Тема урока: "Показательная функция, ее свойства и график". Показательная функция – свойства, графики, формулы
Урок № 2
Тема: Показательная функция, её свойства и график.
Цель: Проверить качество усвоения понятия «показательная функция»; сформировать умения и навыки по распознаванию показательной функции, по использованию её свойств и графиков, научить учащихся пользоваться аналитической и графической формами записи показательной функции; обеспечить рабочую обстановку на уроке.
Оборудование: доска, плакаты
Форма урока : классно-урочная
Вид урока : практическое занятие
Тип урока : урок обучения умениям и навыкам
План урока
1. Организационный момент
2. Самостоятельная работа и проверка домашнего задания
3. Решение задач
4. Подведение итогов
5. Задание на дом
Ход урока .
1. Организационный момент :
Здравствуйте. Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока «Показательная функция». Сегодня будем продолжать изучать показательную функцию, её свойства и график.
2. Самостоятельная работа и проверка домашнего задания .
Цель: проверить качество усвоения понятия «показательная функция» и проверить выполнение теоретической части домашнего задания
Метод: тестовое задание, фронтальный опрос
В качестве домашнего задания вам были заданы номера из задачника и параграф из учебника. Выполнение номеров из учебника проверять сейчас не будем, но вы сдадите тетради в конце урока. Сейчас же будет проведена проверка теории в виде маленького теста. Задание у всех одинаковое: вам дан перечень функций, вы должны узнать какие из них являются показательными (подчеркнуть их). И рядом с показательной функцией необходимо написать является она возрастающей, либо убывающей.
Вариант 1 Ответ Б) Д) - показательная, убывающая | Вариант 2 Ответ Г) - показательная, убывающая Д) - показательная, возрастающая |
Вариант 3 Ответ А) - показательная, возрастающая Б) - показательная, убывающая | Вариант 4 Ответ А) - показательная, убывающая В) - показательная, возрастающая |
Теперь вместе вспомним, какая функция называется показательной?
Функция вида , где и , называется показательной функцией.
Какая область определения у этой функции?
Все действительные числа.
Какая область значений показательной функции?
Все положительные действительные числа.
Убывает если основание степени больше нуля, но меньше единицы.
В каком случае показательная функция убывает на своей области определения?
Возрастает, если основание степени больше единицы.
3. Решение задач
Цель : сформировать умения и навыки по распознаванию показательной функции, по использованию её свойств и графиков, научить учащихся пользоваться аналитической и графической формами записи показательной функции
Метод : демонстрация учителем решения типичных задач, устная работа, работа у доски, работа в тетради, беседа учителя с учащимися.
Свойства показательной функции можно использовать при сравнении 2-х и более чисел. Например: № 000. Сравните значения и , если а) 
..gif" width="37" height="20 src=">, то это довольно сложная работа: нам бы пришлось извлекать кубический корень из 3 и из 9, и сравнивать их. Но мы знаем, что возрастает, это в свою очередь значит, что при увеличении аргумента, увеличивается значение функции, то есть нам достаточно сравнить между собой значения аргумента и , очевидно, что 
(можно продемонстрировать на плакате с изображенной возрастающей показательной функцией). И всегда при решении таких примеров вначале определяете основание показательной функции, сравниваете с 1, определяете монотонность и переходите к сравнению аргументов. В случает убывания функции: при возрастания аргумента уменьшается значение функции, следовательно, знак неравенства меняем при переходе от неравенства аргументов к неравенству функций. Далее решаем устно: б) 
- 
В) 
- 
Г) 
- 
- № 000. Сравните числа: а) и
Следовательно, функция возрастает, тогда
Почему ?
Возрастающая функция и 
Следовательно, функция убывает, тогда 
Обе функции возрастают на всей своей области определения, т. к. они являются показательными с основанием степени большим единицы.
Какой смысл в ней заложен?
Строим графики:
Какая функция быстрее возрастает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Какая функция быстрее убывает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
На промежутке какая из функций имеет большее значение в конкретно заданной точке?
Г) , https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Вначале выясним область определения этих функций. Совпадают ли они?
Да, область определения этих функций все действительные числа.
Назовите область значения каждой из этих функций.
Области значений этих функций совпадают: все положительные действительные числа.
Определите тип монотонности каждой из функций.
Все три функции убывают на всей своей области определения, т. к. они являются показательными с основанием степени меньшими единицы и большими нуля.
