Преобразование Лапласа (прямое и обратное) и его основные теоремы. Примеры.

Преобразования Лапласа играют очень важную роль при исследовании систем, описываемых дифференциальными уравнениями. С помощью прямого преобразования Лапласа можно перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим, решить их в алгебраической форме, а затем с помощью обратного преобразования получить искомый результат.

Прямое преобразование Лапласа осуществляется по формуле:

где - комплексная переменная.

На функцию x(t) накладываются некоторые ограничения. Иногда для простоты пользуются символической записью выражения (1) в виде:

где L - оператор прямого преобразования Лапласа.

Функция x(t) называется оригиналом, а Х(р) - изображением.

Кроме прямого существует также и обратное преобразование Лапласа, определяемое по формуле:

, (2)

где интеграл берется на комплексной плоскости р вдоль любой прямой . Символически операцию обратного преобразования Лапласа по (2) записывают в виде:

Обратное преобразование Лапласа можно определить по (2.2), из табл. 2.1, а также с помощью теоремы вычетов, из которой следует соотношение:

где Res i - вычеты подынтегральной функции

n - число полюсов функции где она обращается в бесконечность.

Вычет в простом полюсе определяется по формуле:

а вычет в полюсе кратности k:

Укажем основные свойства преобразования Лапласа , широко используемые на практике.

1. Линейность оригиналов и изображений

Если у(t) = a 1 х 1 (t) + a 2 х 2 (t) + . . .,

то У(р) = а 1 Х 1 (р) + а 2 Х 2 (р) + . . . .

2. Дифференцирование оригинала

Если , то .

3. Интегрирование оригинала

Если то .

4. Задержка во времени оригинала

Если , то

5. Свертка оригинала

Если , то У(р) = Х 1 (р) Х 2 (р) .

Это свойство гласит: свертке оригиналов соответствует произведение изображений.

6. Изменение масштаба времени оригинала

Если у(t) = x(at) , a>0, то .

7. Смещение изображения

Если У(р) = Х(р+а) , то .

Лекция №12

Тема: Операторный метод анализа переходных

процессов.

Учебные вопросы

1 Преобразование Лапласа и его свойства.

2 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Операторная схема замещения.

3 Алгоритм анализа переходных процессов операторным методом.

4 Определение оригинала по его изображению. Теорема разложения.

Литература: с.331- 342.

1 Преобразование Лапласа и его свойства

Рассмотренный ранее классический метод имеет следующие существенные недостатки:

ограниченность применения , он используется в основном в тех случаях, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие на нее после коммутации является гармонической функцией времени либо постоянно; если внешнее воздействие на цепь после коммутации имеет более сложный характер, то определение вынужденной составляющей реакции цепи существенно затрудняется.

громоздкость при анализе переходных процессов цепей более второго порядка, так как нахождение свободной составляющей и постоянных интегрирований требует решение алгебраических уравнений высокого порядка.

Перечисленных недостатков лишен операторный метод анализа переходных процессов, основанный на применении преобразования Лапласа .

Операторный метод не обладает физической наглядностью в силу математической формализации, но значительно упрощает расчеты. Важная особенность операторного метода состоит в его применимости для функций, которые не являются абсолютно интегрируемыми, например, единичный скачок напряжения, гармоническое напряжение, включаемое в некоторый момент времени, и другие формы сигналов, для которых классический и спектральные методы анализа применить не удается.

Сущность операторного метода заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного . При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор p. Это существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраической. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этим обстоятельством объясняется широкое применение этого метода на практике.

Переход из области действительного переменного в область функций комплексного переменного осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа . После этого решаются алгебраические уравнения относительно изображений искомых функций. Полученное решение алгебраических уравнений обратным преобразованием Лапласа переносится в область действительного переменного.

Математическое обоснование операторного метода впервые дано в 1862г. русским математиком М.Е.Ващенко-Захарченко, который показал возможность применения символического (операторного) исчисления к интегрированию дифференциальных уравнений на основе прямого преобразования Лапласа.

