Порядок дифференциального уравнения определяется. Обыкновенные дифференциальные уравнения

21.09.2019

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x , искомую функцию y=f(x) и её производные y",y"",\ldots,y^{(n)} , т. е. уравнение вида

F(x,y,y",y"",\ldots,y^{(n)})=0.

Если искомая функция y=y(x) есть функция одной независимой переменной x , дифференциальное уравнение называется обыкновенным ; например,

\mathsf{1)}~\frac{dy}{dx}+xy=0, \quad \mathsf{2)}~y""+y"+x=\cos{x}, \quad \mathsf{3)}~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

Когда искомая функция y есть функция двух и более независимых переменных, например, если y=y(x,t) , то уравнение вида

F\!\left(x,t,y,\frac{\partial{y}}{\partial{x}},\frac{\partial{y}}{\partial{t}},\ldots,\frac{\partial^m{y}}{\partial{x^k}\partial{t^l}}\right)=0

называется уравнением в частных производных. Здесь k,l - неотрицательные целые числа, такие, что k+l=m ; например

\frac{\partial{y}}{\partial{t}}-\frac{\partial{y}}{\partial{x}}=0, \quad \frac{\partial{y}}{\partial{t}}=\frac{\partial^2y}{\partial{x^2}}.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение y"+xy=e^x - уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение y""+p(x)y=0 , где p(x) - известная функция, - уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение y^{(9)}-xy""=x^2 - уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется функция y=\varphi(x) , определенная на интервале (a,b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции y=\varphi(x) в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по x на (a,b) . Например, функция y=\sin{x}+\cos{x} является решением уравнения y""+y=0 на интервале (-\infty,+\infty) . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

Y"=\cos{x}-\sin{x}, \quad y""=-\sin{x}-\cos{x}.

Подставляя выражения y"" и y в дифференциальное уравнение, получим тождество

-\sin{x}-\cos{x}+\sin{x}+\cos{x}\equiv0

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Общий вид уравнения первого порядка

F(x,y,y")=0.

Если уравнение (1) удается разрешить относительно y" , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Y"=f(x,y).

Задачей Коши называют задачу нахождения решения y=y(x) уравнения y"=f(x,y) , удовлетворяющего начальному условию y(x_0)=y_0 (другая запись y|_{x=x_0}=y_0 ).

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную
точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy (рис. 1).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Пусть дано дифференциальное уравнение y"=f(x,y) , где функция f(x,y) определена в некоторой области D плоскости xOy , содержащей точку (x_0,y_0) . Если функция f(x,y) удовлетворяет условиям

а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области D ;

б) f(x,y) имеет частную производную , ограниченную в области D , то найдется интервал (x_0-h,x_0+h) , на котором существует единственное решение y=\varphi(x) данного уравнения, удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0 .

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения y"=f(x,y) , но эти условия не являются необходимыми . Именно, может существовать единственное решение уравнения y"=f(x,y) , удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0 , хотя в точке (x_0,y_0) не выполняются условия а) или б) или оба вместе.

Рассмотрим примеры.

1. y"=\frac{1}{y^2} . Здесь f(x,y)=\frac{1}{y^2},~\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-\frac{2}{y^3} . В точках (x_0,0) оси Ox условия а) и б) не выполняются (функция f(x,y) и её частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}} разрывны на оси Ox и неограниченны при y\to0 ), но через каждую точку оси Ox проходит единственная интегральная кривая y=\sqrt{3(x-x_0)} (рис. 2).

2. y"=xy+e^{-y} . Правая часть уравнения f(x,y)=xy+e^{-y} и ее частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=x-e^{-y} непрерывны по x и y во всех точках плоскости xOy . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость xOy .

3. y"=\frac{3}{2}\sqrt{y^2} . Правая часть уравнения f(x,y)=\frac{3}{2}\sqrt{y^2} определена и непрерывна во всех точках плоскости xOy . Частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{1}{\sqrt{y}} обращается в бесконечность при y=0 , т.е. на оси Ox , так что при y=0 нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси Ox возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение y\equiv0 . Таким образом, через каждую точку оси Ox проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).

Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол y=\frac{(x+c)^3}{8} и отрезков оси Ox , например, ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x и др., так что через каждую точку оси Ox проходит бесконечное множество интегральных линий.

Условие Липшица

Замечание. Условие ограниченности производной \partial{f}/\partial{y} , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .

Говорят, что функция f(x,y) , определенная в некоторой области D , удовлетворяет в D условию Липшица по y , если существует такая постоянная L (постоянная Липшица ), что для любых y_1,y_2 из D и любого x из D справедливо неравенство

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

Существование в области D ограниченной производной \frac{\partial{f}}{\partial{y}} достаточно для того, чтобы функция f(x,y) удовлетворяла в D условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности \frac{\partial{f}}{\partial{y}} ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения y"=2|y|\cos{x} функция f(x,y)=2|y|\cos{x} не дифференцируема по y в точке (x_0,0),x_0\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,

{|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos{x}-2|y_1|\cos{x}|=2|\cos{x}|\,||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.}

поскольку |\cos{x}|\leqslant1, а ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1| . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной L=2 .

Теорема. Если функция f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в области D , то задача Коши

\frac{dy}{dx}=f(x,y), \quad y|_{x=x_0}=y_0, \quad (x_0,y_0)\in{D}.

имеет единственное решение.

Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение

\frac{dy}{dx}=\begin{cases}\dfrac{4x^3y}{x^4+y^4},&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0.\end{cases}

Нетрудно видеть, что функция f(x,y) непрерывна; с другой стороны,

F(x,Y)-f(x,y)=\frac{4x^3(x^4+yY)}{(x^4+y^2)(x^4+Y^2)}(Y-y).

Если y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, то

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac{4}{|x|}\frac{1-\alpha\beta}{(1+\alpha^2)(1+\beta^2)}|Y-y|,

и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат O(0,0) , так как множитель при |Y-y| оказывается неограниченным при x\to0 .

Данное дифференциальное уравнение допускает решение y=C^2-\sqrt{x^4+C^4}, где C - произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию y(0)=0.

Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция

Y=\varphi(x,C),

зависящая от одной произвольной постоянной C , и такая, что

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной C;

2) каково бы ни было начальное условие

\Bigl.{y}\Bigr|_{x=x_0}=y_0,

можно подобрать такое значение C_0 постоянной C , что решение y=\varphi(x,C_0) будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка (x_0,y_0) принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной C .

Пример 1. Проверить, что функция y=x+C есть общее решение дифференциального уравнения y"=1 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=0}=0 . Дать геометрическое истолкование результата.

Решение. Функция y=x+C удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной C . В самом деле, y"=(x+C)"=1.

Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0 . Полагая x=x_0 и y=y_0 в равенстве y=x+C , найдем, что C=y_0-x_0 . Подставив это значение C в данную функцию, будем иметь y=x+y_0-x_0 . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив x=x_0 , получим y=x_0+y_0-x_0=y_0 . Итак, функция y=x+C является общим решением данного уравнения.

В частности, полагая x_0=0 и y_0=0 , получим частное решение y=x .

