой фронт (волна) при прохождении из первой среды во вторую.

Рисунок 1.

Определение 1

Абсолютным показателем преломления (просто показателем преломления) среды $n$ называют показатель преломления вещества по отношению к вакууму:

Вещество, имеющее больший показатель преломления является оптически более плотным. Относительный показатель преломления двух веществ ($n_{12}$) связан с их абсолютными показателями ($n_1,n_2$) как:

Формула Максвелла

Определение 2

Максвелл получил, что показатель преломления среды зависит от ее диэлектрических и магнитных свойств. Если в формулу(5) подставить выражение для скорости распространения света из уравнения (3), то мы получим:

\ \

Выражение (7) называется формулой Максвелла . Для большинства немагнитных прозрачных веществ, которые рассматриваются в оптике магнитная проницаемость вещества приблизительно можно считать равной единице, поэтому часто равенство (7) применяют в виде:

Часто предполагается, что $\varepsilon $ является постоянной величиной. Однако нам хорошо известны опыты Ньютона с призмой по разложению света, в результате этих экспериментов становится очевидным, что показатель преломления зависит от частоты света. Следовательно, если считать, что формула Максвелла справедлива, то следует признать, что диэлектрическая проницаемость вещества зависит от частоты поля. Связь $\varepsilon $ с частотой поля можно объяснить только в том случае, если принять во внимание атомное строение вещества.

Однако надо сказать, что формула Максвелла с постоянной диэлектрической проницаемостью вещества, в некоторых случаях может быть использована как хорошее приближение. Примером могут служить газы с простой химической структурой, в которых нет существенной дисперсии света, что означает, слабую зависимость оптических свойств от цвета. Формула (8), также хорошо работает для жидких углеводородов. С другой стороны, у большинства твердых тел, например у стекол, и большой части жидкостей наблюдается сильное отклонение от формулы (8), если считать $\varepsilon $ постоянной.

Пример 1

Задание: Какова концентрация свободных электронов в ионосфере, если известно, что для радиоволн с частотой $\nu$ показатель ее преломления равен $n$.

Решение:

За основу решения задачи возьмем формулу Максвелла:

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac{P}{{\varepsilon }_0E}\left(1.2\right),\]

где $\varkappa $ -- диэлектрическая восприимчивость, P - мгновенное значение поляризованности. Из (1.1) и (1.2) следует, что:

В том случае, если концентрация атомов в ионосфере равна $n_0,$ то мгновенное значение поляризованности равно:

Из выражений (1.3) и (1.4) имеем:

где $\omega $ -- циклическая частота. Уравнение вынужденных колебаний электрона без учета силы сопротивления можно записать как:

\[\ddot{x}+{{\omega }_0}^2x=\frac{q_eE_0}{m_e}cos\omega t\left(1.7\right),\]

где $m_e$ -- масса электрона, $q_e$ -- заряд электрона. Решением уравнения (1.7) служит выражение:

\ \

Нам известна частота радиоволн, следовательно, можно найти циклическую частоту:

\[\omega =2\pi \nu \left(1.10\right).\]

Подставим в (1.5) правую часть выражения (1.9) вместо $x_{max}$ и используем (1.10), получим:

Ответ: $n_0=\frac{E_0m_e4\pi ^2\nu ^2}{{q_e}^2}\left(1-n^2\right).$

Пример 2

Задание: Объясните, почему формула Максвелла противоречит некоторым экспериментальным данным.

Решение:

Из классической электромагнитной теории Максвелла следует, что показатель преломления среды можно выразить как:

где в оптической области спектра для большинства веществ можно считать, что $\mu \approx 1$. Получается, что показатель преломления для вещества должен быть постоянной величиной, так как $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды постоянна. Тогда как эксперимент показывает, что показатель преломления зависит от частоты. Трудности, которые возникли перед теорией Максвелла в данном вопросе, устраняет электронная теория Лоренца. Лоренц рассматривал дисперсию света как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, которые входят в состав вещества и совершают вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны света. Используя свою гипотезу, Лоренц получил формулу, связывающую показатель преломления с частотой электромагнитной волны (см. пример 1).