В конце XIXв. английские инженеры-электрики О.Хэвисайд и Д.Карсон успешно применили и развили символический метод решения дифференциальных уравнений для расчета переходных процессов в электрических цепях. Однако строгое обоснование операторный метод получил только в XXв. на базе общей теории функциональных преобразований.

Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением

где f(t) – функция действительного переменного t, определенная при
(при t < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условием граниченного роста:

где множитель M и показатель роста C 0 – положительные действительные числа.

На рис.12.1 изображена область определения комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения
(12.1).

Функция F(p), определяемая уравнением (12.1), называется изображением по Лапласу , а функция f(t) в (12.3) – оригиналом .

Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного f(t) и комплексного F(p) переменного, связанных преобразованием Лапласа и поставленных друг другу в строгое соответствие.

Для сокращения записи преобразований (12.1) и (12.3) используют следующую символику:

где L – оператор Лапласа.

В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия.

На основе преобразования Лапласа можно получить изображение любых функций, удовлетворяющих условию (12.2). Имеются специальные справочники, в которых приведены оригиналы и изображения широкого класса функций.

В таблице 12.1 приведены примеры изображений простых функций.

Таблица 12.1 – Изображения функций по Лапласу

Функция оригинал f(t)		Изображение функции F(p)
Выражение функции	Вид функции
единичная функция

Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа , называемые также теоремами.

Теорема о сложении или линейность преобразования

Теорема о дифференцировании

.

Теорема об интегрировании

.

Теорема запаздывания

Преобразование Лапласа позволяет получить соотношения между напряжением и током в операторной форме для резистивного, индуктивного и емкостного элементов.

Изображение напряжения на резистивном элементе

U r (t) = r i(t) согласно (12.1) примет вид:

Выражение U r (p) = r I(p) называется законом Ома в операторной форме для резистивного элемента (рис.12.1,а), операторная схема замещения которого представлена на рис.12.1,б.

Изображение напряжения
на индуктивном элементе (рис.12.2,а) согласно (12.4) и (12.5) примет вид:

U L (p) = - L i(0) + pLI(p), (12.9)

где i(0) = i(0 -) = i(0 +) – ток в индуктивном элементе в момент коммутации t = 0, учитывающий начальные условия (согласно первого закона коммутации).

Выражению (12.9) соответствует операторная схема замещения индуктивного элемента на рис.12.2,б.

Напряжения на емкостном элементе (рис.12.3,а), начиная с момента времени t = 0 возникновения переходного процесса в общем случае

где U c (0) = U c (0 -) = U c (0 +) – напряжение на емкостном элементе, соответствующее начальному условию (согласно второго закона коммутации).

Учитывая изображение единичной функции
(табл.12.1) и соотношения (12.4) и (12.5), найдем изображение напряженияU c (t):

Выражению (12.10) соответствует схема замещения емкостного элемента в операторной форме на рис.12.3,б.

Если начальные условия нулевые, т.е. i L (0 -) = 0 и U c (0 -) = 0, то выражения (12.9) и (12.10) примут вид закона Ома в операторной форме для индуктивного элемента

U L (p) = LpI(p) = Z L (p)I(p), (12.11)

где Z L (p) = Lp – операторное сопротивление индуктивного элемента, для емкостного элемента

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра 21

Реферат на тему:

«Преобразование Лапласа»

Выполнила

студентка гр.0850

Киселева Ю.В.

Проверил:

Данейкин Ю.В.

Томск, 2008г.

Введение

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию

комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

1. Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции действительной переменной

, называется функция комплексной переменной , такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

2. Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного

, называется функция действительного переменного, такая что: - некоторое вещественное число. Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

3. Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа - обобщение на случай задач, в которых для функции

участвуют значения x < 0

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

4. Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают

-преобразование и -преобразование. -преобразование

решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени

, где - целое число, а - период дискретизации. Тогда применяя преобразование Лапласа получим: -преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим Z-преобразование:

5. Свойства и теоремы

· Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при σ = σ 0 , то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для

и F(s) - аналитическая функция при ( - действительная часть комплексной переменной s). Точная нижняя грань σ a множества чисел σ, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).

· Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа

существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях: : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл

2. Случай σ > σ a: преобразование Лапласа существует, если интеграл

существует для каждого конечного

для

3. Случай σ > 0 или σ > σ a (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции f"(x) (производная к f(x)) для σ > σ a .

· Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение F(s) - аналитичная функция для

и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для ,

аналитична относительно каждого z k и равна нулю для

, и

тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

· Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов.

· Умножение изображений

Ранее мы рассмотрели интегральное преобразование Фурье с ядром K(t, О = е Преобразование Фурье неудобно тем, что должно быть выполнено условие абсолютной интегрируемости функции f(t) на всей оси t, Преобразование Лапласа позволяет освободиться от этого ограничения. Определение 1. Функцией-оригиналом будем называтьвсякую комплекснозначную функцию f(t) действитсл ьного аргумента t, удовлетворя юшую следующим условиям: 1. f(t) непрерывна на всей оси t, кроме отдельных точек, в которых f(t) имеет разрыв 1-го рода, причем накаждом конечном интервалеоси *такихточек можетбыть лишь конечное число; 2. функция f(t) равна нулю при отрицательных значениях t, f(t) = 0 при 3. при возрастании t модуль f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют числа М > 0 и s такие, что для всех t Ясно, что если неравенство (1) выполняется при некотором s = aj, то оно будет ВЫПОЛНЯТЬСЯ и при ВСЯКОМ 82 > 8]. Точная нижняя грань s0 всех чисел з, «о = infs, для которых выполняется неравенство (1), называется показателем роста функции f(t). Замечание. В общем случае неравенство не имеет места, но справедлива оценка где е > 0 - любое. Так, функция имеет показатель роста в0 = Для нее неравенство \t\ ^ М V* ^ 0 не выполняется, но верно неравенство |f| ^ Меи. Условие (1) гораздо менее ограничительное, чем условие (*). Пример 1. функция не удовлетворяет условию (»), но условие (1) выполнено при любом s ^ I и А/ ^ I; показатель роста 5о = Так что является функцией-оригиналом. С другой стороны, функция не является функцией-оригиналом: она имеет бесконечный порядок роста, «о = +оо. Простейшей функцией-оригиналом является так называемая единичная функция Если некоторая функция удовлетворяет условиям 1 и 3 определения 1, но не удовлетворяет условию 2, то произведение уже является функцией-оригиналом. Для простоты записи мы будем, как правило, множитель rj(t) опускать, условившись, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю для отрицательных t, так что если речь идет о какой-то функции f(t), например, о sin ty cos t, el и т. д., то всегда подразумеваются следующие функции (рис. 2): п=п(0 Рис. 1 Определение 2. Пусть f{t) есть функция-оригинал. Изображением функции f(t) по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного, определяемая формулой ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Основные определения Свойства Свертка функций Теорема умножения Отыскание оригинала по изображению Использование теоремы обращения операционного исчисления Формула Дюамеля Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение интегральных уравнений где интеграл берется по положительной полуоси t. Функцию F(p) называют также преобразованием Лапласа функции /(/); ядро преобразования K(t} р) = e~pt. Тот факт, что функция имеет своим изображением F(p), будем записывать Пример 2. Найти изображение единичной функции r)(t). Функция является функцией-оригиналом с показателем роста в0 - 0. В силу формулы (2) изображением функции rj(t) будет функция Если то при интеграл в правой части последнего равенства будет сходящимся, и мы получим так что изображением функции rj(t) будет функция £. Как мы условились, будем писать, что rj(t) = 1, и тогда полученный результат запишется так: Теорема 1. Лгя всякой функции-оригинала f(t) с показателем роста з0 изображение F(p) определено в полуплоскости R ер = s > s0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией (рис. 3). Пусть Для доказательства