Общее решение данного уравнения, т.е. функция y=x+C , определяет в плоскости xOy семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом k=1 . Через каждую точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy проходит единственная интегральная линия y=x+y_0-x_0 . Частное решение y=x определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).

Пример 2. Проверить, что функция y=Ce^x есть общее решение уравнения y"-y=0 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=1}=-1. .

Решение. Имеем y=Ce^x,~y"=Ce^x . Подставляя в данное уравнение выражения y и y" , получаем Ce^x-Ce^x\equiv0 , т. е. функция y=Ce^x удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной C .

Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0 . Подставив x_0 и y_0 вместо x и y в функцию y=Ce^x , будем иметь y_0=Ce^{x_0} , откуда C=y_0e^{-x_0} . Функция y=y_0e^{x-x_0} удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая x=x_0 , получим y=y_0e^{x_0-x_0}=y_0 . Функция y=Ce^x есть общее решение данного уравнения.

При x_0=1 и y_0=-1 получим частное решение y=-e^{x-1} .

С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку M_0(1;-1) (рис.5).

Соотношение вида \Phi(x,y,C)=0 , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной C , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.

Так как с геометрической точки зрения координаты x и y равноправны, то наряду с уравнением \frac{dx}{dy}=f(x,y) мы будем рассматривать уравнение \frac{dx}{dy}=\frac{1}{f(x,y)} .

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.

Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.

Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.

Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .

Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.

Напомним, что , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .

Запишем несколько примеров таких ДУ .

Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются .

Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.

Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3 и k 2 = 0 . Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем

Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .

Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:

Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

Примером ЛОДУ является .

Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ можно привести .

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .

Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.

F(x,y,y",y"",\ldots,y^{(n)})=0.

\mathsf{1)}~\frac{dy}{dx}+xy=0, \quad \mathsf{2)}~y""+y"+x=\cos{x}, \quad \mathsf{3)}~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

F\!\left(x,t,y,\frac{\partial{y}}{\partial{x}},\frac{\partial{y}}{\partial{t}},\ldots,\frac{\partial^m{y}}{\partial{x^k}\partial{t^l}}\right)=0

называется уравнением в частных производных. Здесь k,l - неотрицательные целые числа, такие, что k+l=m ; например

\frac{\partial{y}}{\partial{t}}-\frac{\partial{y}}{\partial{x}}=0, \quad \frac{\partial{y}}{\partial{t}}=\frac{\partial^2y}{\partial{x^2}}.

y"=\cos{x}-\sin{x}, \quad y""=-\sin{x}-\cos{x}.

Подставляя выражения y"" и y в дифференциальное уравнение, получим тождество

-\sin{x}-\cos{x}+\sin{x}+\cos{x}\equiv0

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Общий вид уравнения первого порядка

F(x,y,y")=0.

y"=f(x,y).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области D ;

Рассмотрим примеры.

Условие Липшица

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

{|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos{x}-2|y_1|\cos{x}|=2|\cos{x}|\,||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.}

поскольку |\cos{x}|\leqslant1, а ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1| . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной L=2 .

Теорема. Если функция f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в области D , то задача Коши

\frac{dy}{dx}=f(x,y), \quad y|_{x=x_0}=y_0, \quad (x_0,y_0)\in{D}.

имеет единственное решение.

\frac{dy}{dx}=\begin{cases}\dfrac{4x^3y}{x^4+y^4},&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0.\end{cases}

Нетрудно видеть, что функция f(x,y) непрерывна; с другой стороны,

f(x,Y)-f(x,y)=\frac{4x^3(x^4+yY)}{(x^4+y^2)(x^4+Y^2)}(Y-y).

Если y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, то

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac{4}{|x|}\frac{1-\alpha\beta}{(1+\alpha^2)(1+\beta^2)}|Y-y|,

Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция

y=\varphi(x,C),

зависящая от одной произвольной постоянной C , и такая, что

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной C;

2) каково бы ни было начальное условие

\Bigl.{y}\Bigr|_{x=x_0}=y_0,

В частности, полагая x_0=0 и y_0=0 , получим частное решение y=x .

При x_0=1 и y_0=-1 получим частное решение y=-e^{x-1} .

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V , которая также является производной по времени t от перемещения S . Т.е.

Тогда получаем:
- уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением , если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения .

Пример.

- обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается
.

- обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается

- дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество

Свойства общего решения.

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х 0 , у(х 0) = у 0 существует такое значение С = С 0 , при котором решением дифференциального уравнения является функция у = (х, С 0).

Определение. Решение вида у = (х, С 0) называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С 0), удовлетворяющего начальным условиям у(х 0) = у 0 .

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f (x , y ) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную
, то какова бы не была точка (х 0 , у 0 ) в области D , существует единственное решение
уравнения
, определенное в некотором интервале, содержащем точку х 0 , принимающее при х = х 0 значение  (х 0 ) = у 0 , т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:

- это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x 0 = 1; y 0 = 2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Определение. Интегральной кривой называется график y = (x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:
Найти особое решение, если оно существует.

Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С 1 = 0 ошибочно, ведь C 1 = e C  0.

Дифференциальное уравнение - это уравнение, в которое входят функция и одна или несколько ее производных. В большинстве практических задач функции представляют собой физические величины, производные соответствуют скоростям изменения этих величин, а уравнение определяет связь между ними.

В данной статье рассмотрены методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых могут быть записаны в виде элементарных функций , то есть полиномиальных, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических, а также обратных им функций. Многие из этих уравнений встречаются в реальной жизни, хотя большинство других дифференциальных уравнений нельзя решить данными методами, и для них ответ записывается в виде специальных функций или степенных рядов, либо находится численными методами.

Для понимания данной статьи необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением, а также иметь некоторое представление о частных производных. Рекомендуется также знать основы линейной алгебры в применении к дифференциальным уравнениям, особенно к дифференциальным уравнениям второго порядка, хотя для их решения достаточно знания дифференциального и интегрального исчисления.

