Скалярное произведение функций. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами

21.09.2019

Отметим теперь некоторые свойства скалярного произведения и нормы. Применяя неравенство и принимая во внимание, что можем написать:

Докажем теперь так называемое правило треугольника

Мы имеем:

или, принимая во внимание (128), получим:

откуда и следует (129).

В заключение настоящего номера рассмотрим, какое влияние оказывает выбор системы координат на метрику пространства, т. е. на выражение квадрата длины вектора. Положим, что вместо основной декартовой мы берем новую систему координат, причем за основные орты принимаем некоторые независимые векторы

Для любого вектора будем иметь:

где его составляющие в новой координатной системе.

Квадрат длины этого вектора будет выражаться скалярным произведением вектора на самого себя, т. е.

Раскрывая это, согласно вышеуказанным формулам, будем иметь следующее выражение для квадрата длины вектора:

где коэффициенты определяются по формулам

При перестановке значков они, очевидно, переходят в сопряженные, т. е.

Сумма вида (130) с коэффициентами, удовлетворяющими условию (131), называется обычно формой Эрмита. Непосредственно очевидно, что всякое выражение вида (130) при условии (131) будет иметь при всевозможных комплексных лишь вещественные значения, так как при два члена суммы (130) будут сопряженными, а в членах вида в силу условия (131), коэффициенты будут вещественными. Кроме того, по самому построению формы Эрмита в данном случае мы можем утверждать, что сумма (130) будет неотрицательной и будет обращаться в нуль только тогда, когда все равны нулю. Формула (130) и определяет метрику пространства в новой координатной системе.

Метрика (130) будет совпадать с метрикой (110) в соответствующей декартовой системе, если при или при т. е., иначе говоря, если векторы принятые нами за орты, будут взаимно ортогональными единичными лекторами (длины единица).

В дальнейшем всякую систему взаимно ортогональных и единичных векторов мы будем называть ортонормиро ванной системой.

Заметим еще, что если формула (113) определяет унитарное преобразование для составляющих вектора, то соответствующее преобразование для перехода от прежних ортов к новым будет даваться таблицей

контраградиентной U. В данном случае, в силу (123), эта таблица будет совпадать с таблицей U, а для вещественных ортогональных преобразований она будет просто совпадать с U.

Приложение. 1. Скалярное произведение функций.

1. Скалярное произведение функций .

Пусть на отрезке [a , b ] задана система функций, интегрируемых с квадратом на [a , b ]:

u 0 (x ), u 1 (x ), u 2 (x ), …, u n (x ), …, (1)

Аналогично тому, как между элементами векторного пространства вводится операция скалярного произведения векторов, которая сопоставляет паре векторов данного пространства некоторое число – скаляр , так и между элементами данной системы функций u i (x ), u j (x ) может быть определена операция скалярного произведения функций, обозначаемая далее как (u i (x ), u j (x )).

По определению операция скалярного произведения между элементами x , y и z некоторого пространства (в том числе и между элементами системы функций) должна обладать следующими свойствами:

Скалярное произведение между элементами пространства функций u i (x ), u j (x ) i , j = 0, 1, 2,..., интегрируемых на [a , b ] с квадратом, вводится с помощью операции интегрирования:

Определение 1 . Система (1) является ортогональной системой функций на отрезке [a , b ], если любые две функции u i (x ), u j (x ), i , j = 0, 1, 2, ... данной системы
ортогональны (между собой) на [a , b ].

Определение 2 . Назовём две функции u i (x ), u j (x ), i , j = 0, 1, 2, ... системы (1)
ортогональными на отрезке [a , b ], если для их скалярного произведения выполняется условие:

(4)

Число - называется нормой функции u i (x ).

Если все функции u i (x ) имеют единичную норму , т.е.

l i = 1, i = 0, 1, 2, ... (5)

и система функций (1) ортогональна на [a , b ], то такая система называется
ортонормированной или нормальной ортогональной системой на отрезке [a , b ].

Если условия нормальности функций изначально не выполняются, от системы (1) при необходимости можно перейти к системе (6), которая уже заведомо будет нормальной:

, i = 0, 1, 2, ... (6)

Отметим, что из свойства ортогональности элементов некоторой системы, следует их линейная независимость , т.е. справедливо утверждение: Всякая ортогональная система ненулевых векторов (элементов ) является линейно-независимой .

2 .Понятие базисных функций .

Из курса линейной алгебры вам известно, что в пространстве векторов можно ввести векторный ба́зис - множество векторов, таких, что любой вектор данного векторного пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. При этом ни один из базисных векторовне представим в виде конечной линейной комбинации остальных базисных векторов (линейная независимость базисных векторов).

Так, например, любой вектор трёхмерного пространства однозначно может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов :

= .

где a , b , и c - некоторые числа. А в силу линейной независимости (ортогональности) базисных векторов ни один из векторов в отдельности не может быть представлен в виде линейной комбинации оставшихся базисных векторов.

