Примеры решения однородного дифференциального уравнения. Однородные уравнения. Исчерпывающий гид (2019)

30.09.2019

Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения:y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.

Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

1) Решить уравнение

Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда

u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки

u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0

Интегрируем:

В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда

ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. (по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:

По свойству логарифмов:

Это — общий интеграл уравнения.

Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что y=x (x>0) входят в общее решение.

2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.

Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:

u’x+u=1/u+u. Упрощаем:

u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).

Интегрируем:

и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем

Выполняем обратную замену:

Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:

3) Найти общий интеграл однородного уравнения:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Группируем слагаемые с du и dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):

Интегрируем:

В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:

(или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем:

По свойствам логарифмов:

Обратная замена

Вспоминаем условие u≠0. Отсюда y≠0. При С=0 y=0, значит, потери решений не происходит, и y=0 входит в общий интеграл.

Замечание

Можно получить запись решения в другом виде, если слева оставить слагаемое с x:

Геометрический смысл интегральной кривой в этом случае — семейство окружностей с центрами на оси Oy и проходящих через начало координат.

Задания для самопроверки:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Проверяем, что уравнение является однородным, после чего делаем замену u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем в условие: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Разделив обе части уравнения на x²≠0, получаем: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Отсюда dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Упростив, имеем: dx-xudu=0. Отсюда xudu=dx, udu=dx/x. Интегрируем обе части:

Функция f(x,y) называется однородной функцией своих аргументов измерения n , если справедливо тождество f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y) .

Например, функция f(x,y)=x^2+y^2-xy есть однородная функция второго измерения, так как

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

При n=0 имеем функцию нулевого измерения. Например, \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} есть однородная функция нулевого измерения, так как

{f(tx,ty)=\frac{(tx)^2-(ty)^2}{(tx)^2+(ty)^2}=\frac{t^2(x^2-y^2)}{t^2(x^2+y^2)}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=f(x,y).}

Дифференциальное уравнение вида \frac{dy}{dx}=f(x,y) называется однородным относительно x и y , если f(x,y) есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде

\frac{dy}{dx}=\varphi\!\left(\frac{y}{x}\right).

Вводя новую искомую функцию u=\frac{y}{x} , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:

X\frac{du}{dx}=\varphi(u)-u.

Если u=u_0 есть корень уравнения \varphi(u)-u=0 , то решение однородного уравнения будет u=u_0 или y=u_0x (прямая, проходящая через начало координат).

Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку y=ux .

Пример 1. Решить однородное уравнение xy"=\sqrt{x^2-y^2}+y .

Решение. Запишем уравнение в виде y"=\sqrt{1-{\left(\frac{y}{x}\right)\!}^2}+\frac{y}{x} так что данное уравнение оказывается однородным относительно x и y . Положим u=\frac{y}{x} , или y=ux . Тогда y"=xu"+u . Подставляя в уравнение выражения для y и y" , получаем x\frac{du}{dx}=\sqrt{1-u^2} . Разделяем переменные: \frac{du}{1-u^2}=\frac{dx}{x} . Отсюда интегрированием находим

\arcsin{u}=\ln|x|+\ln{C_1}~(C_1>0) , или \arcsin{u}=\ln{C_1|x|} .

Так как C_1|x|=\pm{C_1x} , то, обозначая \pm{C_1}=C , получаем \arcsin{u}=\ln{Cx} , где |\ln{Cx}|\leqslant\frac{\pi}{2} или e^{-\pi/2}\leqslant{Cx}\leqslant{e^{\pi/2}} . Заменяя u на \frac{y}{x} , будем иметь общий интеграл \arcsin{y}{x}=\ln{Cx} .

Отсюда общее решение: y=x\sin\ln{Cx} .

При разделении переменных мы делили обе части уравнения на произведение x\sqrt{1-u^2} , поэтому могли потерять решение, которые обращают в ноль это произведение.