Предварительные сведения

Дифференциальные уравнения имеют обширную классификацию. В настоящей статье рассказывается об обыкновенных дифференциальных уравнениях , то есть об уравнениях, в которые входит функция одной переменной и ее производные. Обыкновенные дифференциальные уравнения намного легче понять и решить, чем дифференциальные уравнения в частных производных , в которые входят функции нескольких переменных. В данной статье не рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных, поскольку методы решения этих уравнений обычно определяются их конкретным видом.
- Ниже приведены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений.
  - d y d x = k y {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=ky}
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+kx=0}
- Ниже приведены несколько примеров дифференциальных уравнений в частных производных.
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0}
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}
Порядок дифференциального уравнения определяется по порядку старшей производной, входящей в данное уравнение. Первое из приведенных выше обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, в то время как второе относится к уравнениям второго порядка. Степенью дифференциального уравнения называется наивысшая степень, в которую возводится один из членов этого уравнения.
- Например, приведенное ниже уравнение имеет третий порядок и вторую степень.
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 {\displaystyle \left({\frac {{\mathrm {d} }^{3}y}{{\mathrm {d} }x^{3}}}\right)^{2}+{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0}
Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением в том случае, если функция и все ее производные стоят в первой степени. В противном случае уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением . Линейные дифференциальные уравнения примечательны тем, что из их решений можно составить линейные комбинации, которые также будут решениями данного уравнения.
- Ниже приведены несколько примеров линейных дифференциальных уравнений.
- Ниже приведены несколько примеров нелинейных дифференциальных уравнений. Первое уравнение является нелинейным из-за слагаемого с синусом.
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}\theta }{{\mathrm {d} }t^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}
  - d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+\left({\frac {{\mathrm {d} }x}{{\mathrm {d} }t}}\right)^{2}+tx^{2}=0}
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения не является единственным, оно включает в себя произвольные постоянные интегрирования . В большинстве случаев число произвольных постоянных равно порядку уравнения. На практике значения этих констант определяются по заданным начальным условиям , то есть по значениям функции и ее производных при x = 0. {\displaystyle x=0.} Число начальных условий, которые необходимы для нахождения частного решения дифференциального уравнения, в большинстве случаев также равно порядку данного уравнения.
- Например, в данной статье будет рассмотрено решение приведенного ниже уравнения. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные. Для нахождения этих постоянных необходимо знать начальные условия при x (0) {\displaystyle x(0)} и x ′ (0) . {\displaystyle x"(0).} Обычно начальные условия задаются в точке x = 0 , {\displaystyle x=0,} , хотя это и не обязательно. В данной статье будет рассмотрено также, как найти частные решения при заданных начальных условиях.
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+k^{2}x=0}
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x {\displaystyle x(t)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx}

Шаги

Часть 1

Уравнения первого порядка

При использовании этого сервиса некоторая информация может быть передана YouTube.

