Статика. Равновесие тел. Условия равновесия тел

Лабораторная работа № 6 «Изучение равновесия тел под действием нескольких сил».

Цель работы: установить соотношение между моментами сил, приложенных к плечам рычага при его равновесии. Для этого к одному из плеч рычага подвешивают один или несколько грузов, а к другому прикрепляют динамометр (рис. 179).

С помощью этого динамометра измеряют модуль силы F, которую необходимо приложить для того, чтобы рычаг находился в равновесии. Затем с помощью того же динамометра измеряют модуль веса грузов Р. Длины плеч рычага измеряют с помощью линейки. После этого определяют абсолютные значения моментов М 1 и М 2 сил Р и F:

Вывод о погрешности экспериментальной проверки правила моментов можно сделать, сравнив с единицей

отношение:

Средства измерения:

1) линейка; 2) динамометр.

Материалы: 1) штатив с муфтой; 2) рычаг; 3) набор грузов.

Порядок выполнения работы

1. Установите рычаг на штатив и уравновесьте его в горизонтальном положении с помощью расположенных на его концах передвижных гаек.

2. Подвесьте в некоторой точке одного из плеч рычага груз.

3. Прикрепите к другому плечу рычага динамометр и определите силу, которую необходимо прило

жить к рычагу для того, чтобы он находился в равновесии.

4. Измерьте с помощью линейки длины плеч рычага.

5. С помощью динамометра определите вес груза Р.

6. Найдите абсолютные значения моментов сил Р и F

7. Найденные величины занесите в таблицу:

l 1 , м	l 2 , М	P, Н	F, Н	M 1 = Pl 1 , Н⋅м	M 2 =Fl 2 ,

с единицей и сделайте вывод о погрешности экспериментальной проверки правила моментов.

Основной целью работы является установление соотношения между моментами сил, приложенных к телу с закрепленной осью вращения при его равновесии. В нашем случае в качестве такого тела мы используем рычаг. Согласно правилу моментов, чтобы такое тело находилось в равновесии, необходимо чтобы алгебраическая сумма моментов сил относительно оси вращения была равна нулю.

Рассмотрим такое тело (в нашем случае рычаг). На него действуют две силы: вес грузов P и сила F (упругости пружины динамометра), чтобы рычаг находился в равновесии и моменты этих сил должны быть равны по модулю меду собой. Абсолютные значения моментов сил F и P определим соответственно:

Выводы о погрешности экспериментальной проверки правила моментов можно сделать сравнив с единицей отношение:

Средства измерения: линейка (Δl = ±0,0005 м), динамометр (ΔF = ±0,05 H). Массу грузов из набора по механике полагаем равной (0,1±0,002) кг.

Выполнение работы

№ опыта	l 1 , м	l 2 , м	P=mg, H	F, H	M 1 , нм	M 2 , нм	M 1 / M 2
								1	0,1	0,35	4	1,1	0,4	0,385	1,04
2	0,2	0,15	2	2,7	0,4	0,405	0,99
3	0,3	0,1	1	3	0,3	0,3	1

Вычисления:

Оценим погрешности.

Если тело находится в равновесии, то это значит, что сумма приложенных к нему сил равна нулю и сумма моментов этих сил относительно оси, вокруг которой тело может вращаться, также равна нулю. Но здесь возникает такой вопрос: а устойчиво ли равновесие?

С первого взгляда видно, например, что положение равновесия шарика на вершине выпуклой подставки (рис. 170) неустойчиво: малейшее отклонение шарика от его равновесного положения приведет к тому, что он скатится вниз. А вот тот же шарик помещен на вогнутой подставке (рис. 171). Его не так-то просто заставить покинуть свое место. Положение шарика можно считать устойчивым. В чем тут дело? Ведь в обоих случаях шарик находится в равновесии: сила тяжести равна по абсолютной величине противоположно направленной силе упругости (силе реакции) действующей со стороны опоры (рис. 172 и 173).

