Распределение рэлея - реферат. Основные математические модели, используемые в теории надежности

Плотность вероятности в законе Рэлея (см. рис. 3.4) имеет следующий вид

где  - параметр распределения Рэлея (равен моде этого распределения ). Его не нужно смешивать со среднеквадратическим отклонением:

.

Интенсивность отказов равна:

.

Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика  (t), начинающаяся с начала координат.

Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению

. (3.12)

Средняя наработка до отказа

. (3.13)

1. 3.4. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

, (3.14)

где m x ,  x - соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

При анализе надежности электроустановок в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m x и  x .

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

, (3.15)

а интенсивность отказов - по формуле

.

На рис. 3.5 изображены кривые (t), Р(t) и (t) для случая  t  m t , характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления .

В данном пособии показаны только наиболее распространенные законы распределения случайной величины. Известен целый ряд законов, так же используемых в расчетах надежности : гамма-распределение, -распределение, распределение Максвелла, Эрланга и др.

Следует отметить, что если неравенство  t  m t не соблюдается, то следует использовать усеченное нормальное распределение .

Для обоснованного выбора типа практического распределения наработки до отказа необходимо большое количество отказов с объяснением физических процессов, происходящих в объектах перед отказом.

В высоконадежных элементах электроустановок, во время эксплуатации или испытаний на надежность, отказывает лишь незначительная часть первоначально имеющихся объектов. Поэтому значение числовых характеристик, найденное в результате обработки опытных данных, сильно зависит от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. Как показано в , при различных законах наработки до отказа, значения средней наработки до отказа, вычисленные по одним и тем же исходным данным, могут отличаться в сотни раз. Поэтому вопросу выбора теоретической модели распределения наработки до отказа необходимо уделять особое внимание с соответствующим доказательством приближения теоретического и экспериментального распределений (см. разд. 8).

1. 3.5. Примеры использования законов распределения в расчетах надежности

Определим показатели надежности для наиболее часто используемых законов распределения времени возникновения отказов.

1. 3.5.1. Определение показателей надежности при экспоненциальном законе распределения

Пример . Пусть объект имеет экспоненциальное распределение времени возникновения отказов с интенсивностью отказов  = 2,5  10 -5 1/ч.

Требуется вычислить основные показатели надежности невосстанавливаемого объекта за t = 2000 ч.

Вероятность безотказной работы за время t = 2000 ч равна

Вероятность отказа за t = 2000 ч равна

 (2000) = 1 - Р (2000) = 1 - 0,9512 = 0,0488.

Используя выражение (2.5), вероятность безотказной работы в интервале времени от 500 ч до 2500 ч при условии, что объект проработал безотказно 500 ч равна

Средняя наработка до отказа

ч.

Функция плотности вероятности

Функция распределения

, x ³ 0;

Точечная оценка параметра закона распределения

.

Закон распределения Эрланга (гамма-распределение)

Функция плотности вероятности

Функция распределения

, x ³ 0;

Точечная оценка параметров закона распределения:

и по k" принимается k как ближайшее целое (k=1, 2, 3,...); .

Закон распределения Вейбулла

Функция плотности вероятности

функция распределения

, x ³ 0;

Точечная оценка параметров закона распределения

;

В системах с приоритетами требований различают относительный приоритет (без прерывания обслуживания), когда при поступлении требования с более высоким приоритетом оно принимается на обслуживание после окончания ранее начавшегося обслуживания требования с меньшим приоритетом, и абсолютный приоритет, когда канал освобождается немедленно для обслуживания поступившего требования с более высоким приоритетом.

Шкала приоритета может быть построена исходя из каких-то внешних относительно системы обслуживания критериев или на показателях, связанных с работой самой системы обслуживания. Практическое значение имеют следующие типы приоритетов:

приоритет у требований с наименьшим временем обслуживания. Эффективность данного приоритета может быть показана на следующем примере. Поступили последовательно два требования с длительностью обслуживания соответственно 6,0 и 1,0 ч. При приеме их на обслуживание освободившимся каналом в порядке поступления простой составит для 1-го требования 6,0 ч и для второго 6,0+1,0 = 7,0 ч или суммарно для двух требований 13,0 ч. Если дать приоритет второму требованию и его принять на обслуживание первым, то его простой составит 1,0 ч и простой другого– 1,0+6,0 = 7,0 ч или суммарно для двух требований 8,0 ч. Выигрыш от назначенного приоритета составит 5,0ч (13-8) сокращения простоев требований в системе;

приоритет у требований с минимальным отношением времени обслуживания к мощности (производительности) источника требования, например, к грузоподъемности автомобиля.

Механизм обслуживания характеризуется параметрами отдельных каналов обслуживания, пропускной способностью системы в целом и другими данными об обслуживании требований. Пропускная способность системы определяется числом каналов (аппаратов) и производительностью каждого из них.

45.Определение доверительных интервалов случайных величин

Интервальная оценка параметра распределения случайной величины определяется тем, что с вероятностью g

abs(P – P м) ≤d,

где P – точное (истинное) значение параметра;

P м – оценка параметра по выборке;

d – точность (ошибка) оценивания параметра Р.

Наиболее часто принимают g от 0.8 до 0.99.

Доверительный интервал параметра – это интервал, в который попадает значение параметра с вероятностью g. Например, на этой основе находится требуемый размер выборки случайной величины, который обеспечивает оценку математического ожидания при точности d с вероятностью g. Вид связи определяется законом распределения случайной величины.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Х 1 , Х 2 ] определяется приращением интегральной функции распределения на рассматриваемом интервале F(Х 2)–F(Х 1). Исходя из этого, при известной функции распределения можно найти ожидаемое гарантированное минимальное Х гн (x≥ Х гн) или максимальное значение Х гв (x≤ Х гв) случайной величины с заданной вероятностью g (рисунок 2.15). Первое из них является тем значением, больше которого случайная величина будет с вероятностью g, а второе – что случайная величина с вероятностью g меньше этого значения. Гарантированное минимальное значение Х гн с вероятностью g обеспечивается при F(x)= 1-g и максимальное Х гв при F(x)=g. Таким образом, значения Х гн и Х гв находятся по выражениям:

Х гн = F -1 (1-g);

Х гв = F -1 (g).

Пример. Случайная величина имеет экспоненциальное распределение с функцией .

Требуется найти значения Х гн и Х гв, для которых случайная величина х с вероятностью g=0.95 соответственно больше Х гн и меньше Х гв.

Исходя из того, что F -1 (α) = -1/l ln(1- α) (см.вывод ранее) и α = 1-g = 0.05 получаем

Х гн = -1/l ln(1- α) = -1/0.01 ln(1-0.05)=-100 (-.0513)=5.13.

Для Х гв α = g = 0.95 аналогично имеем

Х гв = -1/l ln(1- α) = -1/0.01 ln(1-0.95)=-100 (-2.996)=299.6.

Для нормального закона распределения значения Х гн и Х гв могут быть рассчитаны по формулам

Х гн = х м + s U 1- g = х м - s U g ;

Х гв = x м + s U g ,

где x м – математическое ожидание случайной величины; s – среднеквадратическое отклонение случайной величины; U g – односторонняя квантиль нормального закона распределения при вероятности g.

Рисунок 2.15 – Графическая интрепретация определения Х гн и Х гв

46.Описание потоков требований на обслуживание

Входящий поток представляет собой последовательность требований (заявок), прибывающих в систему обслуживания, и характеризуется частотой поступления требований в единицу времени (интенсивностью) и законом распределения интенсивности потока. Входящий поток может быть описан также интервалами времени между моментами поступления требований и законом распределения этих интервалов.

Требования в потоке могут поступать по одному (ординарные потоки) или группами (неординарные потоки).

