Построение зон френеля зачем и как. Принцип Гюйгенса – Френеля. Метод зон Френеля

Принцип Гюйгенса - Френеля в рамках волновой теории позволяет объяснить прямолинейное распространение света. Определим амплитуду световой волны в произвольной точке Р, используя метод зон Френеля. Рассмотрим сначала случай падающей плоской волны (рис. 5.2).

Пусть плоский фронт волны F, распространяющейся от расположенного в бесконечности источника света, в некоторый момент времени находится на расстоянии ОР – r 0 от точки наблюдения Р.

Рис. 5.2. Применение принципа Гюйгенса - Френеля к плоской волне: зоны Френеля на поверхности
плоского волнового фронта F представляют собой концентрические кольца
(для наглядности изображение зон Френеля развернуто на 90°, такими они выглядят из точки Р)

Все точки фронта волны, согласно принципу Гюйгенса - Френеля, испускают элементарные сферические волны, которые распространяются по всем направлениям и через некоторое время достигают точки наблюдения Р. Результирующая амплитуда колебаний в этой точке определяется векторной суммой амплитуд всех вторичных волн.

Колебания во всех точках волнового фронта F имеют одинаковое направление и происходят в одной фазе. С другой стороны, все точки фронта F находятся от точки Р на различных расстояниях. Для определения результирующей амплитуды всех вторичных волн в точке наблюдения Френель предложил метод разбиения волновой поверхности на кольцевые зоны, называемые зонами Френеля .

Взяв точку Р в качестве центра, построим ряд концентрических сфер, радиусы которых начинаются с и увеличиваются каждый раз на половину длины волны . При пересечении с плоским фронтом волны F эти сферы дадут концентрические окружности. Таким образом, на фронте волны появятся кольцевые зоны (зоны Френеля) с радиусами и т. д.

Определим радиусы зон Френеля, имея ввиду, что , 0А 2 = АР 2 – 0Р 2 , то есть

Аналогично находим

Для оценки амплитуд колебаний определим площади зон Френеля. Первая зона (круг):

вторая зона (кольцо):

третья и последующие зоны (кольца):

Таким образом, площади зон Френеля примерно одинаковы, поэтому, согласно принципу Гюйгенса - Френеля, каждая зона Френеля служит источником вторичных сферических волн, амплитуды которых приблизительно одинаковы. Кроме того, колебания, возбуждаемые в точке Р двумя соседними зонами, противоположны по фазе , так как разность хода соответствующих волн от этих зон до точки наблюдения Р равна . Поэтому при наложении эти колебания должны взаимно ослаблять друг друга, то есть амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть представлена в виде знакопеременного ряда

где А 1 - амплитуда колебаний в точке Р возбуждаемых действием центральной (первой) зоны Френеля, А 2 - амплитуда колебаний, возбуждаемых второй зоной, и т. д.

Расстояние от m -й зоны до точки Р медленно растет с номером зоны m. Угол между нормалью к элементам зоны и направлением в точку Р также растет с m, следовательно, амплитуда А m колебания, возбуждаемого m -й зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом m. Другими словами, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

Вследствие монотонного и медленного убывания А т можно приближенно положить, что амплитуда колебаний от зоны с номером m равна среднему арифметическому амплитуд колебаний от двух соседних зон Френеля:

В выражении для амплитуды результирующего колебания все амплитуды от четных зон входят с одним знаком, а от нечетных - с другим. Запишем это выражение в следующем виде:

Выражения в скобках на основании (5.10) будут равны нулю, так что

то есть результирующая амплитуда, создаваемая в точке наблюдения Р всей поверхностью волнового фронта, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной (первой) зоной Френеля. Таким образом, колебания, вызываемые в точке Р волновой поверхностью F, имеют такую же амплитуду, как если бы действовала только половина первой (центральной) зоны. Следовательно, свет распространяется как бы в узком канале, сечение которого равно половине первой (центральной) зоны Френеля - мы снова пришли к прямолинейному распространению плоской волны.