Какая особая точка существует у графика показательной функции?
Какой смысл в ней заложен?
Какое бы не было основание степени показательной функции, если в показателе стоит 0,то значение этой функции 1.
Строим графики:
Давайте проанализируем графики. Сколько точек пересечения у графиков функций?
Какая функция быстрее убывает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">
Какая функция быстрее возрастает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">
На промежутке какая из функций имеет большее значение в конкретно заданной точке?
На промежутке какая из функций имеет большее значение в конкретно заданной точке?
Почему показательные функции с разными основаниями имеют только одну точку пересечения?
Показательные функции являются строго монотонными на всей своей области определения, поэтому они могут пересекаться только в одной точке.
Следующее задание будет направлено на использование этого свойства. № 000. Найдите наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке а) . Вспомним, что строго монотонная функция принимает свои наименьшее и наибольшее значения на концах заданного отрезка. И если функция возрастающая, то её наибольшее значение будет на правом конце отрезка, а наименьшее на левом конце отрезка (демонстрация на плакате, на примере показательной функции). Если функция убывающая, то её наибольшее значение будет на левом конце отрезка, а наименьшее на правом конце отрезка (демонстрация на плакате, на примере показательной функции). Функция возрастающая, т. к. , следовательно, наименьшее значение функции будет в точке https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29">. Пункты б) 
, в) 
г) решите самостоятельно тетради, проверку проведем устно.
Учащиеся решают задание в тетради
|
Убывающая функция
|
Убывающая функция
|
Возрастающая функция
|
наибольшее значение функции на отрезке 
наименьшее значение функции на отрезке 
наименьшее значение функции на отрезке 
наибольшее значение функции на отрезке - № 000. Найдите наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке а) 
. Это задание практически такое же, как и предыдущее. Но здесь дан не отрезок, а луч. Мы знаем, что функция - возрастающая, при чем она не имеет ни наибольшего, ни наименьшего своего значения на всей числовой прямой https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height="20">, и стремится к при , т. е. на луче функция при стремится к 0, но не имеет своего наименьшего значения, но у неё существует наибольшее значение в точке 
. Пункты б) 
, в) 
, г)
решите самостоятельно тетради, проверку проведем устно.
1.Показательная функция – это функция вида у(х) =а х, зависящая от показателя степени х, при постоянном значении основания степени a , где а > 0, a ≠ 0, xϵR (R – множество действительных чисел).
Рассмотрим график функции, если основание не будет удовлетворять условию: а>0
a) a < 0
Если a < 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2
Если а = 0 – функция у = определена и имеет постоянное значение 0
в) а =1
Если а = 1 – функция у = определена и имеет постоянное значение 1
Область определения функции (ООФ) Область допустимых значений функции (ОДЗ) 3. Нули функции (у = 0) 4. Точки пересечения с осью ординат oy (x = 0) 5. Возрастания, убывания функции Если , то функция f(x) возрастает 6. Чётность, нечётность функции Функция у = не симметрична относительно оси 0у и относительно началу координат, следовательно не является ни чётной, ни нечётной. (Функция общего вида) 7. Функция у = экстремумов не имеет 8. Свойства степени с действительным показателем: Пусть а > 0; a≠1 Тогда для xϵR; yϵR: Свойства монотонности степени: если , то Если a> 0, , то . 9. Относительное расположение фунцкции Чем больше основание а, тем ближе к осям ох и оу a > 1, a = 20 Пример 1. Приведены справочные данные по показательной функции - основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел. Показательная функция
- это обобщение произведения n
чисел, равных a
:
Обобщение выполняется следующим образом. Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ». Показательная функция y = a x
,
имеет следующие свойства на множестве действительных чисел ()
: Другие полезные формулы. ,
,
,
,
.
Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице. Обратной для показательной функции с основанием степени a
является логарифм по основанию a
. Если ,
то Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e
,
применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции. Для этого нужно использовать свойство логарифмов Пусть задана показательная функция: .
Найти производную функции Решение
Выразим основание показательной функции через число e
.
Ответ
Рассмотрим функцию комплексного числа z
: Использованная литература: Показательная функция
Функция вида y = a
x
, где a больше нуля и а не равно единице называется показательной функцией. Основные свойства показательной функции:
1. Областью определения показательной функции будет являться множество вещественных чисел.
2. Область значений показательной функции будет являться множество всех положительных вещественных чисел. Иногда это множество для краткости записи обозначают как R+.
3. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0
4. Справедливы будет все основные свойства степеней. Основные свойства степеней представлены следующим равенствами:
a
x
*a
y
= a
(x + y)
;
(a
x
)/(a
y
) = a
(x-y)
;
(a*b)
x
= (a
x
)*(a
y
);
(a/b)
x
= a
x
/b
x
;
(a
x
)
y
= a
(x * y)
.
Данные равенства будут справедливы для все действительных значений х и у.
5. График показательной функции всегда проходит через точку с координатами (0;1)
6. В зависимости от того возрастает или убывает показательная функция, её график будет иметь один из двух видов.
На следующем рисунке представлен график возрастающей показательной функции: a>0.
На следующем рисунке представлен график убывающей показательной функции: 0
И график возрастающей показательной функции и график убывающей показательной функции согласно свойству, описанному в пятом пункте, проходят через точку (0;1).
7. Показательная функция не имеет точек экстремума, то есть другими словами, она не имеет точек минимума и максимума функции. Если рассматривать функцию на каком-либо конкретном отрезке, то минимальное и максимальное значения функция будет принимать на концах этого промежутка.
8. Функция не является четной или нечетной. Показательная функция это функция общего вида. Это видно и из графиков, ни один из них не симметричен ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.
Логарифм
Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.
Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:
Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.
А теперь - собственно, определение логарифма:
Определение
Логарифм
по основанию
a от аргумента
x - это степень, в которую надо возвести число
a, чтобы получить число
x.
Обозначение
log
a x =
b Например, 2 3 = 8 ⇒
log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.
Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют
логарифмированием
.
Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Важно понимать, что логарифм - это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где - аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
Перед нами - не что иное как определение логарифма. Вспомните:
логарифм - это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент.
Именно основание возводится в степень - на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии - и никакой путаницы не возникает.
С определением разобрались - осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей.
Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени! Такие ограничения
называются
областью допустимых значений
(ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log
a x = b
⇒
x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Заметьте, что никаких ограничений на число
b
(значение логарифма) не накладывается.
Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log
2
0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2
−1
.
Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
Теперь рассмотрим общую
схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
Представить основание
a и аргумент
x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
Решить относительно переменной
b уравнение:
x =
a b ;
Полученное число
b будет ответом.
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
Вычислите логарифм: log 5 25
Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ; Составим и решим уравнение: Получили ответ: 2. Вычислите логарифм:
Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ; Составим и решим уравнение:
Получили ответ: −4. −4
Вычислите логарифм: log 4 64
Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ; Составим и решим уравнение: Получили ответ: 3. Вычислите логарифм: log 16 1
Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ; Составим и решим уравнение: Получили ответ: 0. Вычислите логарифм: log 7 14
Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ; Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается; Ответ - без изменений: log 7 14. log 7 14
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто - достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.
Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точная степень, т.к. множитель всего один; 8, 81 - точная степень; 48, 35, 14 - нет.
Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.
Десятичный логарифм
Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
Определение
Десятичный логарифм
от аргумента
x - это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число
x.
Обозначение
lg
x
Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.д.
Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать: Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.
Натуральный логарифм
Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
Определение
Натуральный логарифм
от аргумента
x - это логарифм по основанию
e, т.е. степень, в которую надо возвести число
e, чтобы получить число
x.
Обозначение
ln
x
Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры: Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e - основание натурального логарифма: Таким образом, ln
e = 1; ln
e 2
= 2; ln
e 16
= 16 - и т.д. С другой стороны, ln 2 - иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.
Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.
Основные свойства логарифмов Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы - это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.
Эти правила обязательно надо знать - без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного - все можно выучить за один день. Итак, приступим.
Сложение и вычитание логарифмов
Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log
a x и log
a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:
log
a
x
+ log
a
y
= log
a
(
x
·
y
);
log
a
x
− log
a
y
= log
a
(
x
:
y
).
Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность - логарифму частного.
Обратите внимание: ключевой момент здесь - одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!
Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «
»). Взгляните на примеры - и убедитесь:
Найдите значение выражения: log 6 4 + log 6 9.
Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы: Найдите значение выражения: log 2 48 − log 2 3.
Основания одинаковые, используем формулу разности: Найдите значение выражения: log 3 135 − log 3 5.
Снова основания одинаковые, поэтому имеем: Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные - подобные выражения на полном серьезе (иногда - практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.
Вынесение показателя степени из логарифма
Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:
Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить - в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.
Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма:
a > 0,
a ≠ 1,
x > 0.
И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.
Найдите значение выражения: log 7 49 6 .
Избавимся от степени в аргументе по первой формуле: Найдите значение выражения:
Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:
Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели - получили «трехэтажную» дробь.
Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log 2 7. Поскольку log 2 7 ≠ 0, можем сократить дробь - в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.
Переход к новому основанию
Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?
На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:
Теорема
Пусть дан логарифм log
a x. Тогда для любого числа
c такого, что
c > 0 и
c ≠ 1, верно равенство:
В частности, если положить
c =
x, получим:
Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе
.
Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:
Найдите значение выражения: log 5 16 · log 2 25.
Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
А теперь «перевернем» второй логарифм:
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.
Найдите значение выражения: log 9 100 · lg 3.
Основание и аргумент первого логарифма - точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:
Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:
Основное логарифмическое тождество
Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:
В первом случае число
n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число
n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.
Вторая формула - это фактически перефразированное определение. Она так и называется:
основное логарифмическое тождество
.
В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз - многие на нем «зависают».
Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.
Задача
Найдите значение выражения:
Решение
Заметим, что log
25
64 = log
5
8 - просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:
200
Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ:)
Логарифмическая единица и логарифмический ноль
В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами - скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.
log
a a = 1 - это
логарифмическая единица
. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию
a от самого этого основания равен единице.
log
a 1 = 0 - это
логарифмический ноль
. Основание
a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица - логарифм равен нулю! Потому что
a 0
= 1 - это прямое следствие из определения.
Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике!
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII
§ 179 Основные свойства показательной
функции
В этом параграфе мы изучим основные свойства показательной функции у = а
x
(1) Напомним, что под а
в формуле (1) мы подразумеваем любое фиксированное положительное число, отличное от 1. Свойство 1.
Областью определения показательной функции является совокупность всех действительных чисел.
В самом деле, при положительном а
выражение а
x
определено для любого действительного числа х
. Свойство 2
. Показательная функция принимает только положительные значения.
Действительно, если х
> 0, то, как было доказано в § 176, а
x
> 0. Если же х
<. 0, то а
x
= где - х
уже больше нуля. Поэтому а -
x
> 0. Но тогда и а
x
= > 0. Наконец, при х
= 0 а
x
= 1. 2-е свойство показательной функции имеет простое графическое истолкование. Оно заключается в том, что график этой функции (см. рис. 246 и 247) располагается целиком выше оси абсцисс. Свойство 3
. Если
а
>1, то при
х
> 0 а
x
> 1, а при
х
< 0 а
x
< 1. Если же
а
< 1, то, наоборот, при
х
> 0 а
x
< 1, а при
х
< 0 а
x
> 1. Это свойство показательной функции также допускает простую геометрическую интерпретацию. При а
> 1 (рис. 246) кривые у = а
x
располагаются выше прямой у
= 1 при х
> 0 и ниже прямой у
= 1 при х
< 0. Если же а
< 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые у = а
x
располагаются ниже прямой у
= 1 при х
> 0 и выше этой прямой при х
< 0. Приведем строгое доказательство 3-го свойства. Пусть а
> 1 и х
- произвольное положительное число. Покажем, что а
x
> 1. Если число х
рационально (х
= m
/
n
) , то а
x
= а
m /
n
= n
√a
m
. Поскольку а
> 1, то и а
m
> 1, Но корень из числа, большего единицы, очевидно, также больше 1. Если х
иррационально, то существуют положительные рациональные числа х"
и х"
, которые служат десятичными приближениями числа x
: х" < х < х"
. Но тогда по определению степени с иррациональным показателем а
x"
< а
x
< а
x""
. Как показано выше, число а
x"
больше единицы. Поэтому и число а
x
, большее, чем а
x"
, также должно быть больше 1, Итак, мы показали, что при a
>1 и произвольном положительном х
а
x
> 1. Если бы число х
было отрицательным, то мы имели бы а
x
= где число -х
было бы уже положительным. Поэтому а -
x
> 1. Следовательно, а
x
= < 1. Таким образом, при а
> 1 и произвольном отрицательном x
а
x
< 1. Случай, когда 0 < а
< 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно. Свойство 4.
