Основное свойство алгебраической дроби: формулировка, доказательство, примеры применения. Основное свойство обыкновенной дроби. Сокращение сложных обыкновенных дробей

17.02.2019

На данном уроке будет рассмотрено основное свойство алгебраической дроби. Умение правильно и без ошибок применять это свойство является одним из важнейших базовых умений во всем курсе школьной математики и будет встречаться не только на протяжении изучения данной темы, но и практически во всех изучаемых в дальнейшем разделах математики. Ранее уже было изучено сокращение обыкновенных дробей, а на данном уроке будет рассмотрено сокращение рациональных дробей. Несмотря на довольно большое внешнее отличие, существующее между рациональными и обыкновенными дробями, у них очень много общего, а именно - и обыкновенным, и рациональным дробям присущи одинаковое основное свойство и общие правила выполнения арифметических действий. В рамках урока мы столкнемся с понятиями: сокращение дроби, умножение и деление числителя и знаменателя на одно и то же выражение - и рассмотрим примеры.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок:

1. Основное свойство обыкновенной дроби

Вспомним основное свойство обыкновенной дроби : значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Напомним, что деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля число называется сокращением .

Например: , при этом значение дробей не изменяется. Однако зачастую при применении данного свойства многие допускают стандартные ошибки:

1. - в приведенном примере допущена ошибка деления только одного слагаемого из числителя на 2, а не всего числителя. Правильная последовательность действий выглядит таким образом: или .

2. - здесь мы видим похожую ошибку, однако, кроме этого еще в результате деления получен 0, а не 1, что является еще более частой и грубой ошибкой.

Теперь необходимо перейти к рассмотрению алгебраической дроби . Вспомним это понятие из предыдущего урока.

Определение. Рациональная (алгебраическая) дробь - дробное выражение вида , где - многочлены. - числитель, - знаменатель.

Алгебраические дроби являются, в некотором смысле, обобщением обыкновенных дробей, и над ними можно проводить те же операции, что и над обыкновенными дробями.

2. Основное свойство алгебраической дроби

Основное свойство алгебраической дроби - и числитель, и знаменатель дроби можно умножать и делить на один и тот же многочлен (одночлен) или число, отличное от нуля. Это будет тождественное преобразование алгебраической дроби. Вспомним, что, как и ранее, деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля выражение называется сокращением .

Основное свойство алгебраической дроби позволяет сокращать дроби и приводить их к наименьшему общему знаменателю.

3. Примеры сокращения обыкновенных дробей

Для сокращения обыкновенных дробей мы прибегали к основной теореме арифметики , разлагали и числитель, и знаменатель на простые множители.

Определение. Простое число - натуральное число, которое делится только на единицу и само себя. Все остальные натуральные числа называются составными. 1 не является ни простым, ни составным числом.

Пример 1. а), где множители, на которые разложены числители и знаменатели указанных дробей, являются простыми числами.

4. Примеры сокращения алгебраических дробей

Следовательно, для сокращения дробей необходимо предварительно разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общие множители. Т. е. следует владеть методами разложения многочленов на множители.

Пример 2. Сократить дробь а), б) , в) .

Решение. а) . Необходимо заметить, что в числителе находится полный квадрат, а в знаменателе - разность квадратов. После сокращения необходимо указать, что , во избежание деления на ноль.

б) . В знаменателе выносится общий числовой множитель, что полезно делать практически в любом случае, когда это возможно. Аналогично с предыдущим примером указываем, что .

в) . В знаменателе выносим за скобки минус (или, формально, ). Не забываем, что при сокращении .

Ответ. ;; .

Теперь приведём пример на приведение к общему знаменателю, делается это аналогично с обыкновенными дробями.

5. Приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю

Пример 3. Привести к общему знаменателю дроби и .

Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК ) двух знаменателей, т. е. НОК(3;5). Иными словами, найти наименьшее число, которое делится на 3 и на 5 одновременно. Очевидно, что это число 15, записать это можно таким образом: НОК(3;5)=15 - это и будет общий знаменатель указанных дробей.