Свойство ординарности потока заключается в том, что в любой момент времени может поступить только одно требование. Иными словами, свойство заключается в том, что вероятность поступления больше одного требования за малый промежуток времени есть бесконечно малая величина.

В случае группового поступления требований задается интенсивность поступления групп требований и закон ее распределения, а также размер групп и закон их распределения.

Интенсивность поступления требований может изменяться во времени (нестационарные потоки) или зависит только от единицы времени, принятой для определения интенсивности (стационарные потоки). Поток называется стационарным, если вероятность появления n требований за промежуток времени (t 0 , t 0 +Δt) не зависит от t 0 , а зависит только от Δt.

В нестационарном потоке интенсивность изменяется во времени по непериодической или периодической закономерности (например, процессы сезонного характера), а также может иметь периоды, соответствующие частичной или полной задержке потока.

В зависимости от того, имеется ли связь между числом требований, поступивших в систему до и после некоторого момента времени, поток бывает с последействием или с отсутствием последействия.

Ординарный, стационарный поток требований с отсутствием последействия является простейшим.

47.Критерии согласия Пирсона и Романовского

Распределение Рэлея введено Дж. У. Рэлеем (1880) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со спиральными фазами. Закон Рэлея применяется для описания неотрицательных величин, в частности, когда случайная величина является радиусом - вектором при двухмерном гауссовом распределении. В ткацком производстве закон Рэлея широко применяется для анализа геометрической формы, например некруглости, нецилиндричности, эксцентриситета намотки на сновальных валах и ткацких навоях. Также встречается в применениях теории вероятностей, например к радиотехнике.

Распределение является геометрической суммой случайных величин , подчиненных закону Гаусса с параметрами: .

Плотность вероятности распределения Рэлея имеет вид:

(2.3.1)

где - среднее квадратическое отклонение исходного двухмерного распределения =). Значение является параметром закона Рэлея.

Максимальное значение плотности равно и достигается при (на рис.2.3.1 даны графики плотности распределения Рэлея при различных ).

Рис.2.3.1 графики плотности распределения Рэлея при различных

Функция распределения имеет вид: (2.3.2)

При замене новой переменной получим плотность вероятности и функцию распределения нормированного закона Рэлея:

(2.3.3)

(2.3.4)

Графики нормированной плотности вероятности и функции распределения показаны на рис. 2.3.2.

Дифференциальная кривая (рис. 2.3.2,а) имеет положительную асимметрию и более острую вершину, чем гауссово распределение.

Рис.2.3.2. Плотность вероятности (а) и функция распределения (б) нормированного закона Рэлея.

Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

1. Математическое ожидание.

Следовательно, (2.3.5)

2.Дисперсия.

.

.

Следовательно,

(2.3.6)

3.Среднее квадратическое отклонение.

(2.3.7).

Вычислим асимметрию и эксцесс:

1.Ассиметрия.

, где .

Следовательно,

(2.3.8)

2.Эксцесс.

, где .

Следовательно,

(2.3.9)

Нормированное рэлеевское распределение не зависит от параметра и легко табулируется.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Доклады по дисциплине дополнительные главы математической статистики. Регрессионный анализ

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Виды регрессионного анализа
Многошаговая регрессия (ШРА) - последовательность шагов РА, выполняемая в направлении увеличения или уменьшения количества учитываемых коэффициентов линейной модели регрессии.

Линейная регрессия
Регрессионный анализ - раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования регрессионной зависимости между величинами по статистическим данным. Проблема

Исследование линейной зависимости между ЧСС и мощностью выполняемой работы на основе РА
Рассчитать и построить график уравнения линейной регрессии для относительных значений PWC170 (1) и времени челночного бега 3х10 м у 13 исследуемых и сделать вывод о точности расчета урав

Описание объекта
В нашем случае объектом исследования является совокупность наблюдений за посещаемостью WEB сайта Комитета по делам семъи и молодежи Правительства г. Москвы www.telekurs.ru/ismm. Тематика сайта – эт

Факторы формирующие моделируемое явление
Отбор факторов для модели осуществляется в два этапа. На первом идет анализ, по результатам которого исследователь делает вывод о необходимости рассмотрения тех или иных явлений в качестве переменн

Построение уравнения регрессии
Используя программное обеспечение «ОЛИМП» (которое в свою очередь использует для расчетов указанные выше принципы и формулы чем значительно облегчает нам жизнь), найдем искомое урав

Смысл модели
При увеличении количества вакансий в день, количество посетивших сайт людей будет увеличиваться. Это означает что в настоящий момент сайт не полностью удовлетворяет запросы пользователей, что необ

Общее назначение
Любой закон природы или общественного развития может быть выражен в конечном счете в виде описания характера или струк­туры взаимосвязей (зависимостей), существующих между изу­чаемыми явлениями или

Оценивание линейных и нелинейных моделей
Формально говоря, Нелинейное оценивание является универсальной аппроксимирующей процедурой, оценивающей любой вид зависимости между переменной отклика и набором независимых переменных. В общ

Регрессионные модели с линейной структурой
Полиномиальная регрессия. Распространенной “нелинейной” моделью является модель полиномиальной регрессии. Термин нелинейная заключен в кавычки, поскольку эта модель линейна

Существенно нелинейные регрессионные модели
Для некоторых регрессионных моделей, которые не могут быть сведены к линейным, единственным способом для исследования остается Нелинейное оценивание. В приведенном выше примере для скорости

Регрессионные модели с точками разрыва
Кусочно - линейная регрессия. Нередко вид зависимости между предикторами и переменной отклика различается в разных областях значений независимых переменных. Например,

Методы нелинейного оценивания
Метод наименьших квадратов Функция потерь Метод взвешенных наименьших квадратов Метод максимума правдоподобия Максимум правдоподобия и логит/пробит мод

Начальные значения, размеры шагов и критерии сходимости
Общим моментом всех методов оценивания является необходимость задания пользователем некоторых начальных значений, размера шагов и критерия сходимости алгоритма. Все методы начинают свою работу с ос

Оценивание пригодности модели
После оценивания регрессионных параметров, существенной стороной анализа является проверка пригодности модели в целом. Например, если вы определили линейную регрессионную модель, а реальная зависим

Распределения Пирсона (хи – квадрат), Стьюдента и Фишера
В приложениях статистики очень часто используют связанные с нормальным распределения: распределение (хи-квадрат

Распределения Вейбулла - Гнеденко
Экспоненциальные распределения - частный случай так называемых распределений Вейбулла - Гнеденко. Они названы по фамилиям инженера В. Вейбулла, введшего эти распределения в практику анализа результ

Факторный анализ как метод редукции данных
Под редукцией понимается переход от многих исходных количественных признаков к пространству факторов, число которых значительно меньше числа исходных количественных признаков. Например, от исходных

Общий обзор методов факторного анализа
В основе каждого метода факторного анализа лежит математическая модель, описывающая соотношения между исходными признаками и обобщенными факторами. Перейдем к краткой характеристике этих моделей дл

Метод главных компонент
В основе модели для выражения исходных признаков через факторы здесь лежит предположение о том, что число факторов равно числу исходных признаков (k=m), а характерные факторы вообще отсутств

Центроидный метод
Этот метод основан на предположении о том, что каждый из исходных признаков aj(j = 1...m) может быть представлен как функция небольшого числа общих факторов F1

Метод экстремальной группировки параметров
Данный метод также основан на обработке матрицы коэффициентов корреляции между исходными признаками. В основе этого метода лежит гипотеза о том, что совокупность исходных признаков может быть разби

Критерии рационального выбора числа факторов
Сколько факторов следует выделять?Напомним, что анализ главных компонент является методом сокращения или редукции данных, т.е. методом сокращения числа переменных. Возникает естест