Если же на пути волны поставить диафрагму с отверстием, оставляющим открытой только центральную (первую) зону Френеля, амплитуда в точке Р будет равна А 1 , то есть в два раза превзойдет амплитуду, создаваемую всем волновым фронтом. Соответственно, интенсивность света в точке Р будет в четыре раза больше, чем при отсутствии преграды между источником света и точкой Р. Удивительно, не так ли? Но чудес в природе не бывает: в других точках экрана интенсивность света будет ослаблена, а средняя освещенность всего экрана при использовании диафрагмы, как и следовало ожидать, уменьшится.

Правомерность такого подхода, заключающегося в делении волнового фронта на зоны Френеля, подтверждена экспериментально. Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга. Если поставить на пути световой волны пластинку, которая перекрывает все четные или нечетные зоны Френеля, то можно убедиться, что интенсивность света в точке Р резко возрастет. Такая пластинка, называемая зонной , действует подобно собирающей линзе. Подчеркнем еще раз: зоны Френеля - это мысленно выделенные участки поверхности волнового фронта, положение которых зависит от выбранной точки наблюдения Р. При другой точке наблюдения расположение зон Френеля будет иным. Метод зон Френеля - удобный способ решения задач о дифракции волн на тех или иных препятствиях.

Различают два вида дифракции. Если источник света S и точка наблюдения Р находятся далеко от препятствия, лучи, падающие на препятствие и идущие в точку Р, образуют практически параллельные пучки. В таком случае говорят о дифракции в параллельных лучах , или дифракции Фраунгофера . Если же рассматривается дифракционная картина на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию, то говорят о дифракции сферических волн , или дифракции Френеля .

Дополнительная информация

http://pymath.ru/viewtopic.php?f=77&t=757&sid=– Видеоурок «Радиус зоны Френеля»

Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в окрестности точки Р, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска.

В данном случае закрытый диском участок фронта волны надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить, начиная с краев диска.

Пусть диск закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда результатирующего колебания в точке Р равна

т.к. выражения в скобках равны нулю. Следовательно, в точке Р всегда наблюдается интерфереционный max, соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Экспериментально светлое пятно (пятно Пуассона) впервые получил Ораго. Как и в случае дифракции на круглом отверстии, центральный max окружен концетрическими с ним темными и светлыми кольцами, и интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки Р и, что особенно существенно, увеличивается угол α между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку Р. В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска (его радиус во много раз больше радиуса закрытой им центральной зоны Френеля), за ним наблюдается обычная тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся прямолинейно.

Дифракция на круглом отверстии и на диске впервые была рассмотрена Френелем с использованием метода Гюйгенса-Френеля и основанного на нем метода зон Френеля.

Недостатки теории Френеля:

1.В теории Френеля предполагается, что непрозрачные части экранов не являются источниками вторичных волн а также, что амплитуды и начальные фазы колебаний в точке поверхности Ф, не закрытых непрозрачными экранами, такие же, как и в отсутствие последних. Это неверно, т.к. граничные условия на поверхности экрана зависят от его материала. Правда, это сказывается лишь на малых, порядка λ, расстояниях от экрана. На отверстиях и экранах, размеры которых значительно больше λ, теория Френеля хорошо согласуется с опытом.

2. Теория Френеля дает неправильное значение фазы результатирующей волны. Например, при графическом сложении векторов амплитуд колебаний, возбужденных в точке Р всеми малыми элементами открытого фронта волны, оказывается, что фаза результатирующего вектора А отличается на от начальной фазы колебаний в точке Р, происходящих в действительности.

3. Базируется на чисто качественном постулируемом допущении о зависимости амплитуды вторичных волн от угла α.

Теория Френеля дает лишь приближенный расчетный прием. Математическое обоснование и уточнение метода Гюйгенса-Френеля было сделано в 1882 году Кирхгофом.

§ Дифракция Фраунгофера.

Явление дифракции принято классифицировать в зависимости от расстояний источника и точки наблюдения (экрана) от препятствия, поставленного на пути распространения света. Дифракция сферических волн, картина распределения интенсивности которой наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию, называется дифракцией Френеля. Если же расстояния от препятствия до источника и точки наблюдения очень велики (бесконечно велики), говорят о дифракции Фраунгофера.