Положим теперь x=0 и \sqrt{1-u^2}=0 . Но x\ne0 в силу подстановки u=\frac{y}{x} , а из соотношения \sqrt{1-u^2}=0 получаем, что 1-\frac{y^2}{x^2}=0 , откуда y=\pm{x} . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции y=-x и y=x также являются решениями данного уравнения.


Пример 2. Рассмотреть семейство интегральных кривых C_\alpha однородного уравнения y"=\varphi\!\left(\frac{y}{x}\right) . Показать, что касательные в соответственных точках к кривым, определяемым этим однородным дифференциальным уравнением, параллельны между собой.

Примечание: Будем называть соответственными те точки на кривых C_\alpha , которые лежат на одном луче, выходящем из начала координат.

Решение. По определению соответственных точек имеем \frac{y}{x}=\frac{y_1}{x_1} , так что в силу самого уравнения y"=y"_1 , где y" и y"_1 - угловые коэффициенты касательных к интегральным кривым C_\alpha и C_{\alpha_1} , в точках M и M_1 соответственно (рис. 12).

Уравнения, приводящиеся к однородным

А. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

\frac{dy}{dx}=f\!\left(\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\right).

где a,b,c,a_1,b_1,c_1 - постоянные, а f(u) - непрерывная функция своего аргумента u .

Если c=c_1=0 , то уравнение (3) является однородным и оно интегрируется, как указано выше.

Если хотя бы одно из чисел c,c_1 отлично от нуля, то следует различать два случая.

1) Определитель \Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a_1&b_1\end{vmatrix}\ne0 . Вводя новые переменные \xi и \eta по формулам x=\xi+h,~y=\eta+k , где h и k - пока неопределенные постоянные, приведем уравнение (3) к виду

\frac{d\eta}{d\xi}=f\!\left(\frac{a\xi+b\eta+ah+bk+c}{a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1}\right).

Выбирая h и k как решение системы линейных уравнений

\begin{cases}ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end{cases}~(\Delta\ne0),

получаем однородное уравнение \frac{d\eta}{d\xi}=f\!\left(\frac{a\xi+b\eta}{a_1\xi+b_1\eta}\right) . Найдя его общий интеграл и заменив в нем \xi на x-h , a \eta на y-k , получаем общий интеграл уравнения (3).

2) Определитель \Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a_1&b_1\end{vmatrix}=0 . Система (4) в общем случае не имеет решений и изложенный выше метод неприменим; в этом случае \frac{a_1}{a}=\frac{b_1}{b}=\lambda , и, следовательно, уравнение (3) имеет вид \frac{dy}{dx}=f\!\left(\frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+c_1}\right) . Подстановка z=ax+by приводит его к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 3. Решить уравнение (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0 .

Решение. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений \begin{cases}x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end{cases}

Определитель этой системы \Delta=\begin{vmatrix}\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end{vmatrix}=-2\ne0 .

Система имеет единственное решение x_0=-1,~y_0=3 . Делаем замену x=\xi-1,~y=\eta+3 . Тогда уравнение (5) примет вид

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Это уравнение является однородным уравнением. Полагая \eta=u\xi , получаем

(\xi+\xi{u})\,d\xi+(\xi-\xi{u})(\xi\,du+u\,d\xi)=0 , откуда (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0 .

Разделяем переменные \frac{d\xi}{\xi}+\frac{1-u}{1+2u-u^2}\,du=0.

Интегрируя, найдем \ln|\xi|+\frac{1}{2}\ln|1+2u-u^2|=\ln{C} или \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Возвращаемся к переменным x,~y :

(x+1)^2\left=C_1 или x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Пример 4. Решить уравнение (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0 .

Решение. Система линейных алгебраических уравнений \begin{cases}x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end{cases} несовместна. В этом случае метод, примененный в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку x+y=z , dy=dz-dx . Уравнение примет вид

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Разделяя переменные, получаем

Dx-\frac{2z-1}{z-2}\,dz=0 отсюда x-2z-3\ln|z-2|=C.