Ответ: Проблема теории Максвелла в том, что она является макроскопической и не рассматривает структуру вещества.

Уравнения Максвелла и волновое уравнение

Электромагнитные волны

В процессе распространения механической волны в упругой среде в колебательное движение вовлекаются частицы среды. Причиной этого процесса является наличие взаимодействия между молекулами.

Помимо упругих волн в природе существует волновой процесс иной природы. Речь идет об электромагнитных волнах, представляющих собой процесс распространения колебаний электромагнитного поля. По существу мы живем в мире ЭМВ. Их диапазон невероятно широк – это радиоволны, инфракрасное излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское излучения, γ – лучи. Особое место в этом многообразии занимает видимая часть диапазона – свет. Именно с помощью этих волн мы получаем подавляющее количество информации об окружающем мире.

Что такое электромагнитная волна? Какова ее природа, механизм распространения, свойства? Существуют ли общие закономерности, характерные как для упругих, так и для электромагнитных волн?

Уравнения Максвелла и волновое уравнение

Электромагнитные волны интересны тем, что первоначально они были «открыты» Максвеллом на бумаге. Основываясь на предложенной им системе уравнений, Максвелл показал, что электрическое и магнитное поля могут существовать в отсутствие зарядов и токов, распространяясь в виде волны со скоростью 3∙10 8 м/с. Спустя почти 40 лет предсказанный Максвеллом материальный объект – ЭМВ – был обнаружен Герцем экспериментально.

Уравнения Максвелла являются постулатами электродинамики, сформулированными на основе анализа опытных фактов. Уравнения устанавливают связь между зарядами, токами и полями – электрическим и магнитным. Обратимся к двум уравнениям.

1. Циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру l пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, натянутую на контур (это закон электромагнитной индукции Фарадея):

(1)

Физический смысл этого уравнения – меняющееся магнитное поле порождает электрическое поле .

2. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру l пропорциональна скорости изменения потока вектора электрической индукции через поверхность, натянутую на контур:

Физический смысл этого уравнения – магнитное поле порождаетcя токами и меняющимся электрическим полем .

Даже без каких-либо математических преобразований этих уравнений понятно: если в какой-то точке меняется электрическое поле, то в соответствии с (2) возникает магнитное поле. Это магнитное поле, изменяясь, порождает в соответствие с (1) электрическое поле. Поля взаимно индуцируют друг друга, они уже не связаны с зарядами и токами!

Более того, процесс взаимного индуцирования полей будет распространяться в пространстве с конечной скоростью, то есть возникает электромагнитная волна. Для того, чтобы доказать факт существования в системе волнового процесса, в котором колеблется величина S, необходимо получить волновое уравнение

Рассмотрим однородный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ. Пусть в этой среде существуют магнитное поле . Для простоты будем полагать, что вектор напряженности магнитного поля располагается вдоль оси ОY и зависит только от координаты z и времени t: .

Записываем уравнения (1) и (2) с учетом связи между характеристиками полей в однородной изотропной среде: и :

Найдем поток вектора через прямоугольную площадку KLMN и циркуляцию вектора по прямоугольному контуру KLPQ (KL = dz, LP= KQ = b , LM = KN = a )

Очевидно, что поток вектора через площадку KLMN и циркуляция по контуру KLPQ отличны от нуля. Тогда циркуляция вектора по контуру KLMN и поток вектора через поверхность KLPQ тоже отличны от нуля. Такое возможно только при условии, что при изменении магнитного поля возникло электрическое поле , направленное вдоль оси ОX.

Вывод 1: При изменении магнитного поля возникает электрическое поле, напряженность которого перпендикулярна индукции магнитного поля .

С учетом сказанного система уравнений перепишется

После преобразований получаем:

Теперь стоило бы заняться немного математикой; мы запишем уравнения Максвелла в более простой форме. Вы, пожалуй, сочтете, что мы усложняем их, но если вы наберетесь терпения, то внезапно обнаружите их большую простоту. Хотя вы уже вполне привыкли к каждому из уравнений Максвелла, имеется все же много частей, которые стоит соединить воедино. Вот как раз этим мы и займемся.

Начнем с - простейшего из уравнений. Мы знаем, что оно подразумевает, что - есть ротор чего-то. Поэтому, если вы записали

то считайте, что уже решили одно из уравнений Максвелла. (Между прочим, заметьте, что оно остается верно для другого вектора , если , где - любое скалярное поле, потому что ротор - нуль и - по-прежнему то же самое. Мы говорили об этом раньше.)

Теперь разберем закон Фарадея , потому что он не содержит никаких токов или зарядов. Если мы запишем как и продифференцируем по , то сможем переписать закон Фарадея в форме

.

Поскольку мы можем дифференцировать сначала либо по времени, либо по координатам, то можно написать это уравнение также в виде

. (18.17)

Мы видим, что - это вектор, ротор которого равен нулю. Поэтому такой вектор есть градиент чего-то. Когда мы занимались электростатикой, у нас было , и мы тогда решили, что - само градиент чего-то. Пусть это градиент от (минус для технических удобств). То же самое сделаем и для ; мы полагаем

. (18.18)

Мы используем то же обозначение , так что в электростатическом случае, когда ничто не меняется со временем и исчезает, будет нашим старым . Итак, закон Фарадея можно представить в форме

. (18.19)

Мы уже решили два из уравнений Максвелла и нашли, что для описания электромагнитных полей и нужны четыре потенциальные функции: скалярный потенциал и векторный потенциал , который, разумеется, представляет три функции.

Итак, определяет часть , так же как и . Что же произойдет, когда мы заменим на ? В общем, должно было бы измениться, если не принять особых мер. Мы можем, однако, допустить, что изменяется так, чтобы не влиять на поля и (т. е. не меняя физики), если будем всегда изменять и вместе по правилам

. (18.20)

Тогда ни , ни , полученные из уравнения (18.19), не меняются.

Раньше мы выбирали , чтобы как-то упростить уравнения статики. Теперь мы не собираемся так поступать; мы хотим сделать другой выбор. Но подождите немного, прежде чем мы скажем, какой это выбор, потому что позднее станет ясно, почему вообще делается выбор.

Сейчас мы вернемся к двум оставшимся уравнениям Максвелла, которые свяжут потенциалы и источники и . Раз мы можем определить и из токов и зарядов, то можно всегда получить и из уравнений (18.16) и (18.19) и мы будем иметь другую форму уравнений Максвелла.

Начнем с подстановки уравнения (18.19) в ; получаем

;

это можно записать еще в виде

. (18.21)

Таково первое уравнение, связывающее и с источниками.

Наше последнее уравнение будет самым трудным. Мы начнем с того, что перепишем четвертое уравнение Максвелла:

,

а затем выразим и через потенциалы, используя уравнения (18.16) и (18.19):

.

Первый член можно переписать, используя алгебраическое тождество ; мы получаем

. (18.22)

Не очень-то оно простое!

К счастью, теперь мы можем использовать нашу свободу в произвольном выборе дивергенции . Сейчас мы собираемся сделать такой выбор, чтобы уравнения для и для разделились, но имели одну и ту же форму. Мы можем сделать это, выбирая

. (18.23)

Когда мы поступаем так, то второе и третье слагаемые в уравнении (18.22) погашаются, и оно становится много проще:

. (18.24)

И наше уравнение (18.21) для принимает такую же форму:

. (18.25)

Какие красивые уравнения! Они великолепны прежде всего потому, что хорошо разделились - с плотностью заряда стоит , а с током стоит . Далее, хотя левая сторона выглядит немного нелепо - лапласиан вместе с , когда мы раскроем ее, то обнаружим

. (18.26)

Это уравнение имеет приятную симметрию по , , , ; здесь нужно, конечно, потому, что время и координаты различаются; у них разные единицы.