Между френелевой и фраунгоферовой дифракциями нет принципиального различия и резкой границы. Одна непрерывно переходит в другую. Если для точки наблюдения, лежащей на оси системы, в отверстии препятствия, например, укладывается заметная часть первой зоны или несколько зон Френеля, то дифракция считается френелевой. Если в отверстии укладывается незначительная часть первой зоны Френеля, то дифракция будет фраунгоферовой.

Для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке пр-ва. Метод З. Ф. используется при рассмотрении задач о дифракции волн в соответствии с Гюйгенса - Френеля принципом. Рассмотрим распространение монохроматической световой волны из точки Q(источник) в к.-л. точку наблюдения Р (рис.).

Согласно принципу Гюйгенса - Френеля, источника Q заменяют действием воображаемых источников, расположенных на вспомогат. поверхности S, в кач-ве к-рой выбирают поверхность фронта сферич. волны, идущей из Q. Далее поверхность S разбивают на кольцевые зоны так, чтобы расстояния от краёв зоны до точки наблюдения Р отличались на l/2: Ра=РО+l/2; Рb=Ра+l/2; Рс=Рb+l/2 (О - точка пересечения поверхности волны с линией PQ, l - ). Образованные т. о. равновеликие участки поверхности S наз. З. Ф. Участок Оа сферич. поверхности S наз. первой З. Ф., аb - второй, bc - третьей З. Ф. и т. д. Радиус m-й З. Ф. в случае дифракции на круглых отверстиях и экранах определяется . приближённым выражением (при ml

где R - расстояние от источника до отверстия, r0 - расстояние от отверстия (или экрана) до точки наблюдения. В случае дифракции на прямолинейных структурах (прямолинейный край экрана, щель) размер m-й З. Ф. (расстояние внеш. края зоны от линии, соединяющей источник и точку наблюдения) приближённо равен O(mr0l).

Волн. процесс в точке Р можно рассматривать как результат интерференции волн, приходящих в точку наблюдения от каждой З. Ф. в отдельности, приняв во внимание, что от каждой зоны медленно убывает с ростом номера зоны, а фазы колебаний, вызываемых в точке Р смежными зонами, противоположны. Поэтому волны, приходящие в точку наблюдения от двух смежных зон, ослабляют друг друга; амплитуда результирующего в точке Р меньше, чем амплитуда, создаваемая действием одной центр. зоны.

Метод разбиения на З. Ф. наглядно объясняет прямолинейное распространение света с точки зрения волн. природы света. Он позволяет просто составить качественное, а в ряде случаев и достаточно точное количеств. представление о результатах дифракции волн при разл. сложных условиях их распространения. Экран, состоящий из системы концентрич. колец, соответствующих З. Ф. (см. ЗОННАЯ ПЛАСТИНКА), может дать, как и , усиление освещённости на оси или даже создать изображение. Метод З. Ф. применим не только в оптике, но и при изучении распространения радио- и . волн.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ

См. Френеля зоны.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ" в других словарях:

Участки, на которые можно разбить поверхность световой (или звуковой) волны для вычисления результатов дифракции света (См. Дифракция света) (или звука). Впервые этот метод применил О. Френель в 1815 19. Суть метода такова. Пусть от… …

ФРЕНЕЛЯ - (1) дифракция (см.) сферической световой волны, при рассмотрении которой нельзя пренебречь кривизной поверхности падающей и дифрагировавшей (либо только дифрагировавшей) волн. В центре дифракционной картины от круглого непрозрачного диска всегда… … Большая политехническая энциклопедия

Участки, на которые разбивается волновая поверхность при рассмотрении дифракционных волн (Гюйгенса Френеля принцип). Зоны Френеля выбираются так, чтобы удаление каждой следующей зоны от точки наблюдения было на половину длины волны больше, чем… …

Дифракция сферич. световой волны на неоднородности (напр., отверстии в экране), размер к рой b сравним с диаметром первой зоны Френеля?(z?): b=?(z?) (дифракция в сходящихся лучах), где z расстояние точки наблюдения до экрана. Назв. в честь франц … Физическая энциклопедия