Возвращаясь к переменным x,~y , получаем общий интеграл данного уравнения

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

Б. Иногда уравнение можно привести к однородному заменой переменного y=z^\alpha . Это имеет место в том случае, когда в уравнении все члены оказываются одинакового измерения, если переменному x приписать измерение 1, переменному y - измерение \alpha и производной \frac{dy}{dx} - измерение \alpha-1 .

Пример 5. Решить уравнение (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0 .

Решение. Делаем подстановку y=z^\alpha,~dy=\alpha{z^{\alpha-1}}\,dz , где \alpha пока произвольное число, которое мы выберем позже. Подставляя в уравнение выражения для y и dy , получим

\alpha(x^2x^{2\alpha}-1)z^{\alpha-1}\,dz+2xz^{3\alpha}\,dx=0 или \alpha(x^2z^{3\alpha-1}-z^{\alpha-1})\,dz+2xz^{3\alpha}\,dx=0,

Заметим, что x^2z^{3\alpha-1} имеет измерение 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^{\alpha-1} имеет измерение \alpha-1 , xz^{3\alpha} имеет измерение 1+3\alpha . Полученное уравнение будет однородным, если измерения всех членов одинаковы, т.е. если выполняется условие 3\alpha+1=\alpha-1 , или \alpha-1 .

Положим y=\frac{1}{z} ; исходное уравнение принимает вид

\left(\frac{1}{z^2}-\frac{x^2}{z^4}\right)dz+\frac{2x}{z^3}\,dx=0 или (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Положим теперь z=ux,~dz=u\,dx+x\,du . Тогда это уравнение примет вид (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0 , откуда u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0 .

Разделяем переменные в этом уравнении \frac{dx}{x}+\frac{u^2-1}{u^3+u}\,du=0 . Интегрируя, найдем

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln{C} или \frac{x(u^2+1)}{u}=C.

Заменяя u через \frac{1}{xy} , получаем общий интеграл данного уравнения 1+x^2y^2=Cy.

Уравнение имеет еще очевидное решение y=0 , которое получается из общего интеграла при C\to\infty , если интеграл записать в виде y=\frac{1+x^2y^2}{C} , а затем перейти к пределу при C\to\infty . Таким образом, функция y=0 является частным решением исходного уравнения.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

В настоящее время по базовому уровню изучения математики на изучение математики в старших классах предусмотрено всего 4 часа (2 часа алгебры, 2 часа геометрии). В сельских малокомплектных школах стараются увеличить количество часов за счет школьного компонента. Но если класс гуманитарный, то школьный компонент добавляется на изучение предметов гуманитарного направления. В маленьком селе зачастую школьнику выбирать не приходится, он учится в том классе; какой имеется в школе. Становиться же юристом, историком или журналистом (бывают такие случаи) не собирается, а хочет стать инженером или экономистом, поэтому ЕГЭ по математике должен сдать на высокие балы. При таких обстоятельствах, учителю математики приходится находить свой выход из создавшейся ситуации, к тому же по учебнику Колмогорова изучение темы «однородные уравнения» не предусмотрено. В прошлые годы для введения данной темы и закрепления мне требовалось два сдвоенных урока. К сожалению, проверка образовательного надзора у нас запретила сдвоенные уроки в школе, поэтому количество упражнений пришлось сократить до 45 минут, и соответственно уровень сложности упражнений понизить до среднего. Предлагаю вашему вниманию план-конспект урока по данной теме в 10 классе с базовым уровнем изучения математики в сельской мало комплектной школе.

Тип урока : традиционный.

Цель : научиться решать типичные однородные уравнения.

Задачи :

Познавательные :

Развивающие :

Воспитательные :

  • Воспитание трудолюбия через терпеливое выполнение заданий, чувства товарищества через работу в парах и группах.

Ход урока

I. Организационный этап (3 мин.)

II. Проверка знаний, необходимых для усвоения нового материала (10 мин.)

Выявить основные затруднения с дальнейшим разбором выполненных заданий. Ребята выполняют по выбору 3 варианта. Задания, дифференцированные по степени сложности и по уровню подготовленности ребят, с последующим объяснением у доски.