Если х
= 0, то независимо от а
а
x
=1. Это вытекает из определения нулевой степени; нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1. Графически это свойство выражается в том, что при любом а
кривая у
= а
x
(см. рис. 246 и 247) пересекает ось у
в точке с ординатой 1. Свойство 5.
При
а
>1 показательная функция у
= а
x
является монотонно возрастающей, а при а
< 1 - монотонно убывающей.
Это свойство также допускает простую геометрическую интерпретацию. При а
> 1 (рис. 246) кривая у
= а
x
с ростом х
поднимается все выше и выше, а при а
< 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже. Приведем строгое доказательство 5-гo свойства. Пусть а
> 1 и х
2 > х
1 . Покажем, что а
x
2
> а
x
1
Поскольку х
2 > х
1 ., то х
2 = х
1 + d
, где d
-некоторое положительное число. Поэтому а
x
2
- а
x
1
= а
x
1
+
d
- а
x
1
= а
x
1
(а
d
- 1) По 2-му свойству показательной функции а
x
1
> 0. Так как d
> 0, то по 3-му свойству показательной функции а
d
> 1. Оба множителя в произведении а
x
1
(а
d
- 1) положительны, поэтому и само это произведение положительно. Значит, а
x
2
- а
x
1
> 0, или а
x
2
> а
x
1
, что и требовалось доказать. Итак, при a
> 1 функция у
= а
x
является монотонно возрастающей. Аналогично доказывается, что при а
< 1 функция у
= а
x
является монотонно убывающей. Следствие.
Если две степени одного и того же положительного числа, отличного от 1, равны, то равны и их показатели.
Другими словами, если а
b
= а
c
(а
> 0 и а
=/= 1), b = с
. Действительно, если бы числа b
и с
были не равны, то в силу монотонности функции у
= а
x
большему из них соответствовало бы при а
>1 большее, а при а
< 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или а
b
> а
c
, или а
b
< а
c
. И то и другое противоречит условию а
b
= а
c
. Остается признать, что b = с
. Свойство 6.
Если а
> 1, то при неограниченном возрастании аргумента
х
(х
-> ∞
) значения функции
у
= а
x
также неограниченно растут
(у
-> ∞
). При неограниченном убывании аргумента
х
(х
-> -∞
) значения этой функции стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными
(у
->0; у
> 0). Принимая во внимание доказанную выше монотонность функции у
= а
x
, можно сказать, что в рассматриваемом случае функция у
= а
x
монотонно возрастает от 0 до ∞
. Если
0 < а
< 1, то при неограниченном возрастании аргумента х (х -> ∞) значения функции у = а x стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными
(у
->0; у
> 0). При неограниченном убывании аргумента х
(х
-> -∞
) значения этой функции неограниченно растут
(у
-> ∞
).
В силу монотонности функции у = а x
можно сказать, что в этом случае функция у
= а
x
монотонно убывает от ∞
до 0. 6-е свойство показательной функции наглядно отражено на рисунках 246 и 247. Строго доказывать его мы не будем. Нам осталось лишь установить область изменения показательной функции у = а x
(а
> 0, а
=/= 1). Выше мы доказали, что функция у = а x
принимает только положительные значения и либо монотонно возрастает от 0 до ∞
(при а
> 1), либо монотонно убывает от ∞
до 0 (при 0 < а
<. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция у = а x
при своем изменении каких-нибудь скачков? Любые ли положительные значения она принимает? Вопрос этот решается положительно. Ecли а
> 0 и а
=/= 1, то, каково бы ни было положительное число у
0 обязательно найдется х
0 , такое, что а
x
0
= у
0 . (В силу монотонности функции у = а x
указанное значение х
0 будет, конечно, единственным.) Доказательство этого факта выходит за пределы нашей программы. Геометрическая интерпретация его состоит в том, что при любом положительном значении у
0 график функции у = а x
обязательно пересечется с прямой у
= у
0 и притом лишь в одной точке (рис. 248). Отсюда можно сделать следующий вывод, который мы формулируем в виде свойства 7. Свойство 7.
Областью изменения показательной функции у = а x
(а
> 0, а
=/= 1) служит множество всех положительных чисел.