Участки, на которые разбивают волновую поверхность при рассмотрении дифракции волн (Гюйгенса Френеля принцип). Зоны Френеля выбираются так, чтобы удаление каждой следующей зоны от точки наблюдения было на половину длины волны больше, чем удаление … Энциклопедический словарь

Дифракция сферической световой волны на неоднородности (например, отверстии), размер которой сравним с диаметром одной из зон Френеля (См. Зоны Френеля). Название дано в честь изучившего этот вид дифракции О. Ж. Френеля (См. Френель).… … Большая советская энциклопедия

Участки, на к рые разбивают поверхность фронта световой волны для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке про странства. Метод Ф. з. используется при рассмотрении задач о дифракции волн в соответствии с Гюйгенса… … Физическая энциклопедия

Дифракция сферической электромагнитной волны на неоднородности, напр., отверстии в экране, размер которого b сравним с размером Френеля зоны, т. е. , где z расстояние точки наблюдения от экрана, ?? длина волны. Назван по имени О. Ж. Френеля … Большой Энциклопедический словарь

Дифракция сферической электромагнитной волны на неоднородности, например отверстии в экране, размер которого b сравним с размером Френеля зоны, то есть, где z расстояние точки наблюдения от экрана, λ длина волны. Названа по имени О. Ж. Френеля … Энциклопедический словарь

Участки, на к рые разбивают волновую поверхность при рассмотрении дифракции волн (Гюйгенса Френеля принцип). Ф. з. выбираются так, чтобы удаление каждой след. зоны от точки наблюдения было на половину длины волны больше, чем удаление предыдущей… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Вычисление интеграла в пункте в общем случае - трудная задача.

В случаях, если в задаче существует симметрия, амплитуду результирующего колебания можно найти методом зон Френеля, не прибегая к вычислению интеграла.

Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP. Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на λ/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля.

Что дает такое разбиение для расчета интенсивности в точке P? Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна λ/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.

Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.

Происходит это из-за увеличения с ростом m угла между нормалью к волновой поверхности и направлением на точку P. Значит гашение колебаний соседних зон будет не совсем полным.

Дифракция Френеля.

Пусть на пути сферической световой волны, испускаемой источником S, расположен непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса r 0 . Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в точке P будет наблюдаться минимум, так как все открытые зоны можно объединить в соседние пары, колебания которых в точке P приблизительно гасят друг друга.

При нечетном числе зон в точке P будет максимум, так как колебания одной зоны останутся не погашенными.

Можно показать, что радиус зоны Френеля с номером m при не очень больших m:

.

Расстояние "a" примерно равно расстоянию от источника до преграды, расстояние "b" - от преграды до точки наблюдения P.

Если отверстие оставляет открытым целое число зон Френеля, то, приравняв r 0 и r m , получим формулу для подсчета числа открытых зон Френеля:

.

При m четном в точке P будет минимум интенсивности, при нечетном - максимум.

Пятно Пуассона.

e s

С помощью спирали Френеля можно получить еще один замечательный результат. Действительно, если на пути сферической волны находится непрозрачное круглое отверстие (любого размера), то оказывается закрытым какое-то число внутренних зон Френеля. Но вклад в колебания в точке наблюдения, находящегося в центре геометрической тени,будут давать остальные зоны. В результате в этой точке должен наблюдаться свет.

Этот результат показался в свое время Пуассону столь невероятным, что он выдвинул его как возражение против рассуждений и расчетов Френеля при рассмотрении дифракции. Однако, когда был проведен соответствующий опыт, такое светлое пятнышко в центра геометрической тени было обнаружено. С тех пор оно носит название пятна Пуассона, хотя он не допускал и самой возможности его существования.

Пятно Пуассона – светлое пятно в центре геометрической тени от непрозрачного объекта. Пятно Пуассона обусловлено загибанием света в область геометрической тени.

Для нахождения результата интерференции вторичных волн Френель предложил метод разбиения волнового фронта на зоны, называемые зонами Френеля. 