Линейные уравнения первого порядка. В данном разделе рассмотрены методы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка в общих и специальных случаях, когда некоторые члены равны нулю. Предположим, что y = y (x) , {\displaystyle y=y(x),} p (x) {\displaystyle p(x)} и q (x) {\displaystyle q(x)} являются функциями x . {\displaystyle x.}
D y d x + p (x) y = q (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+p(x)y=q(x)}
P (x) = 0. {\displaystyle p(x)=0.} Согласно одной из основных теорем математического анализа, интеграл от производной функции также является функцией. Таким образом, достаточно просто проинтегрировать уравнение, чтобы найти его решение. При этом следует учесть, что при вычислении неопределенного интеграла появляется произвольная постоянная.
- y (x) = ∫ q (x) d x {\displaystyle y(x)=\int q(x){\mathrm {d} }x}
Q (x) = 0. {\displaystyle q(x)=0.} Используем метод разделения переменных . При этом различные переменные переносятся в разные стороны уравнения. Например, можно перенести все члены с y {\displaystyle y} в одну, а все члены с x {\displaystyle x} в другую сторону уравнения. Можно переносить также члены d x {\displaystyle {\mathrm {d} }x} и d y {\displaystyle {\mathrm {d} }y} , которые входят в выражения производных, однако следует помнить, что это всего лишь условное обозначение, которое удобно при дифференцировании сложной функции. Обсуждение этих членов, которые называются дифференциалами , выходит за рамки данной статьи.
- Во-первых, необходимо перенести переменные по разные стороны знака равенства.
  - 1 y d y = − p (x) d x {\displaystyle {\frac {1}{y}}{\mathrm {d} }y=-p(x){\mathrm {d} }x}
- Проинтегрируем обе стороны уравнения. После интегрирования с обеих сторон появятся произвольные постоянные, которые можно перенести в правую часть уравнения.
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x {\displaystyle \ln y=\int -p(x){\mathrm {d} }x}
  - y (x) = e − ∫ p (x) d x {\displaystyle y(x)=e^{-\int p(x){\mathrm {d} }x}}
- Пример 1.1. На последнем шаге мы использовали правило e a + b = e a e b {\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}} и заменили e C {\displaystyle e^{C}} на C {\displaystyle C} , поскольку это также произвольная постоянная интегрирования.
  - d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}-2y\sin x=0}
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2y}}{\mathrm {d} }y&=\sin x{\mathrm {d} }x\\{\frac {1}{2}}\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^{-2\cos x}\end{aligned}}}
P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. {\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.} Для нахождения общего решения мы ввели интегрирующий множитель в виде функции от x {\displaystyle x} , чтобы свести левую часть к общей производной и таким образом решить уравнение.
- Умножим обе стороны на μ (x) {\displaystyle \mu (x)}
  - μ d y d x + μ p y = μ q {\displaystyle \mu {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+\mu py=\mu q}
- Чтобы свести левую часть к общей производной, необходимо сделать следующие преобразования:
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}(\mu y)={\frac {{\mathrm {d} }\mu }{{\mathrm {d} }x}}y+\mu {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=\mu {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+\mu py}
- Последнее равенство означает, что d μ d x = μ p {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\mu }{{\mathrm {d} }x}}=\mu p} . Это интегрирующий множитель, которого достаточно для решения любого линейного уравнения первого порядка. Теперь можно вывести формулу решения данного уравнения относительно μ , {\displaystyle \mu ,} хотя для тренировки полезно проделать все промежуточные вычисления.
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x {\displaystyle \mu (x)=e^{\int p(x){\mathrm {d} }x}}
- Пример 1.2. В данном примере рассмотрено, как найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.
  - t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 {\displaystyle t{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }t}}+2y=t^{2},\quad y(2)=3}
  - d y d t + 2 t y = t {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }t}}+{\frac {2}{t}}y=t}
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 {\displaystyle \mu (x)=e^{\int p(t){\mathrm {d} }t}=e^{2\ln t}=t^{2}}
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }t}}(t^{2}y)&=t^{3}\\t^{2}y&={\frac {1}{4}}t^{4}+C\\y(t)&={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {C}{t^{2}}}\end{aligned}}}
  - 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 {\displaystyle 3=y(2)=1+{\frac {C}{4}},\quad C=8}
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 {\displaystyle y(t)={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {8}{t^{2}}}}
Решение линейных уравнений первого порядка (запись Интуита – национального открытого университета).
Нелинейные уравнения первого порядка . В данном разделе рассмотрены методы решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Хотя и не существует общего метода решения таких уравнений, некоторые из них можно решить с помощью приведенных ниже методов.
D y d x = f (x , y) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=f(x,y)}
d y d x = h (x) g (y) . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=h(x)g(y).} Если функцию f (x , y) = h (x) g (y) {\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)} можно разделить на функции одной переменной, такое уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными . В этом случае можно воспользоваться приведенным выше методом:
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x {\displaystyle \int {\frac {{\mathrm {d} }y}{h(y)}}=\int g(x){\mathrm {d} }x}
- Пример 1.3.
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {x^{3}}{y(1+x^{4})}}}
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int y{\mathrm {d} }y&=\int {\frac {x^{3}}{1+x^{4}}}{\mathrm {d} }x\\{\frac {1}{2}}y^{2}&={\frac {1}{4}}\ln(1+x^{4})+C\\y(x)&={\frac {1}{2}}\ln(1+x^{4})+C\end{aligned}}}
D y d x = g (x , y) h (x , y) . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {g(x,y)}{h(x,y)}}.} Предположим, что g (x , y) {\displaystyle g(x,y)} и h (x , y) {\displaystyle h(x,y)} являются функциями x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} Тогда однородным дифференциальным уравнением называется такое уравнение, в котором g {\displaystyle g} и h {\displaystyle h} являются однородными функциями одинаковой степени. То есть функции должны удовлетворять условию g (α x , α y) = α k g (x , y) , {\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^{k}g(x,y),} где k {\displaystyle k} называется степенью однородности. Любое однородное дифференциальное уравнение можно путем подходящей замены переменных ( v = y / x {\displaystyle v=y/x} или v = x / y {\displaystyle v=x/y} ) преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными.
- Пример 1.4. Приведенное выше описание однородности может показаться неясным. Рассмотрим это понятие на примере.
  - d y d x = y 3 − x 3 y 2 x {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {y^{3}-x^{3}}{y^{2}x}}}
  - Для начала следует отметить, что это уравнение нелинейно относительно y . {\displaystyle y.} Также мы видим, что в данном случае нельзя разделить переменные. Вместе с тем это дифференциальное уравнение является однородным, поскольку и числитель, и знаменатель однородны со степенью 3. Следовательно, мы можем произвести замену переменных v = y / x . {\displaystyle v=y/x.}
  - d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {y}{x}}-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}=v-{\frac {1}{v^{2}}}}
  - y = v x , d y d x = d v d x x + v {\displaystyle y=vx,\quad {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {{\mathrm {d} }v}{{\mathrm {d} }x}}x+v}
  - d v d x x = − 1 v 2 . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }v}{{\mathrm {d} }x}}x=-{\frac {1}{v^{2}}}.} В результате мы имеем уравнение для v {\displaystyle v} с разделяющимися переменными.
  - v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 {\displaystyle v(x)={\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}}
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 {\displaystyle y(x)=x{\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}}
D y d x = p (x) y + q (x) y n . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=p(x)y+q(x)y^{n}.} Это дифференциальное уравнение Бернулли - особый вид нелинейного уравнения первой степени, решение которого может быть записано с помощью элементарных функций.
- Умножим обе стороны уравнения на (1 − n) y − n {\displaystyle (1-n)y^{-n}} :
  - (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) {\displaystyle (1-n)y^{-n}{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=p(x)(1-n)y^{1-n}+(1-n)q(x)}
- Используем с левой стороны правило дифференцирования сложной функции и преобразуем уравнение в линейное уравнение относительно y 1 − n , {\displaystyle y^{1-n},} которое можно решить приведенными выше методами.
  - d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y^{1-n}}{{\mathrm {d} }x}}=p(x)(1-n)y^{1-n}+(1-n)q(x)}
M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. {\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0.} Это уравнение в полных дифференциалах . Необходимо найти так называемую потенциальную функцию φ (x , y) , {\displaystyle \varphi (x,y),} , которая удовлетворяет условию d φ d x = 0. {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\varphi }{{\mathrm {d} }x}}=0.}
- Для выполнения данного условия необходимо наличие полной производной . Полная производная учитывает зависимость от других переменных. Чтобы вычислить полную производную φ {\displaystyle \varphi } по x , {\displaystyle x,} мы предполагаем, что y {\displaystyle y} может также зависеть от x . {\displaystyle x.}
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\varphi }{{\mathrm {d} }x}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}}
- Сравнение слагаемых дает нам M (x , y) = ∂ φ ∂ x {\displaystyle M(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}} и N (x , y) = ∂ φ ∂ y . {\displaystyle N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}.} Это типичный результат для уравнений с несколькими переменными, при котором смешанные производные гладких функций равны друг другу. Иногда такой случай называют теоремой Клеро . В этом случае дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется следующее условие:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}}
- Метод решения уравнений в полных дифференциалах аналогичен нахождению потенциальных функций при наличии нескольких производных, на чем мы кратко остановимся. Сначала проинтегрируем M {\displaystyle M} по x . {\displaystyle x.} Поскольку M {\displaystyle M} является функцией и x {\displaystyle x} , и y , {\displaystyle y,} при интегрировании мы получим неполную функцию φ , {\displaystyle \varphi ,} обозначенную как φ ~ {\displaystyle {\tilde {\varphi }}} . В результат входит также зависящая от y {\displaystyle y} постоянная интегрирования.
  - φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) {\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y){\mathrm {d} }x={\tilde {\varphi }}(x,y)+c(y)}
- После этого для получения c (y) {\displaystyle c(y)} можно взять частную производную полученной функции по y , {\displaystyle y,} приравнять результат N (x , y) {\displaystyle N(x,y)} и проинтегрировать. Можно также сначала проинтегрировать N {\displaystyle N} , а затем взять частную производную по x {\displaystyle x} , что позволит найти произвольную функцию d (x) . {\displaystyle d(x).} Подходят оба метода, и обычно для интегрирования выбирается более простая функция.
  - N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y {\displaystyle N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}={\frac {\partial {\tilde {\varphi }}}{\partial y}}+{\frac {{\mathrm {d} }c}{{\mathrm {d} }y}}}
- Пример 1.5. Можно взять частные производные и убедиться в том, что приведенное ниже уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 {\displaystyle 3x^{2}+y^{2}+2xy{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0}
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\int (3x^{2}+y^{2}){\mathrm {d} }x=x^{3}+xy^{2}+c(y)\\{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=N(x,y)=2xy+{\frac {{\mathrm {d} }c}{{\mathrm {d} }y}}\end{aligned}}}
  - d c d y = 0 , c (y) = C {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }c}{{\mathrm {d} }y}}=0,\quad c(y)=C}
  - x 3 + x y 2 = C {\displaystyle x^{3}+xy^{2}=C}
- Если дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, в некоторых случаях можно найти интегрирующий множитель, который позволит преобразовать его в уравнение в полных дифференциалах. Однако подобные уравнения редко применяются на практике, и хотя интегрирующий множитель существует , найти его бывает непросто , поэтому эти уравнения не рассматриваются в данной статье.