Все дело оказывается именно в том малейшем отклонении, о котором мы упоминали. При самом малом отклонении, которое всегда происходит из-за случайных сотрясений, воздушных течений и других причин, равновесие шарика нарушается. На рисунке 172 видно, что, как только шарик на выпуклой подставке покинул

свсе место, сила тяжести перестает уравновешиваться силой со стороны опоры (сила всегда направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения шарика и подставки). Геометрическая сумма (равнодействующая) силы тяжести и силы реакции опоры, т. е. сила направлена так, что шарик еще больше удалится от положения равновесия.

Иное дело на вогнутой подставке (рис. 173). При малом отклонении от первоначального положения здесь тоже нарушается равновесие. Сила упругости со стороны опоры и здесь уже не будет уравновешивать силу тяжести. Но теперь равнодействующая направлена так, что тело вернется в прежнее положение. В этом и состоит условие устойчивости равновесия.

Равновесие тела устойчиво, если при малом отклонении от равновесного положения возникает сила, возвращающая тело к положению равновесия.

Равновесие неустойчиво, если при малом отклонении тела от положения равновесия возникает сила, удаляющая тело от этого положения.

Устойчивое и неустойчивое положения равновесия отличаются друг от друга еще и положением центра тяжести тела. Когда шарик находится в положении неустойчивого равновесия, его центр тяжести выше, чем когда он находится в любом соседнем положений. Наоборот, у шарика на вогнутой опоре центр

тяжести в положении устойчивого равновесия ниже, чем в любом из соседних положений. Значит, для устойчивого равновесия центр тяжести тела должен находиться в самом низком из возможных для него положений. Это определение устойчивости и неустойчивости тесно связано с предыдущим.

Возможно и такое положение равновесия, когда малые отклонения от него не приводят к каким-либо изменениям в состоянии тела. Таково, например, положение шарика на плоской опоре (рис. 174). Ясно, что при любом изменении положения шарика оно остается равновесным. Такое равновесие называют безразличным.

Если тело имеет ось вращения, то его устойчивость или неустойчивость зависит от того, возникает ли момент силы, возвращающей тело к положению равновесия или, наоборот, удаляющей тело от этого положения.

В качестве примера рассмотрим обыкновенную линейку, укрепленную на стержне, проходящем через отверстие вблизи ее конца, как показано на рисунке 175, а. В таком положении линейка находится в равновесии, потому что сила тяжести проходящая через ее центр тяжести, уравновешивается силой реакции (силой упругости) со стороны стержня (опоры). Но если отклонить линейку от вертикального положения (рис. 175, б), то сила тяжести уже не уравновешивается реакцией опоры. Момент

силы тяжести относительно оси теперь не равен нулю (рис. 175, б). Вследствие этого сила возвратит линейку (после нескольких колебаний) в исходное положение. Поэтому положение линейки, показанное на рисунке 175, а, устойчиво. Но попытаемся подвесить ту же линейку на стержне так, как это показано на рисунке 176, а. Опыт убедит нас в том, что это сделать невозможно и нетрудно понять почему. Из рисунка 176, а видно, что при вертикальном положении линейки сила тяжести уравновешивается силой упругости (реакцией стержня), действующей на линейку со стороны стержня. Линейка должна находиться в равновесии. Но из рисунка 176, б видно, что при любом отклонении линейки от вертикального положения возникает момент силы тяжести. Вследствие этого линейка повернется так, чтобы занять положение, показанное на рисунке 176, в. Значит, равновесие линейки, соответствующее рисунку 176, а, неустойчиво.

Выходит, что равновесие тела при наличии оси вращения устойчиво, если центр тяжести тела находится ниже оси вращения.

Понятно, что линейка, подвешенная на стержне, проходящем через отверстие в ее центре тяжести, будет находиться в безразличном равновесии (рис. 177). В этом случае при любом положении линейки момент силы тяжести, приложенной к ней, относительно оси вращения равен нулю.

При конструировании различных технических устройств, проектировании инженерных сооружений приходится решать задачи о равновесии тел, на которые действуют силы, расположенные в одной плоскости. Для решения такого класса задач наряду с умением определять проекции сил на координатные оси, необходимо также научиться находить моменты сил относительно некоторых точек. Поскольку все силы расположены в одной плоскости, можно ограничиться понятием алгебраического момента силы относительно некоторой точки. Здесь же встречается понятие опарах сил.

Произвольной плоской системой сил называют совокупность сил, расположенных в одной плоскости и действующих в различных направлениях.