Предположим, что источник света S (рис. 17.18) точечный и монохроматический, а среда, в которой распространяется свет, изотропная. Волновой фронт в произвольный момент времени будет иметь форму сферы радиусом \(~r=ct.\) Каждая точка на этой сферической поверхности является вторичным источником волн. Колебания во всех точках волновой поверхности происходят с одинаковой часто-той и в одинаковой фазе. Следовательно, все эти вторичные источники когерентны. Для нахождения амплитуды колебаний в точке М необходимо произвести сложение когерентных колебаний от всех вторичных источников на волновой поверхности.

Френель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до точки М отличались на \(\frac{\lambda}{2},\) т.е. \(P_1M - P_0M = P_2M - P_1M = \frac{\lambda}{2}.\)

Так как разность хода от двух соседних зон равна \(\frac{\lambda}{2},\) то колебания от них приходят в точку М в противоположных фазах и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М будет равна

\(A = A_1 - A_2 + A_3 - A_4 + \ldots \pm A_m,\) (17.5)

где \(A_1, A_2, \ldots , A_m,\) - амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, .., m-й зонами.

Френель предположил также, что действие отдельных зон в точке М зависит от направления распростронения (от угла \(\varphi_m\) (рис. 17.19) между нормалью \(~\vec n \) к поверхности зоны и направлением на точку М). С увеличением \(\varphi_m\) действие зон убывает и при углах \(\varphi_m \ge 90^\circ\) амплитуда возбуждаемых вторичных волн равна 0. Кроме того, интенсивность излучения в направлении точки М уменьшается с ростом и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М Учитывая оба фактора, можно записать, что

\(A_1 >A_2 >A_3 > \cdots\)

1. Объяснение прямолинейности распространения света.

Общее число зон Френеля, вмещающихся на полусфере радиусом SP 0 , равным расстоянию от источника света S до фронта волны, очень велико. Поэтому в первом приближении можно считать, что амплитуда колебаний А m от некоторой m-й зоны равна среднему арифметическому от амплитуд, примыкающих к ней зон, т.е.

\(A_m = \frac{ A_{m-1} + A_{m+1} }{2}.\)

Тогда выражение (17.5) можно записать в виде

\(A = \frac{A_1}{2} + \Bigr(\frac{A_1}{2} - A_2 + \frac{A_3}{2} \Bigl) + \Bigr(\frac{A_3}{2} - A_4 + \frac{A_5}{2} \Bigl) + \ldots \pm \frac{A_m}{2}.\)

Так как выражения, стоящие в скобках, равны 0, а \(\frac{A_m}{2}\) ничтожно мала, то

\(A = \frac{A_1}{2} \pm \frac{A_m}{2} \approx \frac{A_1}{2}.\) (17.6)

Таким образом, амплитуда колебаний, создаваемая в произвольной точке М сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной центральной зоной. Из рисунка 17.19 радиус г m-ной зоны зоны Френеля \(r_m = \sqrt{\Bigr(b + \frac{m \lambda}{2} \Bigl)^2 - (b + h_m)^2}.\) Так как \(~h_m \ll b\) и длина волны света мала, то \(r_m \approx \sqrt{\Bigr(b + \frac{m \lambda}{2} \Bigl)^2 - b^2} = \sqrt{mb \lambda + \frac{m^2 \lambda^2}{4}} \approx \sqrt{mb\lambda}.\) Значит, радиус первой Учитывая, что \(~\lambda\) длина волны может иметь значения от 300 до 860 нм, получим \(~r_1 \ll b.\) Следовательно, распространение света от S к М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, диаметр которого меньше радиуса первой зоны Френеля, т.е. прямолинейно.

2. Дифракция на круглом отверстии.

Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием (рис. 17.20). Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Согласно (17.5) и (17.6) в точке B амплитуда результирующего колебания 

\(A = \frac{A_1}{2} \pm \frac{A_m}{2},\)

где знак "плюс" соответствует нечетным m, а знак "минус" - четным m.

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда колебаний в точке В будет больше, чем при отсутствии экрана. Если в отверстии укладывается одна зона Френеля, то в точке В амплитуда \(~A = A_1\) т.е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана. Если в отверстии укладываются две зоны Френеля, то их действие в точке В практически уничтожает друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если m - четное, то в центре темное кольцо, если m - нечетное - светлое кольцо), причем интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 514-517.