Чтобы преобразовать знаменатель 3 в 15, его необходимо умножить на 5, а для преобразования 5 в 15, его необходимо умножить на 3. По основному свойству алгебраической дроби следует умножить на те же числа и соответствующие числители указанных дробей.

Пример 4. Привести к общему знаменателю дроби и .

Решение. Проведем аналогичные предыдущему примеру действия. Наименьшее общее кратное знаменателей НОК(12;18)=36. Приведем к этому знаменателю обе дроби:

6. Сокращение сложных обыкновенных дробей

Теперь рассмотрим примеры, демонстрирующие применение техники сокращения дробей для их упрощения в более сложных случаях.

Пример 5. Вычислить значение дроби: а) , б) , в) .

а) . При сокращении пользуемся правилом деления степеней .

7. Сокращение сложных алгебраических дробей

После того, как мы повторили использование основного свойства обыкновенной дроби , можно перейти к рассмотрению алгебраических дробей.

Пример 6. Упростить дробь и вычислить при заданных значениях переменных: а) ; , б) ;

Решение. При подходе к решению возможен следующий вариант - сразу же подставить значения переменных и начать расчет дроби, но в таком случае решение сильно усложняется, и необходимое на его решение время увеличивается, не говоря уже об опасности ошибиться в сложных вычислениях. Поэтому удобно сначала упростить выражение в буквенном виде, а затем уже подставить значения переменных.

а) . При сокращении на множитель необходимо проверить, не обращается ли он в ноль в указанных значениях переменных. При подстановке получаем , что дает возможность сокращения на данный множитель.

б) . В знаменателе выносим минус, как мы это уже делали в примере 2. При сокращении на снова проверяем, не делим ли мы на ноль: .

8. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Пример 7. Привести к общему знаменателю дроби а) и , б) и , в) и .

Решение. а) В данном случае подойдем к решению следующим образом: не будем пользоваться понятием НОК, как во втором примере, а просто умножим знаменатель первой дроби на знаменатель второй, и наоборот - это позволит привести дроби к одинаковому знаменателю. Конечно же, не забываем при этом умножать и числители дробей на такие же выражения.

Фактически про деление числителя и знаменателя на число можно не говорить – этот случай покрывается равенством вида . Например, равенство можно обосновать через деление с использованием равенства как , но его же можно обосновать и на основании равенства как . Поэтому дальше мы будем ассоциировать основное свойство дроби с равенством (и ), и не будем останавливаться на равенстве (и ).

Теперь покажем, что основное свойство дроби распространяется и на дроби, числителем и знаменателем которых являются . Для этого докажем, что записанное равенство справедливо не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел. Иными словами, докажем, что равенство справедливо для любых действительных чисел a , b и m , причем b и m – отличны от нуля (иначе мы столкнемся с делением на нуль).

Пусть дробь a/b является записью числа z , то есть, . Докажем, что дробь также отвечает числу z , то есть, докажем, что . Это будет доказывать равенство .

Стоит отметить, что если алгебраическая дробь имеет дробные коэффициенты, то умножение ее числителя и знаменателя не некоторое число позволяет перейти к целым коэффициентам, и тем самым упростить ее вид. К примеру, . А на умножении числителя и знаменателя на минус единицу основаны правила изменения знаков у членов алгебраической дроби .

Вторая важнейшая сфера применения основного свойства дроби – это сокращение алгебраических дробей . Сокращение в общем случае проводится в два этапа: сначала числитель и знаменатель раскладываются на множители, что позволяет отыскать общий множитель m , а дальше на базе равенства осуществляется переход к дроби вида a/b без этого общего множителя. Например, алгебраическая дробь после разложения числителя и знаменателя на множители принимает вид , откуда виден общий множитель 4·x 2 −y , на который основное свойство дроби позволяет провести сокращение: .

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.