Алгебраическим моментом силы относительно некоторой точки называют алгебраическую величину, равную произведению модуля силы на плечо силы относительно данной точки, взятую с соответствующим знаком. Обозначение имеет вид.

Плечом силы относительно некоторой точки называют кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы. Другими словами, это длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы. Знак позволяет сравнивать вращательное действие различных сил по отношению к выбранной точке. Принято ставить знак «плюс», если сила стремиться повернуть тело относительно выбранной точки против хода стрелки часов и знак «минус» – в противном случае.

Приведем примеры определения алгебраических моментов силы относительно точки (рис. 3.1). Алгебраическими моментами сил,и, приложенных в точках 1, 2 и 3 относительно точкиО , будут:

;
;
.

Из определения также следует, что, если линия действия силы проходит через заданную точку, то алгебраический момент силы относительно этой точки равен нулю.

Парой сил называют систему двух равных по величине и противоположно направленных сил, не лежащих на одной прямой. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называют плечом пары. Из определения следует, что сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. При решении задач на равновесие тел под действием произвольной плоской системы сил удобно пользоваться понятием алгебраического момента пары сил. Алгебраическим моментом пары сил называют величину, равную произведению модуля одной из сил пары на плечо пары, взятую со знаком «плюс», если пара стремится вращать тело против хода стрелки часов, и со знаком «минус» – в противном случае. Выражения для алгебраических моментов пар сил, приведенных на рис. 3.2 имеют вид:

Пары сил, действующие на абсолютно твердое тело, обладают рядом важных свойств:

1) сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки в плоскости действия сил равна алгебраическому моменту этой пары сил (не зависит от выбора точки на плоскости);

2) пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие одинаковые алгебраические моменты, эквивалентны, т.е. оказывают на тело одинаковое воздействие. Из этого следует, что пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любую область тела, поворачивать как угодно в этой плоскости, менять одновременно модули сил пары и плечо пары так, чтобы величина алгебраического момента пары оставалась неизменной;

3) несколько пар сил, лежащих в одной плоскости, эквивалентны одной паре, алгебраический момент которой равен сумме алгебраических моментов этих пар.

Перечисленные свойства позволяют изображать пары сил дуговыми стрелками, указывающими направление действия, и задавать при этом численные значения их алгебраических моментов (см. рис. 3.2). Согласно основной теореме статики (теореме Пуансо), произвольную систему сил можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, равной главному вектору системы сил, и одной пары, векторный момент которой равенглавному моменту системы сил относительно некоторой точки – центра приведения. Напомним, что главным вектором системы сил называют геометрическую сумму сил системы, а главным моментом системы сил относительно некоторой точки – геометрическую сумму моментов сил системы относительно этой точки. Поскольку для системы сил, расположенных в одной плоскости, векторные моменты сил относительно любой точки в этой плоскости являются коллинеарными векторами, то главный момент системы сил равен сумме алгебраических моментов сил относительно этой точки. С другой стороны, главный вектор плоской системы сил перпендикулярен плоскости, в которой расположены силы и, следовательно, имеет только не равные нулю проекции на оси координат, расположенные в плоскости действия сил. Условия равновесия – равенства нулю главного вектора и главного момента – произвольной плоской системы сил поэтому могут быть записаны в виде:

(3.1)

где n –количество сил системы;О – центр приведения (в дальнейшем индексы суммирования будем опускать, предполагая, что суммирование производится по всем силам системы);x иy – оси декартовой системы координат, расположенные в плоскости действия сил системы. Условия (3.1) представляют собой аналитические условия равновесия, записанные в первой (основной) форме. Существуют и другие формы условий равновесия, однако при этом накладываются некоторые ограничения на выбор координатных осей или центра приведения. Например, можно использовать и такие условия:

(3.2)

где A иB – любые точки, лежащие в плоскости действия сил, а осьx – ось, не перпендикулярная отрезку
,

или такие условия:

где A ,B иС – любые точки, не лежащие на одной прямой.