Проверка качественных характеристик выборки
Будем рассматривать критерии однородности. Любой статистически критерий проверки гипотез пред­ставляет собой средство измерения. Поэтому пользоваться им следует также квалифицированно, как

Критерий Смирнова
Предполагается, что функции распределения и

Критерий однородности Лемана-Розенблатта
Критерий однород­но­сти Лемана-Розенблатта представляет собой критерий типа. Критерий был предложен

Метод минимального расстояния
Равномернаяметрика,или метрика Колмогорова, - одна из наиболее старых и наиболее часто используемых вероятностных метрик. Термин «метрика Колмогорова» в отечественной литературе ис

Проверка количественных характеристик выборки
В §1 были определены характеристики генеральной совокупности, т.е. принадлежность к одной генеральной выборке, а также среднее и первый момент. На данном этапе имеется функция распределени

Кластерный анализ в задачах социально-экономического прогнозирования
Кластерный анализ может быть успешно использован в зада­чах социально-экономического прогнозирования. При анализе и прогнозировании социально-экономических явлений исследователь довольно часто стал

Кластерный анализ как инструмент подготовки эффективных маркетинговых решений
Причины неудач или недостаточно быстрого роста бизнеса в нашей стране часто списываются на несовершенную систему кредитования, пробелы в законодательстве, общую экономическую нестабильность и, нако

Иерархические методы кластерного анализа
Суть иерархической кластеризации состоит в последовательном объединении меньших кластеров в большие или разделении больших кластеров на меньшие. Иерархические аглом

Меры сходства
Для вычисления расстояния между объектами используются различ­ные меры сходства (меры подобия), называемые также метриками или функциями расстояний. Для придания больших весов более отдале

Методы объединения или связи
Когда каждый объект представляет собой отдельный кластер, рас­стояния между этими объектами определяются выбранной мерой. Возни­кает следующий вопрос - как определить расстояния между кластерами? С

Иерархический кластерный анализ в SPSS
Рассмотрим процедуру иерархического кластерного анализа в паке­те SPSS (SPSS). Процедура иерархического кластерного анализа в SPSS предусматривает группировку как объектов (строк матрицы данных), т

Определение количества кластеров
Существует проблема определения числа кластеров. Иногда можно априорно определить это число. Однако в большинстве случаев число кластеров определяется в процессе агломерации/разделения множества об

Итеративный процесс
Вычисляются центры кластеров, которыми затем и далее считаются покоординатные средние кластеров. Объекты опять перераспределяются. Процесс вычисления центров и перераспределения объектов п

Проверка качества кластеризации
После получений результатов кластерного анализа методом k-сред­них, следует проверить правильность кластеризации (т.е. оценить, на­сколько кластеры отличаются друг от друга). Для этого рассчитывают

Сравнительный анализ иерархических и неиерархических методов кластеризации
Перед проведением кластеризации у аналитика может возникнуть вопрос, какой группе методов кластерного анализа отдать предпочтение. Выбирая между иерархическими и неиерархическими методами, необхо­д

Новые алгоритмы и некоторые модификации алгоритмов кластерного анализа
Методы, которые мы рассмотрели, являются «классикой» кластерного анализа. До последнего времени ос­новным критерием, по которому оценивался алгоритм кластеризации, было качество кластеризации: пола

Алгоритм BIRCH
(Balanced Iterative Reducing and Clustering using Hierarchies) Алгоритм предложен Тьян Зангом и его коллегами. Благодаря обобщенным представлениям кластеров, скорость кластеризаци

Алгоритм WaveCluster
WaveCluster представляет собой алгоритм кластеризации на основе волновых преобразований. В начале работы алгоритма данные обоб­щаются путем наложения на пространство данных многомерной ре­шетки. Н

Алгоритмы Clarans, CURE, DBScan
Алгоритм Clarans (Clustering Large Applications based upon RANdomized Search) формулирует задачу кластеризации как случайный поиск в графе. В результате работы этого алгоритма совокупность узлов гр