Уравнения Максвелла привели нас к нового типа уравнению для потенциалов и , но с одной и той же математической формой для всех четырех функций , , и . Раз мы научились решать эти уравнения, то можем получить и из и . Мы приходим к другой форме электромагнитных законов, в точности эквивалентной уравнениям Максвелла; с ними во многих случаях обращаться гораздо проще. и

Общая форма записи волнового процесса

Определение 1

Допустим, что физическая величина $s$ распространяется в направлении $X$ со скоростью $v$. Данная величина ($s$) может быть смещением, скоростью кусочков резинового шнура, когда в шнуре проходит механическая волна. Если мы имеем дело с электромагнитной волной, то под $s$ можно понимать напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля и т.д. Общая форма записи волнового процесса представляется как:

где $t$ -- время, $x$ -- координата точки, которую рассматривают, $f$ - символ функции.

Любая произвольная функция, имеющая исключительно аргумент $\left(t-\frac{x}{v}\right)$, отражает волновой процесс.

Положим, что наблюдатель перемещается по $оси X$ со скоростью $v$. Его координата может быть определена как:

Подставим правую часть выражения (2) в формулу (1) вместо переменной $x$, получим:

Из выражения (3) следует, что функция $f\left(-\frac{x_0}{v}\right)$ не зависит от времени, что означает $s$ распространяется со скоростью $v$.

Аналогично можно получить, что если процесс записан как:

то $s$ распространяется против избранной $оси X$. Если положить, что $t=0$, то из выражений (1) и (4) имеем:

Выражение (5) определяет распределение $s$ в начальный момент времени. В том случае, если $s$ напряженность магнитного поля в электромагнитной волне, то формула (5) - задает распределение магнитного поля в пространстве при $t=0$. Получается, что вид функции $f$ зависит от начальных условий процесса.

Итак, выражения (1) и (4) являются общим выражением для волны, которая распространяется вдоль $оси X$.

Волновое уравнение

Определение 2

Функция $s$ удовлетворяет простому дифференциальному уравнению. Для его нахождения продифференцируем выражения (1) и (4), объединив их, используя знак $\mp $, дважды по координате $x$:

\[\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}f^{""}\left(6\right).\]

Вторая частная производная по времени будет иметь вид:

\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=f^{""}\left(7\right).\]

Используя выражения (6) и (7) запишем:

\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2s}{\partial x^2}\left(8\right).\]

Уравнение (8) называют волновым . В том случае, если волна распространяется не в одном, во всех направлениях пространства, то волновое уравнение примет вид:

\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=v^2\left(\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2s}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2s}{\partial z^2}\right)\left(9\right).\]

Замечание

В том случае, если физическая величина распространяется в виде волны, то она должна удовлетворять волновому уравнению. Справедливо обратное утверждение: Если какая - либо величина подчиняется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Скорость распространения волны будет равна квадратному корню из коэффициента, который стоит при сумме пространственных производных.

Электромагнитные волны

Рассмотрим электромагнитное поле в однородном диэлектрике ($j_x=j_y=j_z=0$). Причем будем считать задачу одномерной, то есть предположим, что векторы $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}$ зависят только от одной координаты $x$ и времени $t$. Такая ситуация означает, что все пространство мы можем разделить на тонике слои (толщина слоя стремится к нулю), плоские слои, внутри них $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}$ принимают одно и тоже значение во всех точках. Данная задача соответствует плоской электромагнитной волне. Для описания электромагнитного поля используем систему уравнений Максвелла:

Для одномерного случая система уравнений Максвелла существенно упрощается, так как все производные по $y$ и $z$ равны нулю. Записав уравнение (10) в скалярном представлении:

Становится очевидным, что в однородной среде для одномерного случая:

Аналогично из уравнения (11) получаем, что:

Выражения (15) и (16) означают, что данные составляющие электромагнитного поля не зависят от времени. А из уравнений (12) и (13) следует, что $D_x$и $B_x$ - не зависят от координаты. В результате мы имеем, что $D_x=const,\ B_x=const$.