1 уровень . Решите уравнения:

  1. 3(х+4)=12,
  2. 2(х-15)=2х-30
  3. 5(2-х)=-3х-2(х+5)
  4. x 2 -10х+21=0 Ответы: 7;3

2 уровень . Решите простейшие тригонометрические уравнения и биквадратное уравнение:

ответы:

б) x 4 -13x 3 +36=0 Ответы: -2; 2; -3; 3

3 уровень. Решение уравнений методом замены переменных:

б) x 6 -9x 3 +8=0 Ответы:

III. Сообщение темы, установка целей и задач.

Тема: Однородные уравнения

Цель : научиться решать типичные однородные уравнения

Задачи :

Познавательные :

  • познакомиться с однородными уравнениями, научиться решать наиболее часто встречаемые виды таких уравнений.

Развивающие :

  • Развитие аналитического мышления.
  • Развитие математических навыков: научиться выделять основные признаки, по которым однородные уравнения отличаются от других уравнений, уметь устанавливать сходство однородных уравнений в их различных проявлениях.

IV. Усвоение новых знаний (15 мин.)

1. Лекционный момент.

Определение 1 (Записываем в тетрадь). Уравнение вида P(x;y)=0 называется однородным, если P(x;y) однородный многочлен.

Многочлен от двух переменных х и у называют однородным, если степень каждого его члена равна одному и тому же числу к.

Определение 2 (Просто ознакомление). Уравнения вида

называют однородным уравнением степени n относительно u(x) и v(x). Поделив обе части уравнения на (v(x))n, можно с помощью замены получить уравнение

Что позволяет упростить исходное уравнение. Случай v(x)=0 необходимо рассмотреть отдельно, так как на 0 делить нельзя.

2. Примеры однородных уравнений:

Поясните: почему они однородные, приведите свои примеры таких уравнений.

3. Задание на определение однородных уравнений:

Среди заданных уравнений определить однородные уравнения и объяснить свой выбор:

После того как объяснили свой выбор на одном из примеров показать способ решения однородного уравнения:

4. Решить самостоятельно:

Ответ:

б) 2sin x – 3 cos x =0

Разделим обе части уравнения на cos x, получим 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Показать решение примера из брошюры «П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Москва Педагогический университет «Первое сентября» 2006 стр.22». Как один из возможных примеров ЕГЭ уровня С.

V . Решить для закрепления по учебнику Башмакова

стр 183 № 59 (1,5) или по учебнику под редакцией Колмогорова: стр81 №169 (а, в)

ответы:

VI . Проверочная, самостоятельная работа (7 мин.)

1 вариант 2 вариант
Решить уравнения:
а) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0 а) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0

б) cos 2 -3sin 2 =0

б)

Ответы к заданиям:

1 вариант а) Ответ: arctg2+πn,n € Z; б) Ответ: ±π/2+ 3πn,n € Z; в)

2 вариант а) Ответ: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Ответ: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5;-2); (5;2)

VII . Домашнее задание

№169 по Колмогорову, №59 по Башмакову.

Кроме этого, решить систему уравнений:

Ответ: arctg(-1±√3) +πn ,

Использованная литература:

  1. П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. стр. 22
  2. А. Мерзляк, В. Полонский, Е. Рабинович, М. Якир. Тригонометрия. – М.: «АСТ-ПРЕСС», 1998, стр. 389
  3. Алгебра для 8 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. – М.: «Просвещение», 1997.
  4. Алгебра для 9 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. Москва «Просвещение», 2001.
  5. М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов – М.: «Просвещение» 1993
  6. Колмогоров, Абрамов, Дудницын. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов. – М.: «Просвещение», 1990.
  7. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Часть 1 Учебник 10-11 классы. – М.: «Мнемозина», 2004.

Стоп! Давай всетаки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

На первом месте должна идти первая переменная в степени с некоторым коэффициентом. В нашем случае это

В нашем случае это. Как мы выяснили, значит здесь степень при первой переменной - сходится. И вторая переменная в первой степени - на месте. Коэффициент.