Если в условиях равновесия часть сил неизвестна и из них должна быть найдена, тогда эти условия становятся системой линейных алгебраических уравнений. Разрешимость такой системы изучают в линейной алгебре. Следует отметить, что для получения единственного решения число неизвестных сил должно быть равно числу уравнений, а определитель матрицы левой части системы – не равен нулю. Для получения более простых уравнений, с точки зрения решения системы, в качестве центра приведения целесообразно принимать точку пересечения линий действия наибольшего числа неизвестных сил, а оси координат выбирать так, чтобы бỏльшая часть сил была либо параллельна, либо перпендикулярна этим осям. Естественно, что если в плоской системе сил все силы параллельны, то, выбрав одну из осей, параллельной силам, получим, что сумма проекций всех сил на другую ось, перпендикулярную первой, тождественно равна нулю. Таким образом, из трех уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил остаются только два. Если же линии действия сил пересекаются в одной точке, то, выбрав ее в качестве центра приведения, получим, что сумма алгебраических моментов всех сил относительно этой точки тождественно равна нулю и для решения задачи остается система двух уравнений. Запишем систему (3.1) в виде:

для 1-го случая

(2.4)

где ось x перпендикулярна силам;

для 2-го случая

(2.5)

Во многих задачах, когда вычисление плеча силы относительно точки затруднено, удобно использовать теорему Вариньона: “Если некоторая система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой точки равен сумме моментов всех сил системы относительно той же точки” . Теперь силу можно разложить по линии ее действия на две составляющие и найти сумму моментов этих составляющих относительно выбранной точки. Так, сила, показанная на рис. 3.3, может быть представлена двумя составляющимии
, причем
, а модули этих составляющих равны, соответственно,
и
. На основании приведенной теоремы момент силыотносительно, например, точкиО находят по формуле

гдеa иb , соответственно, плечи сил
иотносительно этой точки.

Часто встречаются задачи, когда на тело действует нагрузка, равномерно распределенная по какой-либо прямой (рис. 3.4.). Ее задаютинтенсивностью q , имеющей размерность Н/м и выражающей силу, приходящуюся на единицу длины участка, на котором эта нагрузка действует. Равномерно распределенную нагрузку можно заменить равнодействующейQ , равной произведению интенсивности на длину участка и приложенной посредине этого участка, т.е.
. Если, например, необходимо определить значение алгебраического момента равномерно распределенной нагрузки (см. рис. 3.4.) относительно точкиO , то используют формулу

.

Для проверки правильности решения задачи записывают дополнительное уравнение, выражающее сумму моментов всех сил относительно любой точки, не использованной при решении задачи. После подстановки в это уравнение найденных значений реакций связей сумма должна быть равной нулю. Наличие погрешностей в вычислениях приводит к тому, что в действительности равенство нулю выполняется неточно. Оценить полученный результат можно с помощью вычисления относительной погрешности, которую определяют, например, по формуле

,

где – модуль полученной суммы;
– сумма положительных слагаемых. Относительная погрешность зависит от точности вычислений, но не должна превышать 1–3 %. Если погрешность велика, то необходимо проверить правильность записи уравнений равновесия и вычислений при решении.

По физике за 9 класс (И.К.Кикоин, А.К.Кикоин, 1999 год),
задача №6
к главе «ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ».

Цель работы: установить соотношение между моментами сил, приложенных к плечам рычага при его равновесии. Для этого к одному из плеч рычага подвешивают один или несколько грузов, а к другому прикрепляют динамометр (рис. 179).

С помощью этого динамометра измеряют модуль силы F , которую необходимо приложить для того, чтобы рычаг находился в равновесии. Затем с помощью того же динамометра измеряют модуль веса грузов Р . Длины плеч рычага измеряют с помощью линейки. После этого определяют абсолютные значения моментов М 1 и М 2 сил Р и F :

Вывод о погрешности экспериментальной проверки правила моментов можно сделать, сравнив с единицей

отношение:

Средства измерения:

1) линейка; 2) динамометр.

Материалы: 1) штатив с муфтой; 2) рычаг; 3) набор грузов.

Порядок выполнения работы

1. Установите рычаг на штатив и уравновесьте его в горизонтальном положении с помощью расположенных на его концах передвижных гаек.

2. Подвесьте в некоторой точке одного из плеч рычага груз.

3. Прикрепите к другому плечу рычага динамометр и определите силу, которую необходимо прило

жить к рычагу для того, чтобы он находился в равновесии.