Остальные уравнения из группы (14) примут вид:

От группы уравнений в скалярной форме, которые представляют выражение (11), остаются:

Уравнения (17) и (18) сгруппируем как две независимые части. Первая - связывающая $y$-составляющую электрического поля и $z$-составляющую магнитного поля:

Вторая часть связывает $z$-компоненту электрического поля и $y$-компоненту магнитного поля:

Получается, что переменное (во времени) электрическое поле ($D_y$) порождает одну $z$-составляющую магнитного поля ($H_z$), переменное магнитное поле $B_z$ вызывает появление электрического поля направленного по $оси Y$ ($E_y$) (уравнения 19). То есть в электромагнитном поле электрическое и магнитные поля перпендикулярны друг другу. Аналогичный вывод можно сделать из пары (20).

Для одномерного случая систему уравнений Максвелла можно записать в виде:

Электрическое и магнитные поля могут существовать как волны, так как из уравнения Максвелла следует существование этих волн. Так как для напряженности электрического поля выполняется уравнение вида:

Следовательно, решение этого уравнения можно представить как:

Так как для напряженности магнитного поля выполняется уравнение вида:

следовательно, решение этого уравнения можно представить как:

Пример 1

Задание: Покажите, на примере одномерного случая электромагнитного поля, что из уравнений Максвелла следует волновой характер электромагнитного поля.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем уравнения Максвелла для одномерного случая:

\[\frac{\partial D}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial x},\ \frac{\partial B}{\partial t}=-\frac{\partial E}{\partial x}\left(1.1\right).\]

Исключим из уравнений (1.1) магнитное поле $H$. С этой целью умножим первое уравнение на $\mu {\mu }_0$ и возьмем частную производную по времени от обеих частей равенства и, используя выражение: $D=\varepsilon_0\varepsilon E$, заменим электрическую индукцию на напряженность соответствующего поля, получим:

\[{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon \ \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=-\mu {\mu }_0\frac{{\partial }^2H}{\partial x\partial t}\left(1.2\right).\]

Второе уравнение в группе (1.1) продифференцируем по $x$, заменим индукцию магнитного поля на его напряженность, используя выражение: $B=\mu {\mu }_0H$, при этом имеем:

\[\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}=-\mu {\mu }_0\frac{{\partial }^2H}{\partial x\partial t}\left(1.3\right).\]

Как мы видим, правые части выражений (1.2) и (1.3) одинаковы, следовательно, можно считать, что:

\[\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}={\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon \ \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}\to \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}\left(1.4\right).\]

Аналогичное уравнение легко получить для напряженности магнитного поля, если исключить напряженность электрического поля. Уравнение (1.4) -- есть волновое уравнение.

Ответ: Волновое уравнение для напряженности электрической составляющей электромагнитного поля получено непосредственно из уравнений Максвелла для одномерной задачи.

Пример 2

Задание: Чему равна скорость ($v$) распространения электромагнитной волны ?

Решение:

За основу решения примем волновое уравнение для напряженности электрического поля в плоской электромагнитной волне:

\[\frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}\left(2.1\right).\]

Скоростью распространения волны является корень квадратный из коэффициента, который находится перед $\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}$ в волновом уравнении, следовательно:

где $c$ -- скорость распространения света в вакууме.

Ответ: $v=\frac{c}{\sqrt{\mu \varepsilon}}.$