Часть 2

Уравнения второго порядка

Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Эти уравнения широко используются на практике, поэтому их решение имеет первоочередное значение. В данном случае речь идет не об однородных функциях, а о том, что в правой части уравнения стоит 0. В следующем разделе будет показано, как решаются соответствующие неоднородные дифференциальные уравнения. Ниже a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} являются константами.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+a{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=0}
Характеристическое уравнение . Данное дифференциальное уравнение примечательно тем, что его можно очень легко решить, если обратить внимание на то, какими свойствами должны обладать его решения. Из уравнения видно, что y {\displaystyle y} и его производные пропорциональны друг другу. Из предыдущих примеров, которые были рассмотрены в разделе об уравнениях первого порядка, мы знаем, что таким свойством обладает лишь экспоненциальная функция. Следовательно, можно выдвинуть анзац (обоснованное предположение) о том, каким будет решение данного уравнения.
- Решение будет иметь вид экспоненциальной функции e r x , {\displaystyle e^{rx},} где r {\displaystyle r} - постоянная, значение которой следует найти. Подставим эту функцию в уравнение и получим следующее выражение
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 {\displaystyle e^{rx}(r^{2}+ar+b)=0}
- Это уравнение свидетельствует о том, что произведение экспоненциальной функции и полинома должно равняться нулю. Известно, что экспонента не может равняться нулю ни при каких значениях степени. Отсюда заключаем, что нулю равен полином. Таким образом, мы свели задачу решения дифференциального уравнения к намного более простой задаче решения алгебраического уравнения, которое называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения.
  - r 2 + a r + b = 0 {\displaystyle r^{2}+ar+b=0}
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 {\displaystyle r_{\pm }={\frac {-a\pm {\sqrt {a^{2}-4b}}}{2}}}
- Мы получили два корня. Поскольку данное дифференциальное уравнение является линейным, его общее решение представляет собой линейную комбинацию частных решений. Так как это уравнение второго порядка, мы знаем, что это действительно общее решение, и других не существует. Более строгое обоснование этого заключается в теоремах о существовании и единственности решения, которые можно найти в учебниках.
- Полезный способ проверить, являются ли два решения линейно независимыми, заключается в вычислении вронскиана . Вронскиан W {\displaystyle W} - это определитель матрицы, в колонках которой стоят функции и их последовательные производные. Теорема линейной алгебры гласит, что входящие в вронскиан функции линейно зависимы, если вронскиан равен нулю. В данном разделе мы можем проверить, являются ли два решения линейно независимыми - для этого необходимо убедиться, что вронскиан не равен нулю. Вронскиан важен при решении неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом вариации параметров.
  - W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | {\displaystyle W={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}"&y_{2}"\end{vmatrix}}}
- В терминах линейной алгебры множество всех решений данного дифференциального уравнения образует векторное пространство, размерность которого равна порядку дифференциального уравнения. В этом пространстве можно выбрать базис из линейно независимых друг от друга решений. Это возможно благодаря тому, что на функцию y (x) {\displaystyle y(x)} действует линейный оператор . Производная является линейным оператором, поскольку она преобразует пространство дифференцируемых функций в пространство всех функций. Уравнения называются однородными в тех случаях, когда для какого-либо линейного оператора L {\displaystyle L} требуется найти решение уравнения L [ y ] = 0. {\displaystyle L[y]=0.}
Перейдем теперь к рассмотрению нескольких конкретных примеров. Случай кратных корней характеристического уравнения рассмотрим чуть позже, в разделе о понижении порядка.
Если корни r ± {\displaystyle r_{\pm }} являются различными действительными числами, дифференциальное уравнение имеет следующее решение
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x {\displaystyle y(x)=c_{1}e^{r_{+}x}+c_{2}e^{r_{-}x}}
Два комплексных корня. Из основной теоремы алгебры следует, что решения решения полиномиальных уравнений с действительными коэффициентами имеют корни, которые вещественны или образуют сопряженные пары. Следовательно, если комплексное число r = α + i β {\displaystyle r=\alpha +i\beta } является корнем характеристического уравнения, тогда r ∗ = α − i β {\displaystyle r^{*}=\alpha -i\beta } также является корнем этого уравнения. Таким образом, можно записать решение в виде c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , {\displaystyle c_{1}e^{(\alpha +i\beta)x}+c_{2}e^{(\alpha -i\beta)x},} однако это комплексное число, и оно нежелательно при решении практических задач.
- Вместо этого можно использовать формулу Эйлера e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} , которая позволяет записать решение в виде тригонометрических функций:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) {\displaystyle e^{\alpha x}(c_{1}\cos \beta x+ic_{1}\sin \beta x+c_{2}\cos \beta x-ic_{2}\sin \beta x)}
- Теперь можно вместо постоянной c 1 + c 2 {\displaystyle c_{1}+c_{2}} записать c 1 {\displaystyle c_{1}} , а выражение i (c 1 − c 2) {\displaystyle i(c_{1}-c_{2})} заменить на c 2 . {\displaystyle c_{2}.} После этого получаем следующее решение:
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) {\displaystyle y(x)=e^{\alpha x}(c_{1}\cos \beta x+c_{2}\sin \beta x)}
- Есть и другой способ записать решение в виде амплитуды и фазы, который лучше подходит для физических задач.
- Пример 2.1. Найдем решение приведенного ниже дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Для этого необходимо взять полученное решение, а также его производную , и подставить их в начальные условия, что позволит определить произвольные постоянные.
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+3{\frac {{\mathrm {d} }x}{{\mathrm {d} }t}}+10x=0,\quad x(0)=1,\ x"(0)=-1}
  - r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i {\displaystyle r^{2}+3r+10=0,\quad r_{\pm }={\frac {-3\pm {\sqrt {9-40}}}{2}}=-{\frac {3}{2}}\pm {\frac {\sqrt {31}}{2}}i}
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) {\displaystyle x(t)=e^{-3t/2}\left(c_{1}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+c_{2}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)}
  - x (0) = 1 = c 1 {\displaystyle x(0)=1=c_{1}}
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) {\displaystyle {\begin{aligned}x"(t)&=-{\frac {3}{2}}e^{-3t/2}\left(c_{1}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+c_{2}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)\\&+e^{-3t/2}\left(-{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{1}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{2}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)\end{aligned}}}
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 {\displaystyle x"(0)=-1=-{\frac {3}{2}}c_{1}+{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{2},\quad c_{2}={\frac {1}{\sqrt {31}}}}
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) {\displaystyle x(t)=e^{-3t/2}\left(\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {1}{\sqrt {31}}}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)}
Решение дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами (запись Интуита – национального открытого университета).
Понижение порядка. Понижение порядка представляет собой метод решения дифференциальных уравнений в случае, когда известно одно линейно независимое решение. Данный метод заключается в понижении порядка уравнения на один, что позволяет решить уравнение методами, которые описаны в предыдущем разделе. Пусть известно решение . Основная идея понижения порядка заключается в поиске решения в представленном ниже виде, где необходимо определить функцию v (x) {\displaystyle v(x)} , подстановке его в дифференциальное уравнение и нахождении v (x) . {\displaystyle v(x).} Рассмотрим, как можно использовать понижение порядка для решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и кратными корнями.

Кратные корни однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Вспомним о том, что уравнение второго порядка должно иметь два линейно независимых решения. Если характеристическое уравнение имеет кратные корни, множество решений не образует пространство, поскольку эти решения линейно зависимы. В этом случае необходимо использовать понижение порядка, чтобы найти второе линейно независимое решение.
- Пусть характеристическое уравнение имеет кратные корни r {\displaystyle r} . Предположим, что второе решение можно записать в виде y (x) = e r x v (x) {\displaystyle y(x)=e^{rx}v(x)} , и подставим его в дифференциальное уравнение. При этом большинство членов, за исключением слагаемого со второй производной функции v , {\displaystyle v,} сократятся.
  - v ″ (x) e r x = 0 {\displaystyle v""(x)e^{rx}=0}
- Пример 2.2. Пусть дано приведенное ниже уравнение, которое имеет кратные корни r = − 4. {\displaystyle r=-4.} При подстановке сокращается большинство членов.
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+8{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+16y=0}
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x {\displaystyle {\begin{aligned}y&=v(x)e^{-4x}\\y"&=v"(x)e^{-4x}-4v(x)e^{-4x}\\y""&=v""(x)e^{-4x}-8v"(x)e^{-4x}+16v(x)e^{-4x}\end{aligned}}}
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}v""e^{-4x}&-{\cancel {8v"e^{-4x}}}+{\cancel {16ve^{-4x}}}\\&+{\cancel {8v"e^{-4x}}}-{\cancel {32ve^{-4x}}}+{\cancel {16ve^{-4x}}}=0\end{aligned}}}
- Подобно нашему анзацу для дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в данном случае нулю может быть равна лишь вторая производная. Интегрируем два раза и получаем искомое выражение для v {\displaystyle v} :
  - v (x) = c 1 + c 2 x {\displaystyle v(x)=c_{1}+c_{2}x}
- Тогда общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в том случае, если характеристическое уравнение имеет кратные корни, может быть записано в следующем виде. Для удобства можно запомнить, что для получения линейной независимости достаточно просто умножить второе слагаемое на x {\displaystyle x} . Этот набор решений является линейно независимым, и таким образом мы нашли все решения данного уравнения.
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x {\displaystyle y(x)=(c_{1}+c_{2}x)e^{rx}}
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+p(x){\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+q(x)y=0.} Понижение порядка применимо в том случае, если известно решение y 1 (x) {\displaystyle y_{1}(x)} , которое может быть найдено или дано в условии задачи.
- Мы ищем решение в виде y (x) = v (x) y 1 (x) {\displaystyle y(x)=v(x)y_{1}(x)} и подставляем его в данное уравнение:
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 {\displaystyle v""y_{1}+2v"y_{1}"+p(x)v"y_{1}+v(y_{1}""+p(x)y_{1}"+q(x))=0}
- Поскольку y 1 {\displaystyle y_{1}} является решением дифференциального уравнения, все члены с v {\displaystyle v} сокращаются. В итоге остается линейное уравнение первого порядка . Чтобы яснее увидеть это, произведем замену переменных w (x) = v ′ (x) {\displaystyle w(x)=v"(x)} :
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 {\displaystyle y_{1}w"+(2y_{1}"+p(x)y_{1})w=0}
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) {\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left({\frac {2y_{1}"(x)}{y_{1}(x)}}+p(x)\right){\mathrm {d} }x\right)}
  - v (x) = ∫ w (x) d x {\displaystyle v(x)=\int w(x){\mathrm {d} }x}
- Если интегралы могут быть вычислены, мы получаем общее решение в виде комбинации элементарных функций. В противном случае решение можно оставить в интегральном виде.
Уравнение Коши-Эйлера. Уравнение Коши-Эйлера является примером дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, которое имеет точные решения. Это уравнение применяется на практике, например для решения уравнения Лапласа в сферических координатах.
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+ax{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=0}
Характеристическое уравнение. Как видно, в данном дифференциальном уравнении каждый член содержит степенной множитель, степень которого равна порядку соответствующей производной.
- Таким образом, можно попробовать искать решение в виде y (x) = x n , {\displaystyle y(x)=x^{n},} где необходимо определить n {\displaystyle n} , подобно тому, как мы искали решение в виде экспоненциальной функции для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. После дифференцирования и подстановки получаем
  - x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 {\displaystyle x^{n}(n^{2}+(a-1)n+b)=0}
- Чтобы воспользоваться характеристическим уравнением, следует предположить, что x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} . Точка x = 0 {\displaystyle x=0} называется регулярной особой точкой дифференциального уравнения. Такие точки важны при решении дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Данное уравнение имеет два корня, которые могут быть различными и действительными, кратными или комплексно сопряженными.
  - n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 {\displaystyle n_{\pm }={\frac {1-a\pm {\sqrt {(a-1)^{2}-4b}}}{2}}}
Два различных действительных корня. Если корни n ± {\displaystyle n_{\pm }} действительны и различны, тогда решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − {\displaystyle y(x)=c_{1}x^{n_{+}}+c_{2}x^{n_{-}}}
Два комплексных корня. Если характеристическое уравнение имеет корни n ± = α ± β i {\displaystyle n_{\pm }=\alpha \pm \beta i} , решением является комплексная функция.
- Чтобы преобразовать решение в действительную функцию, произведем замену переменных x = e t , {\displaystyle x=e^{t},} то есть t = ln ⁡ x , {\displaystyle t=\ln x,} и используем формулу Эйлера. Подобные действия выполнялись ранее при определении произвольных постоянных.
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) {\displaystyle y(t)=e^{\alpha t}(c_{1}e^{\beta it}+c_{2}e^{-\beta it})}
- Тогда общее решение можно записать в виде
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) {\displaystyle y(x)=x^{\alpha }(c_{1}\cos(\beta \ln x)+c_{2}\sin(\beta \ln x))}
Кратные корни. Чтобы получить второе линейно независимое решение, необходимо вновь провести понижение порядка.
- Требуется довольно много вычислений, но принцип остается тем же: мы подставляем y = v (x) y 1 {\displaystyle y=v(x)y_{1}} в уравнение, первым решением которого является y 1 {\displaystyle y_{1}} . После сокращений получается следующее уравнение:
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 {\displaystyle v""+{\frac {1}{x}}v"=0}
- Это линейное уравнение первого порядка относительно v ′ (x) . {\displaystyle v"(x).} Его решением является v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . {\displaystyle v(x)=c_{1}+c_{2}\ln x.} Таким образом, решение можно записать в следующем виде. Это довольно просто запомнить - для получения второго линейно независимого решения просто требуется дополнительный член с ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} .
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) {\displaystyle y(x)=x^{n}(c_{1}+c_{2}\ln x)}
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные уравнения имеют вид L [ y (x) ] = f (x) , {\displaystyle L=f(x),} где f (x) {\displaystyle f(x)} - так называемый свободный член . Согласно теории дифференциальных уравнений, общее решение данного уравнения представляет собой суперпозицию частного решения y p (x) {\displaystyle y_{p}(x)} и дополнительного решения y c (x) . {\displaystyle y_{c}(x).} Однако в данном случае частное решение означает не решение, заданное начальными условиями, а скорее такое решение, которое обусловлено наличием неоднородности (свободным членом). Дополнительное решение - это решение соответствующего однородного уравнения, в котором f (x) = 0. {\displaystyle f(x)=0.} Общее решение представляет собой суперпозицию этих двух решений, поскольку L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) {\displaystyle L=L+L=f(x)} , а так как L [ y c ] = 0 , {\displaystyle L=0,} такая суперпозиция действительно является общим решением.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+a{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=f(x)}