Однофакторный дисперсионный анализ
Однофакторная дисперсионная модель имеет вид: xij = μ + Fj + εij, (1) где х

Многофакторный дисперсионный анализ
Следует сразу же отметить, что принципиальной разницы между многофакторным и однофакторным ДА нет. Многофакторный анализ не меняет общую логику ДА, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме у

Использование дисперсионного анализа при изучении миграционных процессов
Миграция - сложное социальное явление, во многом определяющее экономическую и политическую стороны жизни общества. Исследование миграционных процессов связано с выявлением факторов заинтересованнос

Принципы математико-статистического анализа данных медико-биологических исследований
В зависимости от поставленной задачи, объема и характера материала, вида данных и их связей находится выбор методов математической обработки на этапах как предварительного (для оценки характера рас

Биотестирование почвы
Многообразные загрязняющие вещества, попадая в агроценоз, могутпретерпевать в нем различные превращения, усиливая при этом свое токсическое действие. По этой причине оказались необх

Дисперсионный анализ в химии
ДА – совокупность методов определения дисперсности, т. е. характеристики размеров частиц в дисперсных системах. ДА включает различные способы определения размеров свободных частиц в жидких и газовы

Реализация некоторых методов видоизменения гистограмм в системе Matlab

Как уже не раз отмечалось, одной из важнейших характеристик изображения является гистограмма распределения яркостей его элементов. Ранее мы уже кратко рассматривали теоретические основы видоизменения гистограмм, поэтому в этой работе больше внимания уделим практическим аспектам реализации некоторых методов преобразования гистограмм в системе Matlab. При этом отметим, что видоизменение гистограмм является одним из методов улучшения визуального качества изображений.

Шаг 1: Считывание исходного изображения.

Считаем из файла исходное изображение в рабочее пространство Matlab и выведем его на экран монитора.

L=imread("lena.bmp");

figure, imshow(L);

Так как исследуемое исходное изображение полутоновое, то будем рассматривать только одну составляющую многомерного массива .

Рис. 1. Исходное изображение.

Поскольку в работе рассматриваются гистограммные методы преобразования, то построим также гистограмму исходного изображения.

Рис.2. Гистограмма исходного изображения.

Шаг 2: Равномерное преобразование гистограммы.

Равномерное преобразование гистограммы осуществляется по формуле

где ,- минимальное и максимальное значения элементов массива интенсивностейисходного изображения;

Функция распределения вероятностей исходного изображения, которая аппроксимируется гистограммой распределения . Другими словами, речь идет о кумулятивной гистограмме изображения.

В среде Matlab это можно реализовать следующим образом. Вычисляем кумулятивную гистограмму исходного изображения

CH=cumsum(H)./(N*M);

Вектор значений гистограммы исходного изображения, а ,- размеры данного изображения, которые определяются с помощью функции size

L1(i,j)=CH(ceil(255*L(i,j)+eps));

figure, imshow(L1);

Значение eps используется вместе с функцией ceil для того, чтобы избежать присвоения индексам кумулятивной гистограммы нулевых значений. Результат применения метода равномерного преобразования гистограммы представлен на рис. 3.

Рис. 3. Исходное изображение, обработанное методом равномерного преобразования гистограммы.

Гистограмма, преобразованного согласно формуле (1) изображения, представлена на рис. 4. Она действительно занимает почти весь динамический диапазон и является равномерной.

Рис. 4. Гистограмма изображения, представленного на рис. 3.

О равномерной передаче уровней интенсивностей элементов изображения свидетельствует также и его кумулятивная гистограмма (рис. 5).

Рис.5. Кумулятивная гистограмма изображения, представленного на рис. 3.

Шаг 3: Экспоненциальное преобразование гистограммы.

Экспоненциальное преобразование гистограммы осуществляется по формуле

где - некоторая константа, характеризующая крутизну экспоненциального преобразования.

В Matlab преобразования по формуле (2) можно реализовать следующим образом.

