Расстояние от точки до фигуры. Расстояние от точки до фигуры (точки, прямой, плоскости)

Рассмотрим только определение расстояний, поскольку НВ плоской фигуры была рассмотрена в п. 4.

8.1. Расстояние от точки до фигуры (точки, прямой, плоскости)

Приведем сведения из планиметрии, необходимые для решения обозначенных задач.

1. Длина отрезка есть расстояние между его концами.

2. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Задача. Определить длину отрезка АВ (рис. 8.1).

В п. 4 было приведено решение этой задачи методом замены плоскостей проекций. Рассмотрим другое решение – решение методом прямоугольного треугольника. Его обоснование выполним, опираясь на указанный метод замены. Выполняя решение данной задачи методом замены, получим А 4 В 4 – искомую длину. Видим, что в соответствии с методом замены Е 4 В 4 = b. Поэтому, отложив на линии В 1 В 4 ^ х 1 от точки В 1 отрезок B 1 D 1 = E 4 В 4 = b, получим прямоугольный треугольник А 1 В 1 D 1 , в котором А 1 D 1 = А 4 В 4 , т.е. длина гипотенузы А 1 D 1 есть искомая длина. Следовательно, длину отрезка АВ можно определить на плоскости проекций П 1 используя расстояние b, снятое на плоскости проекций П 2 . При этом замена плоскостей проекций с осью х 1 не нужна. Аналогично можно определить искомую длину на плоскости П 2 . Для этого выстраиваем прямоугольный треугольник B 2 A 2 C 2 , у которого С 2 А 2 = а, где а определено на П 1 . В итоге получаем В 2 С 2 = В 1 С 1 – искомая длина отрезка АВ. Понятно, что необходимо строить лишь один из двух приведенных прямоугольных треугольников.

Задача. Даны прямая АВ и точка Е вне прямой (рис. 8.2). Требуется определить расстояние  (Е, АВ).

Проекционный алгоритм решения может быть следующим:

1) методом замены плоскостей проекций определяется длина отрезка АВ. На П 4 она равна А 4 В 4 ;

2) строится дополнительная на П 4 проекция Е 4 точки Е;

3) вводится новая система плоскостей проекций П 4 , П 5 такая, что ее ось проекций х 2 перпендикулярна А 4 В 4 ;

4) на П 5 строятся дополнительные

проекции отрезка АВ и точки Е. Проекциями будут соответственно точки А 5 = В 5 и Е 5 .

Расстояние (F 5 , Е 5) является искомым расстоянием между данными прямой и точкой. Возвращаем затем последовательно проекции отрезка EF на П 4 , П 1 , П 2 . Для этого проводим вначале E 4 F 4 // x 2 , а затем строим: (F 5 , F 4)  F 1 ; (F 4 , F 1)  F 2 .

В итоге получаем E 1 F 1 , E 2 F 2 – основные проекции отрезка EF, длина которого есть искомое расстояние. Необходимо отметить, что если не учитывать полученные построения на П 5 , то оставшиеся построения на П 2 , П 1 и П 4 соответствуют решению задачи о проведении прямой EF через данную точку Е, пересекающей под 90 данную прямую АВ.

Задача. Даны плоскость Σ (ΔАВС) и точка Е. Определить расстояние от точки Е до плоскости Σ (рис. 8.3).

Решение задачи может быть выполнено методом замены плоскостей проекций. Проекционный алгоритм решения в этом случае следующий:

1) в плоскости Σ строится линия уровня,

например h(h 1 , h 2) , так, что h 2 // x;

2) вводится новая система плоскостей проекций П 1 , П 4 с осью х 1 так, что х 1 ^ h 1 ;

3) на П 4 строятся дополнительные проекции заданных фигур – В 4 С 4 для ΔАВС и Е 4 для точки Е;

4) длина перпендикуляра E 4 F 4 есть искомое расстояние (Е, Σ).

Для полноты решения строим проекции отрезка EF на основных плоскостях проекций. Для этого строим вначале E 1 F 1 // х 1 , а затем (F 4 , F 1)  F 2 ; E 2 F 2 , E 1 F 1 – основные проекции отрезка EF длины .

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.

Алгоритм

1. Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
2. Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
3. Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.

На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.

Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей , который не предполагает перемещение фигур в пространстве.

Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П 4 . В новой системе (П 1 , П 4) точки C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 находятся на том же удалении от оси X 1 , что и C"", D"", M"" от оси X.

Выполняя вторую часть алгоритма, из M"" 1 опускаем перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на прямую b"" 1 , поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П 4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N" и проводим проекцию M"N" отрезка MN.

На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M"N" и M"" 1 N"" 1 . Для этого строим прямоугольный треугольник M"" 1 N"" 1 N 0 , у которого катет N"" 1 N 0 равен разности (Y M 1 – Y N 1) удаления точек M" и N" от оси X 1 . Длина гипотенузы M"" 1 N 0 треугольника M"" 1 N"" 1 N 0 соответствует искомому расстоянию от M до b.

Второй способ решения

• Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П 4 . Она пересекает П 1 по оси X 1 , причем X 1 ∥C"D". В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C"" 1 , D"" 1 и M"" 1 , как это изображено на рисунке.
• Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П 5 , на которую прямая b проецируется в точку C" 2 = b" 2 .
• Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M" 2 C" 2 , обозначенного красным цветом.

Похожие задачи:

Определение расстояний

Рассмотрим только определение расстояний, поскольку НВ плоской фигуры была рассмотрена в п. 4.

Приведем сведения из планиметрии, необходимые для решения обозначенных задач.

1. Длина отрезка есть расстояние между его концами.

2. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Задача. Определить длину отрезка АВ (рис. 8.1).

В п. 4 было приведено решение этой задачи методом замены плоскостей проекций. Рассмотрим другое решение – решение методом прямоугольного треугольника. Его обоснование выполним, опираясь на указанный метод замены. Выполняя решение данной задачи методом замены, получим А 4 В 4 – искомую длину. Видим, что в соответствии с методом замены Е 4 В 4 = b. Поэтому, отложив на линии В 1 В 4 ^ х 1 от точки В 1 отрезок B 1 D 1 = E 4 В 4 = b, получим прямоугольный треугольник А 1 В 1 D 1 , в котором А 1 D 1 = А 4 В 4 , т.е. длина гипотенузы А 1 D 1 есть искомая длина. Следовательно, длину отрезка АВ можно определить на плоскости проекций П 1 используя расстояние b, снятое на плоскости проекций П 2 . При этом замена плоскостей проекций с осью х 1 не нужна. Аналогично можно определить искомую длину на плоскости П 2 . Для этого выстраиваем прямоугольный треугольник B 2 A 2 C 2 , у которого С 2 А 2 = а, где а определено на П 1 . В итоге получаем В 2 С 2 = В 1 С 1 – искомая длина отрезка АВ. Понятно, что необходимо строить лишь один из двух приведенных прямоугольных треугольников.

Задача. Даны прямая АВ и точка Е вне прямой (рис. 8.2). Требуется определить расстояние r (Е, АВ).

Проекционный алгоритм решения может быть следующим:

1) методом замены плоскостей проекций определяется длина отрезка АВ. На П 4 она равна А 4 В 4 ;

2) строится дополнительная на П 4 проекция Е 4 точки Е;

3) вводится новая система плоскостей проекций П 4 , П 5 такая, что ее ось проекций х 2 перпендикулярна А 4 В 4 ;

4) на П 5 строятся дополнительные

проекции отрезка АВ и точки Е. Проекциями будут соответственно точки А 5 = В 5 и Е 5 .

Расстояние r(F 5 , Е 5) является искомым расстоянием между данными прямой и точкой. Возвращаем затем последовательно проекции отрезка EF на П 4 , П 1 , П 2 . Для этого проводим вначале E 4 F 4 // x 2 , а затем строим: (F 5 , F 4) Þ F 1 ; (F 4 , F 1) Þ F 2 .

В итоге получаем E 1 F 1 , E 2 F 2 – основные проекции отрезка EF, длина которого есть искомое расстояние. Необходимо отметить, что если не учитывать полученные построения на П 5 , то оставшиеся построения на П 2 , П 1 и П 4 соответствуют решению задачи о проведении прямой EF через данную точку Е, пересекающей под 90° данную прямую АВ.

Задача. Даны плоскость Σ (ΔАВС) и точка Е. Определить расстояние от точки Е до плоскости Σ (рис. 8.3).

Решение задачи может быть выполнено методом замены плоскостей проекций. Проекционный алгоритм решения в этом случае следующий:

1) в плоскости Σ строится линия уровня,

например h(h 1 , h 2) , так, что h 2 // x;

2) вводится новая система плоскостей проекций П 1 , П 4 с осью х 1 так, что х 1 ^ h 1 ;

3) на П 4 строятся дополнительные проекции заданных фигур – В 4 С 4 для ΔАВС и Е 4 для точки Е;

4) длина перпендикуляра E 4 F 4 есть искомое расстояние r(Е, Σ).

Для полноты решения строим проекции отрезка EF на основных плоскостях проекций. Для этого строим вначале E 1 F 1 // х 1 , а затем (F 4 , F 1) Þ F 2 ; E 2 F 2 , E 1 F 1 – основные проекции отрезка EF длины r.

Обсуждение теста

Обсуждение теста. 1 вариант

Обсуждение теста. 2 вариант

Обсуждение теста. 3 вариант

Обсуждение теста. 4 вариант

Математическая разминка (запишите ответы в тетрадь)

1. Вычислите:
1
3
а)
1– –
б)
1 2
1
4
1
2
1
6
25
16
=
9
1
16
1
2. Девочки составляют всего класса.
3
Во сколько раз мальчиков в классе больше, чем девочек?
3. Сравните:
1
а) величины и 67% величины;
3
3
б) 75% величины и величины.
5
в 2 раза
67 % - больше
75 % - больше

Цель урока

Назовите ключевое слово урока
Что такое расстояние?
Самый простой случай – это
расстояние между двумя точками.
В геометрии говорят и о расстоянии в
других, более сложных случаях:
расстояние от точки до фигуры
(окружности, прямой и т.п.),
расстояние между двумя
параллельными прямыми.
целеполагание

Расстояние между двумя точками

Определение:
Расстояние между двумя точками – это длина
отрезка, соединяющего эти точки.
Выучите это определение

10. Расстояние от точки до фигуры

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

11. Расстояние от точки до фигуры

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

12. Расстояние от точки до прямой

УЧЕБНИК
№101
C
например
B
A
D
Практикум

13. Осваиваем алгоритмы

Рабочая
тетрадь
№ 49
В
С
Точка А ближе к прямой b

14. Осваиваем алгоритмы

Рабочая
тетрадь
№ 50
Проверка полученных результатов. Коррекция

15. Ненаглядная наука

Домашнее задание
1) стр. 38-39, фрагмент 1,2 – читать, определения расстояния
между двумя точками, от точки до прямой - знать;
2) № 102, 104, 103*;
3) повторить определения и свойства из пройденных тем
главы 2 (стр. 30-40).
Подведение итогов, рефлексия, домашнее задание.