Метод неопределенных коэффициентов. Метод неопределенных коэффициентов применяется в тех случаях, когда свободный член представляет собой комбинацию экспоненциальных, тригонометрических, гиперболических или степенных функций. Лишь эти функции гарантированно имеют конечное число линейно независимых производных. В данном разделе мы найдем частное решение уравнения.
- Сравним члены в f (x) {\displaystyle f(x)} с членами в не обращая внимание на постоянные множители. Возможны три случая.
  - Нет одинаковых членов. В этом случае частное решение y p {\displaystyle y_{p}} будет представлять собой линейную комбинацию членов из y p {\displaystyle y_{p}}
  - f (x) {\displaystyle f(x)} содержит член x n {\displaystyle x^{n}} и члена из y c , {\displaystyle y_{c},} где n {\displaystyle n} является нулем или положительным целым числом, причем этот член соответствует отдельному корню характеристического уравнения. В этом случае y p {\displaystyle y_{p}} будет состоять из комбинации функции x n + 1 h (x) , {\displaystyle x^{n+1}h(x),} ее линейно независимых производных, а также других членов f (x) {\displaystyle f(x)} и их линейно независимых производных.
  - f (x) {\displaystyle f(x)} содержит член h (x) , {\displaystyle h(x),} который представляет собой произведение x n {\displaystyle x^{n}} и члена из y c , {\displaystyle y_{c},} где n {\displaystyle n} равно 0 или положительному целому числу, причем этот член соответствует кратному корню характеристического уравнения. В этом случае y p {\displaystyle y_{p}} представляет собой линейную комбинацию функции x n + s h (x) {\displaystyle x^{n+s}h(x)} (где s {\displaystyle s} - кратность корня) и ее линейно независимых производных, а также других членов функции f (x) {\displaystyle f(x)} и ее линейно независимых производных.
- Запишем y p {\displaystyle y_{p}} в виде линейной комбинации перечисленных выше членов. Благодаря этим коэффициентам в линейной комбинации данный метод получил название "метода неопределенных коэффициентов". При появлении содержащихся в y c {\displaystyle y_{c}} членов их можно отбросить ввиду наличия произвольных постоянных в y c . {\displaystyle y_{c}.} После этого подставляем y p {\displaystyle y_{p}} в уравнение и приравниваем схожие члены.
- Определяем коэффициенты. На данном этапе получается система алгебраических уравнений, которую обычно можно решить без особых проблем. Решение этой системы позволяет получить y p {\displaystyle y_{p}} и тем самым решить уравнение.
- Пример 2.3. Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение, свободный член которого содержит конечное число линейно независимых производных. Частное решение такого уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов.
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+6y=2e^{3t}-\cos 5t}
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t {\displaystyle y_{c}(t)=c_{1}\cos {\sqrt {6}}t+c_{2}\sin {\sqrt {6}}t}
  - y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t {\displaystyle y_{p}(t)=Ae^{3t}+B\cos 5t+C\sin 5t}
  - 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t {\displaystyle {\begin{aligned}9Ae^{3t}-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^{3t}\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^{3t}-\cos 5t\end{aligned}}}
  - { 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 {\displaystyle {\begin{cases}9A+6A=2,&A={\dfrac {2}{15}}\\-25B+6B=-1,&B={\dfrac {1}{19}}\\-25C+6C=0,&C=0\end{cases}}}
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t {\displaystyle y(t)=c_{1}\cos {\sqrt {6}}t+c_{2}\sin {\sqrt {6}}t+{\frac {2}{15}}e^{3t}+{\frac {1}{19}}\cos 5t}
Метод Лагранжа. Метод Лагранжа, или метод вариации произвольных постоянных, представляет собой более общий метод решения неоднородных дифференциальных уравнений, особенно в тех случаях, когда свободный член не содержит конечное число линейно независимых производных. Например, при свободных членах tan ⁡ x {\displaystyle \tan x} или x − n {\displaystyle x^{-n}} для нахождения частного решения необходимо использовать метод Лагранжа. Метод Лагранжа можно даже использовать для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, хотя в этом случае, за исключением уравнения Коши-Эйлера, он применяется реже, поскольку дополнительное решение обычно не выражается через элементарные функции.
- Предположим, что решение имеет следующий вид. Его производная приведена во второй строке.
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) {\displaystyle y(x)=v_{1}(x)y_{1}(x)+v_{2}(x)y_{2}(x)}
  - y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ {\displaystyle y"=v_{1}"y_{1}+v_{1}y_{1}"+v_{2}"y_{2}+v_{2}y_{2}"}
- Поскольку предполагаемое решение содержит две неизвестных величины, необходимо наложить дополнительное условие. Выберем это дополнительное условие в следующем виде:
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 {\displaystyle v_{1}"y_{1}+v_{2}"y_{2}=0}
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ {\displaystyle y"=v_{1}y_{1}"+v_{2}y_{2}"}
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ {\displaystyle y""=v_{1}"y_{1}"+v_{1}y_{1}""+v_{2}"y_{2}"+v_{2}y_{2}""}
- Теперь мы можем получить второе уравнение. После подстановки и перераспределения членов можно сгруппировать вместе члены с v 1 {\displaystyle v_{1}} и члены с v 2 {\displaystyle v_{2}} . Эти члены сокращаются, поскольку y 1 {\displaystyle y_{1}} и y 2 {\displaystyle y_{2}} являются решениями соответствующего однородного уравнения. В результате получаем следующую систему уравнений
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) {\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}"y_{1}+v_{2}"y_{2}&=0\\v_{1}"y_{1}"+v_{2}"y_{2}"&=f(x)\\\end{aligned}}}
- Эту систему можно преобразовать в матричное уравнение вида A x = b , {\displaystyle A{\mathbf {x} }={\mathbf {b} },} решением которого является x = A − 1 b . {\displaystyle {\mathbf {x} }=A^{-1}{\mathbf {b} }.} Для матрицы 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} обратная матрица находится путем деления на определитель, перестановки диагональных элементов и изменением знака недиагональных элементов. Фактически, определитель данной матрицы является вронскианом.
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) {\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}"\\v_{2}"\end{pmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{pmatrix}y_{2}"&-y_{2}\\-y_{1}"&y_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f(x)\end{pmatrix}}}
- Выражения для v 1 {\displaystyle v_{1}} и v 2 {\displaystyle v_{2}} приведены ниже. Как и в методе понижения порядка, в данном случае при интегрировании появляется произвольная постоянная, которая включает дополнительное решение в общее решение дифференциального уравнения.
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x {\displaystyle v_{1}(x)=-\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{2}(x){\mathrm {d} }x}
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x {\displaystyle v_{2}(x)=\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{1}(x){\mathrm {d} }x}
Лекция национального открытого университета Интуит под названием "Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами".