L2(i,j)=-(1/alfa1)*log10(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)));

figure, imshow(L2);

Рис. 6. Исходное изображение после обработки методом экспоненциального преобразования гистограммы.

Гистограмма изображения, обработанного методом экспоненциального преобразования, представлена на рис. 7.

Рис. 7. Гистограмма изображения, обработанного методом экспоненциального преобразования.

Наиболее четко экспоненциальный характер преобразований проявляется на кумулятивной гистограмме обработанного изображения, которая представлена на рис. 8.

Рис. 8. Кумулятивная гистограмма изображения, обработанного методом экспоненциального преобразования.

Шаг 4: Преобразование гистограммы по закону Рэлея.

Преобразование гистограммы по закону Рэлея осуществляется согласно выражению

,

где - некоторая константа, характеризующая гистограмму распределения интенсивностей элементов результирующего изображения.

Приведем реализацию данных преобразований в среде Matlab.

L3(i,j)=sqrt(2*alfa2^2*log10(1/(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))));

figure, imshow(L3);

Рис. 9. Исходное изображение, обработанное методом преобразования гистограммы по закону Рэлея.

Гистограмма изображения, обработанного методом преобразования по закону Рэлея, представлена на рис. 10.

Рис. 10. Гистограмма изображения, обработанного методом преобразования по закону Рэлея.

Кумулятивная гистограмма изображения, обработанного методом преобразования по закону Рэлея, представлена на рис. 11.

Рис. 11. Кумулятивная гистограмма изображения, обработанного методом преобразования по закону Рэлея.

Шаг 5: Преобразование гистограммы по закону степени .

Преобразование гистограммы изображения по закону степени реализуется согласно выражению

.

В среде Matlab этот метод можно реализовать следующим образом.

L4(i,j)=(CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))^(2/3);

figure, imshow(L4);

Рис. 12. Исходное изображение, обработанное методом преобразования гистограммы по закону степени .

Гистограмма распределения интенсивностей элементов обработанного изображения представлена на рис. 13.

Рис. 13. Гистограмма изображения, обработанного методом преобразования гистограммы по закону степени .

Кумулятивная гистограмма обработанного изображения, которая наиболее четко демонстрирует характер передачи уровней серого, представлена на рис. 14.

Рис. 14. Кумулятивная гистограмма изображения, обработанного методом преобразования по закону степени .

Шаг 6: Гиперболическое преобразование гистограммы.

Гиперболическое преобразование гистограммы реализуется согласно формуле

где - некоторая константа, относительно которой осуществляется гиперболическое преобразование гистограммы. Фактически параметрравен минимальному значению интенсивности элементов изображения.

В среде Matlab этот метод может быть реализован следующим образом

L5(i,j)=.01^(CH(ceil(255*L(i,j)+eps))); % в данном случае А=0,01

figure, imshow(L5);

Рис. 15. Исходное изображение, обработанное методом гиперболического преобразования.

Гистограмма распределения интенсивностей элементов обработанного таким образом изображения представлена на рис. 16.

Рис. 16. Гистограмма изображения, обработанного методом гиперболического преобразования.

Кумулятивная гистограмма, форма которой соответствует характеру проводимых преобразований, представлена на рис. 17.

Рис. 17. Кумулятивная гистограмма изображения, обработанного методом гиперболического преобразования.

В данной работе были рассмотрены некоторые методы видоизменения гистограмм. Результатом применения каждого метода является то, что гистограмма распределения яркостей элементов обработанного изображения принимает определенную форму. Такого рода преобразования могут применяться для устранения искажений при передаче уровней квантирования, которым были подвергнуты изображения на этапе формирования, передачи или обработки данных.

Отметим также, что рассмотренные методы могут быть реализованы не только глобально, но и в скользящем режиме. Это приведет к усложнению вычислений, поскольку нужно будет анализировать гистограмму на каждом локальном участке. Однако, с другой стороны, такие преобразования, в отличие от глобальной реализации, позволяют увеличивать детальность локальных участков.