У нас это.

Первая переменная в степени, и вторая переменная в квадрате, с коэффициентом. Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

У нас две неизвестные и. Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

Сумма степеней равна.

Сумма степеней равна (при и при).

Сумма степеней равна.

Как видишь, все сходится!!!

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Определи, какие из уравнений - однородные:

Однородные уравнения - уравнения под номерами:

Рассмотрим отдельно уравнение.

Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим

А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.

Как решать однородные уравнения?

Пример 2.

Разделим уравнение на.

У нас по условию y не может быть равен. Поэтому мы можем смело делить на

Произведя замену, мы получим простое квадратное уравнение:

Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:

Произведя обратную замену, получаем ответ

Ответ:

Пример 3.

Разделим уравнение на (по условию).

Ответ:

Пример 4.

Найдите, если.

Здесь нужно не делить, а умножать. Умножим все уравнение на:

Произведем замену и решим квадратное уравнение:

Произведя обратную замену, получим ответ:

Ответ:

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше. Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел ).

Рассмотрим такие уравнения на примерах.

Пример 5.

Решите уравнение.

Мы видим типичное однородное уравнение: и - это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна.

Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на, рассмотрим случай, когда

В этом случае уравнение примет вид: , значит. Но синус и косинус не могут одновременно быть равны, ведь по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому, и на него можно смело делить:

Так как уравнение приведенное, то по теореме Виета:

Ответ:

Пример 6.

Решите уравнение.

Как и в примере, нужно разделить уравнение на. Рассмотрим случай, когда:

Но синус и косинус не могут одновременно быть равны, ведь по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому.

Сделаем замену и решим квадратное уравнение:

Сделаем обратную замену и найдем и:

Ответ:

Решение однородных показательных уравнений.

Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения - посмотри соответствующий раздел ()!

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 7.

Решите уравнение

Представим как:

Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней. Разделим уравнение на:

Как можно заметить, произведя замену, мы получим приведенное квадратное уравнение (при этом не нужно опасаться деления на ноль - всегда строго больше нуля):

По теореме Виета:

Ответ: .

Пример 8.

Решите уравнение

Представим как:

Разделим уравнение на:

Произведем замену и решим квадратное уравнение:

Корень не удовлетворяет условию. Произведем обратную замену и найдем:

Ответ:

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Сначала на примере одной задачки напомню что такое однородные уравнения и что из себя представляет решение однородных уравнений.

Решите задачу:

Найдите, если.

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на, получим:

То есть, теперь нет отдельных и, - теперь переменной в уравнении является искомая величина. И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно, а сумма - это числа и.

Ответ:

Уравнения вида

называется однородным. То есть, это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна. Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

И последующей заменой переменных: . Таким образом получаем уравнение степени с одной неизвестной:

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю! Например, если нас просят найти, сразу понимаем, что, поскольку на делить нельзя. В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение.

Решение:

Видим здесь типичное однородное уравнение: и - это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна.

Но, прежде чем разделить на и получить квадратное уравнение относительно, мы должны рассмотреть случай, когда. В этом случае уравнение примет вид: , значит, . Но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю, ведь по основному тригонометрическому тождеству: . Поэтому, и на него можно смело делить:

Надеюсь, это решение полностью понятно? Если нет, прочитай раздел . Если же непонятно, откуда взялось, тебе нужно вернуться еще раньше - к разделу .

Реши сам:

  1. Найдите, если.
  2. Найдите, если.
  3. Решите уравнение.

Здесь я кратко напишу непосредственно решение однородных уравнений:

Решения:

    Ответ: .

    А здесь надо не делить, а умножать:

    Ответ:

    Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.

    Так как здесь нам нужно делить на, убедимся сперва, сто он не равен нулю:

    А это невозможно.

    Ответ: .

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени и дальнейшей заменой переменных.

Алгоритм:

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 499 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!



© dagexpo.ru, 2024
Стоматологический сайт