4. Измерьте с помощью линейки длины плеч рычага.

5. С помощью динамометра определите вес груза Р .

6. Найдите абсолютные значения моментов сил Р и F

7. Найденные величины занесите в таблицу:

				M 1 = Pl 1 , Н⋅м

8. Сравните отношение

с единицей и сделайте вывод о погрешности экспериментальной проверки правила моментов.

Основной целью работы является установление соотношения между моментами сил, приложенных к телу с закрепленной осью вращения при его равновесии. В нашем случае в качестве такого тела мы используем рычаг. Согласно правилу моментов, чтобы такое тело находилось в равновесии, необходимо чтобы алгебраическая сумма моментов сил относительно оси вращения была равна нулю.

Рассмотрим такое тело (в нашем случае рычаг). На него действуют две силы: вес грузов P и сила F (упругости пружины динамометра), чтобы рычаг находился в равновесии и моменты этих сил должны быть равны по модулю меду собой. Абсолютные значения моментов сил F и P определим соответственно:

Выводы о погрешности экспериментальной проверки правила моментов можно сделать сравнив с единицей отношение:

Средства измерения: линейка (Δl = ±0,0005 м), динамометр (ΔF = ±0,05 H). Массу грузов из набора по механике полагаем равной (0,1±0,002) кг.

Выполнение работы

В § 41 мы нашли условие равновесия тела, находящегося под действием трех сил, расположенных под углом друг к другу и приложенных к одной точке. Оказалось, что для этого все три силы должны лежать в одной плоскости и каждая из них должна равняться по модулю и быть обратной по направлению равнодействующей двух других сил.

Рис. 97. Исследование условий равновесия твердого тела под действием трех сил, приложенных к разным точкам тела

Рис. 98. Точка пересечения уравновешивающихся сил может лежать вне тела

Но на практике часто силы оказываются приложенными не в одной точке. Выясним, каковы будут условия равновесия в этом случае. Для этого воспользуемся таким же устройством с тремя гирями, какое мы применяли в § 41, с той разницей, что нити, на которых подвешены гири, будем прикреплять к разным точкам куска легкого картона, как показано на рис. 97. Если масса картона мала по сравнению с массами гирь, то силой тяжести, действующей на картон, можно пренебречь и считать, что к нему приложены только силы натяжения нитей. Опыт покажет, что при равновесии все нити (а значит, и силы, действующие на картон) расположатся в одной плоскости. Отмечая на картоне линии, указывающие направления нитей, и продолжая их до пересечения, убедимся, что все три линии пересекаются в одной точке. Перенося в нее точки приложения всех трех сил натяжения нитей, убедимся, что и в этом случае условие равновесия трех сил, сформулированное выше, оказывается выполненным.

Заметим, что точка пересечения направлений сил не должна при этом обязательно лежать в самом теле (рис. 98).

Рис. 99. Люстра находится в равновесии под действием четырех сил, не лежащих в одной плоскости

Рис. 100, К упражнению 72.2

Если на тело действуют больше чем три силы, то равновесие может наступить и в том случае, когда силы не лежат в одной плоскости. Такой случай (груз, подвешенный на трех тросах) показан на рис. 99.

72.1. Докажите, что при равновесии трех сил ломаная, составленная из них, образует "треугольник.

72.2. Груз массы 5 кг подвешен на двух нитях: одна расположена горизонтально, другая - под углом в 45° к горизонту (рис. 100). Найдите силы натяжения нитей.

72.3. Судно пришвартовано к берегу двумя тросами, образующими с линией берега угол 60° (рис. 101). Под действием ветра, дующего с берега, оба троса натянулись так, что сила натяжения каждого троса составляет 10 кН. Определите силу, с которой ветер давит на судно.

Рис. 101. К упражнению 72.3

Рис. 102. К упражнению 72.4

72.4. На проволоке подвешен груз массы 10 кг; к середине проволоки прикреплена горизонтально расположенная оттяжка, перекинутая через блок (рис. 102). На конец оттяжки подвешен груз массы 2,5 кг. Найдите угол а, который образует верхняя часть проволоки с вертикалью, и силу натяжения верхней части проволоки.