Аналогично изложенному выше, в пространстве полиномиальных функций , т.е. в пространстве полиномов степени не выше n :

P n (x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n . (7)

может быть введён базис из элементарных полиномиальных (показательных ) функций :

x 0 , x , x 2 , x 3 , …, x n (8)

при этом, очевидно, что базисные функции (8) являются линейно независимыми, т.е. ни одна из базисных функций (8) не может быть представлена в виде линейной комбинации оставшихся базисных функций. При этом очевидно, что любой полином степени не выше n может быть однозначно представлен в виде (7), т.е. в виде линейной комбинации базисных функций (8).

j i (x ) = g i (x - a ) i + (x - a ) i+ 1 , i = 1, 2, …, n (9)

Объяснение этому отчасти даётся известной из математического анализа теоремой Вейерштрасса, в соответствии с которой любая непрерывная на отрезке [a , b ] функция f (x ) может быть «хорошо » приближена на этом отрезке некоторым полиномом P n (x ) степени n , т.е. увеличивая степень n полинома P n (x ), его всегда можно сколь угодно близкоподогнать к непрерывной функции f (x ).

Поскольку любой полином может быть представлен в виде линейной комбинации базисных полиномиальных функций типа (8) или (9), то в силу теоремы Вейерштрасса непрерывную (т.е. дважды дифференцируемую функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения второго порядка) можно представить в виде линейной комбинации базисных функций (9), которые являются дважды дифференцируемыми и попарно линейно-независимыми.

Вопросы по теме

«Методы приближённого решения краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений» .

(Лекции 25 - 26 )

1. Основные определения : Постановка линейной краевой задачи для ОДУ второго порядка; типы и классификация краевых задач.

2. Методы сведения краевых задач к начальным задачам : постановка задачи; метод пристрелки; метод редукции; метод дифференциальной прогонки.

3. Метод конечных разностей : постановка задачи; универсальность метода конечных разностей для решения краевых задач; выбор типов аппроксимаций производной для сведения краевой задачи к САЛУ с матрицей, имеющей трёхдиагональную структуру.

4. Интерполяционный метод или метод коллокации : поиск приближённого решения в виде линейной комбинации базисных функций, требования к базисным функциям для выполнения краевых условий; поиск коэффициентов линейной комбинации исходя из условия совпадения точного и приближённого решения в узлах коллокации; выбор базисных функций.

5. Метод Галёркина - основные понятия теории метода Галеркина. Поиск приближённого решения в виде линейной комбинации базисных функций , требования к базисным функциям. Выбор коэффициентов линейной комбинации, определяющей вид приближённого решения из условия минимизации невязки , обусловленной заменой точного решения дифференциальной задачи искомым приближённым решением.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова

(технический университет)

А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян

Ряды фурье. Интеграл Фурье.

Операционное исчисление

Учебно-методическое пособие

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

УДК 512 + 517.2 (075.80)

Учебно-методическое пособие дает возможность получить практические навыки анализа функций с помощью разложения в ряд Фурье или представления интегралом Фурье и предназначено для самостоятельной работы студентов дневной и заочной форм обучения специальностей.

В пособии рассмотрены основные вопросы операционного исчисления и широкий класс технических задач с применением основ операционного исчисления.

Научный редактор проф. А.П. Господариков

Рецензенты: кафедра высшей математики № 1 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета; доктор физ.-мат. наук В.М. Чистяков (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет).

Господариков А.П.

Г723. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление: Учебно-методическое пособие / А.П. Господариков , Г.А. Колтон , С.А. Хачатрян ; Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2005. 102 с.

ISBN 5-94211-104-9

УДК 512 + 517.2 (075.80)

ББК 22.161.5

Введение

Из теории Фурье известно, что при некотором воздействии на физические, технические и другие системы, его результат повторяет форму начального входного сигнала, отличаясь только масштабным коэффициентом. Понятно, что на такие сигналы (их называют собственными) система реагирует наиболее простым образом. Если произвольный входной сигнал есть линейная комбинация собственных сигналов, а система линейна, то реакция системы на этот произвольный сигнал есть сумма реакций на собственные сигналы. И поэтому полную информацию о системе можно получить по «кирпичикам» – откликам системы на собственные входные сигналы. Так поступают, например, в электротехнике, когда вводят частотную характеристику системы (передаточную функцию). Для наиболее простых линейных, инвариантных во времени систем (например, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами) в некоторых случаях собственными функциями являются гармоники вида . Таким образом можно получить и результат произвольного воздействия на систему, если последний будет представлен в виде линейной комбинации гармоник (в общем случае, в виде ряда Фурье или интеграла Фурье). Вот одна из причин, по которой в теории и приложениях возникает потребность применения понятия тригонометрического ряда (ряда Фурье) или интеграла Фурье.

Глава 1. Ряды фурье

§ 1. Векторные пространства

Здесь приведены краткие сведения из векторной алгебры, необходимые для лучшего понимания основных положений теории рядов Фурье.

Рассмотрим множество  геометрических векторов (векторное пространство), для которого обычным образом введены понятие равенства векторов, линейные операции (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и операции скалярного умножения векторов.