Практическое применение

Дифференциальные уравнения устанавливают связь между функцией и одной или несколькими ее производными. Поскольку подобные связи чрезвычайно распространены, дифференциальные уравнения нашли широкое применение в самых разных сферах, а так как мы живем в четырех измерениях, эти уравнения часто представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. В данном разделе рассмотрены некоторые из наиболее важных уравнений этого типа.

Экспоненциальный рост и распад. Радиоактивный распад. Составные проценты. Скорость химических реакций. Концентрация лекарств в крови. Неограниченный рост популяции. Закон Ньютона-Рихмана. В реальном мире существует множество систем, в которых скорость роста или распада в любой момент времени пропорциональна количеству в данный момент времени или может быть хорошо аппроксимирована моделью. Это объясняется тем, что решение данного дифференциального уравнения, экспоненциальная функция, является одной из наиболее важных функций в математике и других науках. В более общем случае при контролируемом росте популяции система может включать дополнительные члены, которые ограничивают рост. В приведенном ниже уравнении постоянная k {\displaystyle k} может быть как больше, так и меньше нуля.
- d y d x = k x {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=kx}
Гармонические колебания. И в классической, и в квантовой механике гармонический осциллятор является одной из наиболее важных физических систем благодаря своей простоте и широкому применению для аппроксимации более сложных систем, таких как простой маятник. В классической механике гармонические колебания описываются уравнением, которое связывает положение материальной точки с ее ускорением посредством закона Гука. При этом можно учитывать также демпфирующие и движущие силы. В приведенном ниже выражении x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} - производная по времени от x , {\displaystyle x,} β {\displaystyle \beta } - параметр, который описывает демпфирующую силу, ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} - угловая частота системы, F (t) {\displaystyle F(t)} - зависящая от времени движущая сила. Гармонический осциллятор присутствует также в электромагнитных колебательных контурах, где его можно реализовать с большей точностью, чем в механических системах.
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) {\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=F(t)}
Уравнение Бесселя. Дифференциальное уравнение Бесселя используется во многих областях физики, в том числе для решения волнового уравнения, уравнения Лапласа и уравнения Шредингера, особенно при наличии цилиндрической или сферической симметрии. Это дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами не является уравнением Коши-Эйлера, поэтому его решения не могут быть записаны в виде элементарных функций. Решениями уравнения Бесселя являются функции Бесселя, которые хорошо изучены благодаря тому, что применяются во многих областях. В выражении ниже α {\displaystyle \alpha } - константа, которая соответствует порядку функции Бесселя.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+x{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}
Уравнения Максвелла. Наряду с силой Лоренца уравнения Максвелла составляют основу классической электродинамики. Это четыре дифференциальных уравнения в частных производных для электрического E (r , t) {\displaystyle {\mathbf {E} }({\mathbf {r} },t)} и магнитного B (r , t) {\displaystyle {\mathbf {B} }({\mathbf {r} },t)} поля. В приведенных ниже выражениях ρ = ρ (r , t) {\displaystyle \rho =\rho ({\mathbf {r} },t)} - плотность заряда, J = J (r , t) {\displaystyle {\mathbf {J} }={\mathbf {J} }({\mathbf {r} },t)} - плотность тока, а ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} и μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} - соответственно электрическая и магнитная постоянные.
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\mathbf {E} }&={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \cdot {\mathbf {B} }&=0\\\nabla \times {\mathbf {E} }&=-{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\\\nabla \times {\mathbf {B} }&=\mu _{0}{\mathbf {J} }+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial t}}\end{aligned}}}
Уравнение Шредингера. В квантовой механике уравнение Шредингера является основным уравнением движения, которое описывает перемещение частиц в соответствии с изменением волновой функции Ψ = Ψ (r , t) {\displaystyle \Psi =\Psi ({\mathbf {r} },t)} со временем. Уравнение движения описывается поведением гамильтониана H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} - оператора , который описывает энергию системы. Одним из широко известных примеров уравнения Шредингера в физике является уравнение для одной нерелятивистской частицы, на которую действует потенциал V (r , t) {\displaystyle V({\mathbf {r} },t)} . Многие системы описываются зависящим от времени уравнением Шредингера, при этом в левой части уравнения стоит E Ψ , {\displaystyle E\Psi ,} где E {\displaystyle E} - энергия частицы. В выражениях ниже ℏ {\displaystyle \hbar } - приведенная постоянная Планка.
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi }
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\mathbf {r} },t)\right)\Psi }
Волновое уравнение. Без волн нельзя представить физику и технику, они присутствуют во всех типах систем. В общем случае волны описываются приведенным ниже уравнением, в котором u = u (r , t) {\displaystyle u=u({\mathbf {r} },t)} является искомой функцией, а c {\displaystyle c} - экспериментально определяемая постоянная. Даламбер был первым, кто обнаружил, что для одномерного случая решением волнового уравнения является любая функция с аргументом x − c t {\displaystyle x-ct} , которая описывает волну произвольной формы, распространяющуюся вправо. Общее решение для одномерного случая представляет собой линейную комбинацию этой функции со второй функцией с аргументом x + c t {\displaystyle x+ct} , которая описывает волну, распространяющуюся влево. Это решение представлено во второй строке.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u}
- u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) {\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}
Уравнения Навье-Стокса. Уравнения Навье-Стокса описывают движение жидкостей. Поскольку жидкости присутствуют практически в каждой области науки и техники, эти уравнения чрезвычайно важны для предсказания погоды, конструирования самолетов, изучения океанских течений и решения множества других прикладных задач. Уравнения Навье-Стокса являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, и в большинстве случаев решить их очень сложно, поскольку нелинейность приводит к турбулентности, и для получения устойчивого решения численными методами необходимо разбиение на очень мелкие ячейки, что требует значительных вычислительных мощностей. Для практических целей в гидродинамике для моделирования турбулентных потоков используют такие методы, как усреднение по времени. Сложными задачами являются даже более основные вопросы, такие как существование и единственность решений для нелинейных уравнений в частных производных, а доказательство существования и единственности решения для уравнений Навье-Стокса в трех измерениях входит в число математических задач тысячелетия. Ниже приведены уравнение потока несжимаемой жидкости и уравнение непрерывности.
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial t}}+({\mathbf {u} }\cdot \nabla){\mathbf {u} }-\nu \nabla ^{2}{\mathbf {u} }=-\nabla h,\quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\mathbf {u} })=0}

Многие дифференциальные уравнения просто невозможно решить приведенными выше методами, особенно упомянутые в последнем разделе. Это касается тех случаев, когда уравнение содержит переменные коэффициенты и не является уравнением Коши-Эйлера, или когда уравнение является нелинейным, за исключением нескольких очень редких случаев. Тем не менее, приведенные выше методы позволяют решить многие важные дифференциальные уравнения, которые часто встречаются в различных областях науки.
В отличие от дифференцирования, которое позволяет найти производную любой функции, интеграл многих выражений нельзя выразить в элементарных функциях. Поэтому не тратьте время в попытках вычислить интеграл там, где это невозможно. Загляните в таблицу интегралов. Если решение дифференциального уравнения нельзя выразить через элементарные функции, иногда его можно представить в интегральной форме, и в данном случае неважно, можно ли вычислить данный интеграл аналитически.

Предупреждения

Внешний вид дифференциального уравнения может оказаться обманчивым. Например, ниже приведены два дифференциальных уравнения первого порядка. Первое уравнение легко решается с помощью описанных в данной статье методов. На первый взгляд незначительная замена y {\displaystyle y} на y 2 {\displaystyle y^{2}} во втором уравнении делает его нелинейным, и его становится очень сложно решить.
- d y d x = x 2 + y {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=x^{2}+y}
- d y d x = x 2 + y 2 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=x^{2}+y^{2}}

Порядок дифференциального уравнения определяется. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Условие Липшица

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Условие Липшица

Свойства общего решения.

Предварительные сведения

Шаги

Практическое применение

Предупреждения

Интересные статьи

Интересные статьи