Упражнения
1368. Найти области определения следующих функций: 1369. Какие из данных чисел больше 1 и какие меньше 1: 1370. На основании какого свойства показательной функции можно утверждать, что а) (5 / 7) 2,6 > (5 / 7) 2,5 ; б) (4 / 3) 1,3 > (4 / 3) 1,2 1371. Какое число больше: а) π -
√3
или (1 / π
) -
√3
; в) (2 / 3) 1 +
√6
или (2 / 3) √2
+
√5
; б) ( π /
4) 1 +
√3
или ( π /
4) 2 ; г) (√3
) √2
-
√5
или (√3
) √3
-
2 ? 1372. Равносильны ли неравенства: 1373. Что можно сказать о числах х
и у
, если а x
= а y
, где а
- заданное положительное число? 1374. 1) Можно ли среди всех значений функции у
= 2 x
выделить: 2) Можно ли среди всех значений функции у
= 2 |
x|
выделить: а) наибольшее значение; б) наименьшее значение?
2. Рассмотрим подробнее показательную функцию:
0
Если , то функция f(x) убывает
Функция y= , при 0
Это следует из свойств монотонности степени с действительным показателем.
b> 0; b≠1
Например:
Показательная функция непрерывна в любой точке ϵ R.
Если а0, то показательная функция принимает вид близкий к y = 0.
Если а1, то дальше от осей ох и оу и график принимает вид близкий к функции у = 1.
Построить график у =
Определение
y(n)
= a n = a·a·a···a
,
на множество действительных чисел x
:
y(x)
= a x
.
Здесь a
- фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции
.
Показательную функцию с основанием a
также называют экспонентой по основанию a
.
При натуральном x = 1, 2, 3,...
,
показательная функция является произведением x
множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел ,
показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n
рациональных чисел, ,
ее определяют по формуле(1.11). Для действительных ,
показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x
:
.
При таком определении, показательная функция определена для всех ,
и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x
.
Свойства показательной функции
(1.1)
определена и непрерывна, при ,
для всех ;
(1.2)
при a ≠ 1
имеет множество значений ;
(1.3)
строго возрастает при ,
строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4)
при ;
при ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:
При b = e
,
получаем выражение показательной функции через экспоненту:Частные значения
На рисунке представлены графики показательной функции
y(x)
= a x
для четырех значений основания степени
: a = 2
,
a = 8
,
a = 1/2
и a = 1/8
.
Видно, что при a > 1
показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a
,
тем более сильный рост. При 0
< a < 1
показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a
,
тем более сильное убывание.Возрастание, убывание
y = a x
,
a > 1
y = a x
,
0
< a < 1
Область определения
- ∞ < x < + ∞
- ∞ < x < + ∞
Область значений
0
< y < + ∞
0
< y < + ∞
Монотонность
монотонно возрастает
монотонно убывает
Нули, y = 0
нет
нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0
y = 1
y = 1
+ ∞
0
0
+ ∞
Обратная функция
.
Если ,
то
.
Дифференцирование показательной функции
и формулу из таблицы производных :
.
.
Приводим ее к основанию e
:
Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную
Тогда
Из таблице производных имеем (заменим переменную x
на z
):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z
по x
равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
Производная показательной функции
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Пример дифференцирования показательной функции
y = 3
5
x
3
= e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда
Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3
- это постоянная, то производная z
по x
равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Интеграл
Выражения через комплексные числа
f(z)
= a z
где z = x + iy
;
i 2 = - 1
.
Выразим комплексную постоянную a
через модуль r
и аргумент φ
:
a = r e i φ
Тогда
.
Аргумент φ
определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2
πn
,
где n
- целое. Поэтому функция f(z)
также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.
Разложение в ряд
.
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
где
a - основание,
x - аргумент,
b - собственно, чему равен логарифм.
log 5 25 = b ⇒
(5 1) b = 5 2 ⇒
5 b = 5 2 ⇒
b = 2;
log 4 64 = b ⇒
(2 2) b = 2 6 ⇒
2 2 b = 2 6 ⇒
2b = 6 ⇒
b = 3;
log 16 1 = b ⇒
(2 4) b = 2 0 ⇒
2 4 b = 2 0 ⇒
4b = 0 ⇒
b = 0;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точная степень;
35 = 7 · 5 - снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 - опять не точная степень;
lg
x = log
10
x
e = 2,718281828459...
ln
x = log
e x
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12