Введем в пространстве  ортогональный базис, состоящий из трех попарно ортогональных векторов ,и. Произвольный вектор
является линейной комбинацией векторов базиса:

. (1.1)

Коэффициенты  i (i = 1, 2, 3), называемые координатами вектора относительно базиса
, могут быть определены следующим образом. Скалярное произведение вектораи одного из векторов базиса

В силу ортогональности базиса скалярные произведения
при
, следовательно, в правой части последнего равенства отлично от нуля лишь одно слагаемое, соответствующее
, поэтому
, откуда

, (1.2)

где
.

Если векторы изаданы своими координатами
и
, то их скалярное произведение

Так как при
скалярное произведение
, то в двойной сумме отличны от нуля лишь слагаемые с равными индексами, поэтому

В частности при
из (1.3) следует

. (1.4)

§ 2. Скалярное произведение и норма функций

Обозначим символом
множество функций, кусочно-непрерывных на промежутке [a , b ], т.е. функций, имеющих на промежутке [a , b ] конечное число точек разрыва первого рода и непрерывных во всех остальных точках этого промежутка.

Скалярным произведением функций
называется число

Свойства скалярного произведения функций полностью совпадают со свойствами скалярного произведения векторов:

1.
.

2.
.

3.
.

4.
;
.

Таким образом, скалярное произведение линейно зависит от своих компонентов. Это свойство называется билинейностью скалярного произведения.

Функции
называются ортогональными
на [a , b ], если
.

Нормой функции
на промежутке [a , b ] называется неотрицательное число , квадрат которого равен скалярному произведению функции на себя:

Свойства нормы функции во многом совпадают со свойствами модуля вектора:

1.
.

2. Если функция
непрерывна на [a , b ] и
, то
. Так как
, то при

откуда
. Дифференцируя последнее соотно- шение пои применяя теорему Барроу, получим
и, сле-довательно,
.

3. т еорема косинусов .

.

Следствие . Если
, то
(теорема Пифагора).

4. Обобщенная теорема Пифагора. Если функции (k = = 1, 2, …, n ) попарно ортогональны на промежутке
, то

Используя свойство билинейности скалярного произведения, получим

В силу ортогональности функций скалярные произведения
при
, поэтому

5. н еравенство Коши – Буняковского
, или, что то же самое,

При любых вещественных

Таким образом, квадратный трехчлен в левой части последнего не-равенства сохраняет знак на всейвещественнойоси, следовательно, его дискриминант
.

Упражнение 1. Доказать свойства скалярного произведе-ния функций 1-3.

Упражнение 2. Показать справедливость следующих ут-верждений:

а) функция
ортогональна функциям
и
на промежутке
при любых целыхk и m ;

б) при любых целых k и m функции
и
ортогональны на промежутке
;

в) функции
и
, а также
и
при
ортогональны на промежутках
и
;

г) функции
и
не ортогональны на промежутке
.

Упражнение 3. Используя свойство нормы 5, доказать неравенство треугольника

Скалярное произведение векторов (далее в тексте СП). Дорогие друзья! В состав экзамена по математике входит группа задач на решение векторов. Некоторые задачи мы уже рассмотрели. Можете посмотреть их в категории «Векторы». В целом, теория векторов несложная, главное последовательно её изучить. Вычисления и действия с векторами в школьном курсе математики просты, формулы не сложные. Загляните в . В этой статье мы разберём задачи на СП векторов (входят в ЕГЭ). Теперь «погружение» в теорию:

Ч тобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала

И ещё:

*Длина вектора (модуль) определяется следующим образом:

Данные формулы необходимо запомнить!!!

Покажем угол между векторами:

Понятно, что он может изменяться в пределах от 0 до 180 0 (или в радианах от 0 до Пи).

Можем сделать некоторые выводы о знаке скалярного произведения. Длины векторов имеют положительное значение, это очевидно. Значит знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла между векторами.

Возможны случаи:

1. Если угол между векторами острый (от 0 0 до 90 0), то косинус угла будет иметь положительное значение.

2. Если угол между векторами тупой (от 90 0 до 180 0), то косинус угла будет иметь отрицательное значение.

*При нуле градусов, то есть когда векторы имеют одинаковое направление, косинус равен единице и соответственно результат будет положительным.

При 180 о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице, и соответственно результат будет отрицательным.

Теперь ВАЖНЫЙ МОМЕНТ!

При 90 о, то есть когда векторы перпендикулярны друг другу, косинус равен нулю, а значит и СП равно нулю. Этот факт (следствие, вывод) используется при решение многих задач, где речь идёт о взаимном расположении векторов, в том числе и в задачах входящих в открытый банк заданий по математике.

Сформулируем утверждение: скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы лежат на перпендикулярных прямых.

Итак, формулы СП векторов:

Если известны координаты векторов или координаты точек их начал и концов, то всегда сможем найти угол между векторами:

Рассмотрим задачи:

27724 Найдите скалярное произведение векторов a и b .

Скалярное произведение векторов мы можем найти по одной из двух формул:

Угол между векторами неизвестен, но мы без труда можем найти координаты векторов и далее воспользоваться первой формулой. Так как начала обоих векторов совпадают с началом координат, то координаты данных векторов равны координатам их концов, то есть