существования изображения F(p) в указанной полуплоскости достаточно установить, что несобственный интеграл (2) абсолютно сходится при a > Используя (3), получаем что и доказывает абсолютную сходимость интеграла (2). Одновременно мы получили оценку преобразования Лапласа F(p) в полуплоскости сходимости Дифференцируя выражение (2) формально под знаком интеграла по р, находим Существование интеграла (5) устанавливается так же, как было установлено существование интеграла (2). Применяя для F"(p) интегрирование по частям, получаем оценку откуда следует абсолютная сходимость интеграла (5). (Внеинтегральное слагаемое,0.,- при t +оо имеет предел, равный нулю). В любой полуплоскости Rep ^ sj > «о интеграл (5) сходится равномерно относительно р, поскольку он мажорируется сходящимся интегралом не зависящим от р. Следовательно, дифференцированиепо р законно и равенство (5) справедливо. Поскольку производная F"(p) существует, преобразование Лапласа F(p) всюду в полуплоскости Rep = 5 > 5о является аналитической функцией. Из неравенства (4) вытекает Следствие. Если тонка р стремится к бесконечности так, что Re р = s неограниченно возрастает, то Пример 3. Найдем еще изображение функции любое комплексное число. Показатель росга «о функции /(() равен а. 4 Считая Rep = я > а, получим Таким образом, При а = 0 вновь получаем формулу Обратим внимание на то, что изображение функции eat является аналитической функцией ар1умента р не только в полуплоскости Rep > а, но и во всех точках р, кроме точки р = а, где это изображение имеет простой полюс. В дальнейшем мы не раз встретимся с подобной ситуацией, когда изображение F(p) будет аналитической функцией во всей плоскости комплексного переменного р, за исключением изолированных особых точек. Противоречия с теоремой 1 нет. Последняя утверждает лишь, что в полуплоскости Rep > «о функция F(p) не имеет особых точек: все они оказываются лежащими или левее прямой Rep = so, или на самой этой прямой. Замечай не. В операционном исчислении иногда пользуются изображением функции /(f) по Хевисайду, определяемым равенством и отличающимся от мображения по Лапласу множителем р. §2. Свойства преобразования Лапласа В дальнейшем через будем обозначать функции-оригиналы, а через - их изображения по Лапласу, Из определения изображения следует, что если Теорема 2 (единстве* мости). £biw dee непрерывные функции) имеют одно и тоже изображение, то они тождественно равны. Teopewa 3 (п«иейиост* преобраэдоияя Лапласа). Если функции-оригиналы, то для любых комплексных постоянных аир Справедливость утверждения вытекает из свойства линейности интеграла, определяющего изображение: , - показатели роста функций соответственно). На основании этогосвойства получаем Аналогично находим, что и, далее, Теорема 4 (подобия). Если f(t) - функция-оригинал и F(p) - ее изображение по Лапласу, то для любого постоянного а > О Полагая at = т, имеем Пользуясь этой теоремой, из формул (5) и (6) получаем Теорема 5 (о дифференцировании оригинала). Пусть является функцией-оригиналом с изображением F(p) и пусть - также функции-оригиналы, а где - показатель роста функции Тогда и вообще Здесь под понимается правое предельное значение Пусть. Найдем изображение Имеем Интегрируя по частям, получаем Внеинтегральное слагаемое в правой части (10) обращается в нуль при к. при Rc р = s > з имеем подстановка t = Одает -/(0). Второе слагаемое справа в (10) равно pF{p). Таким образом, соотношение (10) принимает вид и формула (8) доказана. В частности, если Для отыскания изображения f(n\t) запишем откуда, интегрируя п раз по частям, получи м Пример 4. Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение функции f(t) = sin2 t. Пусть Следовательно, Теорема 5 устанавливает замечательное свойство интегрального преобразования Лапласа: оно (как и преобразование Фурье) переводит операцию дифференцирования в алгебраическую операцию умножения на р. Формула включения. Если являются функциями-оригиналами, то В самом деле, В силу следствия из теоремы 1, всякое изображение стремится к нулю при. Значит, откуда вытекает формула включения (Теорема 6 (о дифференцировании изображения). Дифференцирование изображения сводится к умножению на оригинала, Так как функция F(p) в полуплоскости so является аналитической, то ее можно дифференцировать по р. Имеем Последнее как раз и означает, что Пример 5. Пользуясь теоремой 6, найти изображение функции 4 Как известно, Отсюда (Вновь применяя теорему 6, найдем, вообще Теорема 7 (интегрирование оригинала). Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на Положим Нетрудно проверить, что если есть функция-оригинал, то и будет функцией-оригиналом, причем. Пусть. В силу так что С другой стороны, откуда F= Последнее равносильно доказываемому соотношению (13). Пример 6. Найти изображение функции M В данном случае, так что. Поэтому Теорема 8 (интегрирование изображения). Если и интеграл сходится, то он служит изображением функции ^: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Основные определения Свойства Свертка функций Теорема умножения Отыскание оригинала по изображению Использование теоремы обращения операционного исчисления Формула Дюамеля Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение интегральных уравнений Действительно, Предполагая, что путь интегрирования лежите полуплоскости so, мы можем изменить порядок интегрирования Последнее равенство означает, что является изображением функции Пример 7. Найти изображение функции М Как известно, . Поэтому Так как Положим получаем £ = 0, при. Поэтому соотношение (16) принимает вид Примере. Найти изображение функции f(t), заданной графически (рис.5). Запишем выражение для функции f(t) в следующем виде: Это выражение можно получить так. Рассмотрим функцию и вычтем из нее функцию Разность будет равна единице для. К полученной разности прибавим функцию В результате получим функцию f(t) (рис. 6 в), так что Отсюда, пользуясь теоремой запаздывания, найдем Теорема 10 (смещения). то для любого комплексного числа ро В самом деле, Теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображения тех же функций, умноженных на показательную функцию, например, 2.1. Свертка функций. Теорема умножения Пусть функции /(£) и определены и непрерывны для всех t. Сверткой этих функций называется новая функция от t, определяемая равенством (если этот интеграл существует). Для функций-оригиналов операция свертим всегда выполнима, причем (17) 4 В самом деле, произведение функций-оригиналов как функция от т, является финитной функцией, т.е. обращается в нуль вне некоторого конечного промежутка (в данном случае вне отрезка. Для финитных непрерывных функций операция свертки выполнима, и мы получаем формулу Нетрудно проверить, что операциясвертки коммутативна, Теорема 11 (умножения). Если, то свертка t) имеет изображение Нетрудно проверить, что свертка (функций-оригиналов есть функция-оригинал с показателем роста » где, - показатели роста функций соответственно. Найдем изображение свертки, Воспользовавшись тем, что будем иметь Меняя порядок интегрирования в интеграле справа (такая операция законна) и применяя теорему запаздывания, получим Таким образом, из (18) и (19) находим - умножению изображений отвечает свертывание оригиналов, Пртер 9. Найти изображение функции А функция V(0 ость свортка функций. В силу теоремы умножения Задача. Пусть функция /(£), пориодическая с периодом Т, есгъ функция-оригинал. Показать, что ее изображение по Лапласу F(p) дается формулой 3. Отыскание оригинала по изображению Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /(<)> изображением которой является F(p). Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением. Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости so функция F(p) 1) стремится к нулю при в любой полуплоскости R s0 равномерно относительно arg р; 2) интеграл сходится абсолютно, то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала Задача. Может ли функция F(p) = служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению. 3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа. Пример 1. Найти оригинал для Запишем функцию F{p) в виде Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем Пример 2. Найти оригинал для функции 4 Запишем F(p) в виде Отсюда 3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее Теорема 13 (обращения). Если функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина. В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке }