Определение значения истинности высказываний. Построение составных высказываний. Логика высказываний: теория и применение. Примеры решений задач
Значение истинности
Эта статья или раздел - грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть сгенерирован программой-переводчиком или сделан человеком со слабыми познаниями в языке оригинала.
¬(Шаблон:Mvar∧Шаблон:Mvar) ⇔ ¬Шаблон:Mvar ∨ ¬Шаблон:Mvar
¬(Шаблон:Mvar∨Шаблон:Mvar) ⇔ ¬Шаблон:Mvar ∧ ¬Шаблон:Mvar
Многозначная логикаМногозначная логика (например, нечеткая логика позволяет более двух значений истинности, возможно, содержащих некоторые внутренние структуры. Алгебраическая семантикаНе все логические системы истинно-ценностные в том смысле, что логические связки могут быть интерпретированы как истина функций. Например, в интуиционистской логике отсутствует полный набор значений истинности, потому что его семантика, определяется в терминах доказуемости условия, а не непосредственно в терминах обязательной верности формул. В других теорияхИнтуиционистской теории типов использует типы вместо значений истинности. Топос теории использует значения истинности в особом смысле: истина значения топос является глобальным элементом х подобъектом классификатором. Имея значения истинности в этом смысле не имеет ценностной логики истины. См. такжеСсылкиWikimedia Foundation . 2010 . Смотреть что такое "Значение истинности" в других словарях:Содержание, обозначенное тем или иным языковым выражением словом, предложением, знаком и т.п. Вопрос о З. языковых выражений исследуется лингвистикой, семиотикой и логической семантикой. Различают предметное, смысловое и экспрессивное З. языковых … Философская энциклопедия Значение истинности (в логике), значение, которое принимает Высказывание (предложение, суждение), рассматриваемое по отношению к отображаемому в нём содержанию. В обычной (классической) логике используются два И. з. «истинно», «ложно»; в… … Большая советская энциклопедия Таблица истинности это таблица, описывающая логическую функцию. Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность.… … Википедия Таблица, с помощью которой устанавливается истинностное значение сложного высказывания при данных значениях входящих в него простых высказываний. В классической математической логике предполагается, что каждое простое (не содержащее логических… … Словарь терминов логики Денотат (от лат. denotatum обозначенное), термин лингвистики и экстенсиональной логики, обозначающий 1) экстенсионал, 2) десигнат, 3) референт и 4) семантическое ядро значения. Содержание 1 Денотат как экстенсионал 2 Денотат как десигнат … Википедия Одна из возможных характеристик высказывания с точки зрения соответствия его описываемому фрагменту действительности. Если допускается, что каждое высказывание является либо истинным, либо ложным (т. е. что онолибо соответствует действительности … Словарь терминов логики Совокупность логических систем, опирающихся на многозначности принцип. В классической двузначной логике выражения при интерпретации принимают только два значения «истинно» и «ложно», в М.л. рассматриваются и др. значения, напр. «неопределенно»,… … Философская энциклопедия - (от лат. factum сделанное, совершившееся) 1) синоним понятий «истина», «событие», «результат»; нечто реальное в противоположность вымышленному; конкретное, единичное в отличие от абстрактного и общего; 2) в философии науки особого рода п … Философская энциклопедия - (в л о г и к е) – истинность предложения (суждения, высказывания), обусловленная, в отличие от т.н. логич. истинности, содержанием этого предложения. Иначе говоря, предложение является фактически истинным, когда его истинность зависит от значений … Философская энциклопедия Стереометрическая семантика - трактовка логики как науки о получении истинных следствий из истинных посылок все более уступает место более широкой концепции,связанной либо с обобщением понятия следования, основанного на традиционной истинностной оценке и на практических… … Проективный философский словарь Книги
|
Логика, созданная как наука Аристотелем (384-322 г. до н.э.), на протяжении столетий использовалась для развития многих областей знания, включая теологию, философию, математику.
Она - тот фундамент, на котором построено все здание математики. По сути, логика — это наука о рассуждениях, которая позволяет определить истинность или ложность того или иного математического утверждения, исходя из совокупности первичных предположений, называемых аксиомами. Логика применяется также в информатике для построения компьютерных программ и доказательства их корректности. Понятия, методы и средства логики лежат в основе современных информационных технологий. Одна из основных целей этой работы — изложить основы математической логики, показать, как она используется в информатике, и разработать методы анализа и доказательства математических утверждений.
Логические представления - описание исследуемой сис-темы, процесса, явления в виде совокупности сложных высказываний, составленных из простых (элементарных) высказываний и логических связок между ними. Логические представления и их составляющие характеризуются опре-деленными свойствами и набором допустимых преобразо-ваний над ними (операций, правил вывода и т.п.), реализую-щих разработанные в формальной (математической) логике правильные методы рассуждений — законы логики .
Понятие высказывания
Высказывание — это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Иными словами, утверждение об истинности или ложности высказывания должно иметь смысл. Истинность или ложность, приписываемые некоторому утверждению, называются его значением истинности , или истинностным значением.
Например, высказывания Дважды два четыре и Город Челябинск находится в азиатской части России истинные, а высказывания Три больше пяти и Река Дон в настоящее время впадает в Каспийское море ложны, так как не соответствуют действительности. Истинные высказывания принято обозначать T (true ) или И (истина ), а ложные, соответственно, F (false ) или Л (ложь ). В информатике истинность принято обозначать 1 (двоичная единица), а ложность - 0 (двоичный ноль).
Вот примеры предложений, не являющихся высказываниями:
Кто вы? (вопрос),
Прочтите эту главу до следующего занятия (приказ или восклицание),
Это утверждение ложно (внутренне противоречивое утверждение),
Площадь отрезка меньше длины куба (нельзя сказать истинно это предложение или ложно, т.к. не имеет смысла).
Мы будем обозначать высказывания буквами латинского алфавита р , q , r , Например, р может обозначать утверждение Завтра будет дождь , а q — утверждение Квадрат целого числа есть число положительное .
Логические связки
В обыденной речи для образования сложного предложения из простых используются связки — особые части речи, соединяющие отдельные предложения. Наиболее часто употребляются связки и , или , не , если ... то , только если , и тогда и только тогда . В отличие от обыденной речи, в логике смысл таких связок должен быть определен однозначно. Истинность сложного высказывания однозначно определяется истинностью или ложностью составляющих его частей. Высказывание, не содержащее связок, называется простым . Высказывание, содержащее связки, называется сложным . Логические связки также называют логическими операциями над высказываниями.
Пусть р и q обозначают высказывания
р: Джейн водит автомобиль,
q: У Боба русые волосы.
Сложное высказывание
Джейн водит автомобиль и у Боба русые волосы состоит из двух частей, объединенных связкой и . Это высказывание может быть символически записано в виде
где символ обозначает слово и на языке символических выражений. Выражение называется конъюнкцией высказываний р и q .
Встречаются также следующие варианты записи конъюнкции:
Точно так же высказывание
Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы.
символически выражается как
где обозначает слово или в переводе на символический язык. Выражение называется дизъюнкцией высказываний р и q .
Опровержение, или отрицание высказывания p обозначается через
Таким образом, если р есть высказывание Джейн водит автомобиль , то - это утверждение Джейн не водит автомобиль .
Если r есть высказывание Джо нравится информатика , то Джейн не водит автомобиль и у Боба русые волосы или Джо любит информатику символически запишется как
.
И наоборот, выражение
это символическая форма записи высказывания Джейн водит автомобиль, у Боба волосы не русые и Джо нравится информатика .
Рассмотрим выражение . Если некто говорит: "Джейн водит автомобиль и у Боба русые волосы" , то мы, естественно, представляем себе Джейн за рулем автомобиля и русоволосого Боба. В любой другой ситуации (например, если Боб не русоволос или Джейн не водит автомобиль) мы скажем, что говорящий не прав.
Возможны четыре случая, которые нам необходимо рассмотреть. Высказывание р может быть истинным (Т ) или ложным (F ) и независимо от того, какое истинностное значение принимает р , высказывание q может также быть истинным (Т ) или ложным (F ). Таблица истинности перечисляет все возможные комбинации истинности и ложности сложных высказываний.
Итак, конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания p и q , то есть в случае 1.
Точно так же рассмотрим высказывание Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы , которое символически выражается как . Если некто скажет: "Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы", то он будет не прав только тогда, когда Джейн не сможет управлять автомобилем, а Боб не будет русоволосым. Для того чтобы все высказывание было истинным, достаточно, чтобы одна из двух составляющих его компонент была истинной. Поэтому имеет таблицу истинности
Дизъюнкция ложна только в случае 4, когда оба р и q ложны.
Таблица истинности для отрицания имеет вид
Истинностное значение всегда противоположно истинностному значению р. В таблицах истинности отрицание всегда оценивается первым, если только за знаком отрицания не следует высказывание, заключенное в скобки. Поэтому интерпретируется как , так что отрицание применяется только к р . Если мы хотим отрицать все высказывание, то это записывается как .
Символы и называют бинарными связками, так как они связывают два высказывания. Символ ~ является унарной связкой, так как применяется только к одному высказыванию.
Еще одна бинарная связка - это исключающее или, которое обозначается через . Высказывание истинно, когда истинно p или q , но не оба одновременно. Эта связка имеет таблицу истинности
Используя слово или , мы можем иметь в виду исключающее или . Например, когда мы говорим, что р — либо истина, либо ложь, то, естественно, предполагаем, что это не выполняется одновременно. В логике исключающее или используется довольно редко, и в дальнейшем мы, как правило, будем обходиться без него.
Рассмотрим высказывание
,
где скобки использованы, чтобы показать, какие именно высказывания являются компонентами каждой связки.
Таблица истинности дает возможность однозначно указать те ситуации, когда высказывание является истинным; при этом мы должны быть уверены, что учтены все случаи. Поскольку сложное высказывание содержит три основных высказывания р
, q
и r
, то возможны восемь случаев
| Случай | p | q | r | |
||
| T | T | T | F | F | T | |
| T | T | F | F | F | T | |
| T | F | T | T | T | T | |
| T | F | F | T | F | T | |
| F | T | T | F | F | F | |
| F | T | F | F | F | F | |
| F | F | T | T | T | T | |
| F | F | F | T | F | F |
При нахождении значений истинности для столбца мы используем столбцы для и r , а также таблицу истинности для . Таблица истинности для показывает, что высказывание истинно лишь в том случае, когда истинны оба высказывания и r . Это имеет место лишь в случаях 3 и 7.
Заметим, что при определении значений истинности для столбца 
играет роль только истинность высказываний p
и . Таблица истинности для показывает, что единственный случай, когда высказывание, образованное с помощью связки или
, ложно, — это случай, когда ложны обе части этого высказывания. Такая ситуация имеет место только в случаях 5, 6 и 8.
Другой, эквивалентный способ построения таблицы истинности состоит в том, чтобы записывать истинностные значения выражения под связкой. Снова рассмотрим выражение. Сначала мы записываем истинностные значения под переменными р
, q
и r
. Единицы под столбцами истинностных значений указывают на то, что этим столбцам истинностные значения присваиваются в первую очередь. В общем случае число под столбцом будет показывать номер шага, на котором производятся вычисления соответствующих истинностных значений. Затем мы записываем под символом ~ истинностные значения высказывания . Далее записываем истинностные значения под символом . Наконец, записываем значения высказывания под символом .
| Случай | p | q | r | p | ((~ | q ) | r | ||
| T | T | T | T | T | F | T | F | T | |
| T | T | F | T | T | F | T | F | F | |
| T | F | T | T | T | T | F | T | T | |
| T | F | F | T | T | F | F | F | F | |
| F | T | T | F | F | F | T | F | T | |
| F | T | F | F | F | F | T | F | F | |
| F | F | T | F | T | T | F | T | T | |
| F | F | F | F | F | F | F | F | F | |
1.1.3. Условные высказывания
Допустим, некто утверждает, что если случится одно событие, то случится и другое. Предположим, отец говорит сыну: "Если в этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично», я куплю тебе машину ". Заметьте, что высказывание имеет вид: если р, то q , где р — высказывание В этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично» , а q — высказывание Я куплю тебе машину . Сложное высказывание мы обозначим символически через . Спрашивается, при каких условиях отец говорит правду? Предположим, высказывания р и q истинны. В этом случае счастливый студент получает отличные оценки по всем предметам, и приятно удивленный отец покупает ему машину. Естественно, ни у кого не вызывает сомнения тот факт, что высказывание отца было истинным. Однако существуют еще три других случая, которые необходимо рассмотреть. Допустим, студент действительно добился отличных результатов, а отец не купил ему машину.
Самое мягкое, что можно сказать об отце в таком случае, — это то, что он солгал. Следовательно, если р истинно, а q ложно, то ложно. Допустим теперь, что студент не получил положительные оценки, но отец тем не менее купил ему машину. В этом случае отец предстает очень щедрым, но его никак нельзя назвать лжецом. Следовательно, если р ложно и q истинно, то высказывание если р, то q (т.е. ) истинно. Наконец, предположим, что студент не добился отличных результатов, и отец не купил ему машину.
Поскольку студент не выполнил свою часть соглашения, отец тоже свободен от обязательств. Таким образом, если р и q ложны, то считается истинным. Итак, единственный случай, когда отец солгал, — это когда он дал обещание и не выполнил его.
Таким образом, таблица истинности для высказывания имеет вид
Символ называется импликацией , или условной связкой .
Может показаться, что носит характер причинно-следственной связи, но это не является необходимым. Чтобы увидеть отсутствие причины и следствия в импликации, вернемся к примеру, в котором р есть высказывание Джейн управляет автомобилем , а q — утверждение У Боба русые волосы . Тогда высказывание Если Джейн управляет автомобилем, то у Боба русые волосы запишется как
если p , то q или как .
То, что Джейн управляет автомобилем, никак причинно не связано с тем, что Боб русоволосый. Однако нужно помнить, что истинность или ложность бинарного сложного высказывания зависит только от истинности составляющих его частей и не зависит от наличия или отсутствия между ними какой-либо связи.
Рассмотрим следующий пример. Требуется найти таблицу истинности для выражения
.
Используя таблицу истинности для , приведенную выше, построим сначала таблицы истинности для и , учитывая, что импликация ложна только в случае, когда .
Теперь используем таблицу для , чтобы получить для высказывания
таблицу истинности
| Случай | p | q | r | (p | q ) | (q | r ) | |||
| T | T | T | T | T | T | T | T | T | T | |
| T | T | F | T | T | T | F | T | F | F | |
| T | F | T | T | F | F | F | F | T | T | |
| T | F | F | T | F | F | F | F | T | F | |
| F | T | T | F | T | T | T | T | T | T | |
| F | T | F | F | T | T | F | T | T | F | |
| F | F | T | F | T | F | T | F | F | T | |
| F | F | F | F | T | F | T | F | T | F | |
| * |
Высказывание вида обозначается через . Символ называется эквиваленцией . Эквиваленция также иногда обозначается как (не следует путать с унарной операцией отрицания).
Ложное и истинное высказывание часто употребляется в языковой практике. Первая оценка воспринимается как отрицание истинности (неистинности). В реальности используют и иные виды оценки: неопределенность, недоказуемость (доказуемость), неразрешимость. Рассуждая над тем, для какого числа x истинно высказывание, необходимо рассмотреть законы логики.
Возникновение «многозначной логики» привело к использованию неограниченного числа показателей истинности. Ситуация с элементами истинности запутана, усложнена, поэтому важно внести в нее ясность.
Принципы теории
Истинное высказывание - это значение свойства (признака), рассматривается всегда для определенного действия. Что такое истина? Схема следующая: «Высказывание Х обладает значением истинности Y в том случае, когда истинно высказывание Z».
Давайте рассмотрим пример. Нужно понять, для какого из приведенных истинно высказывание: «Предмет а имеет признак В». Это высказывание неверно в том, что у предмета есть признак В, и неверно в том, что а не обладает признаком в». Термин «неверно» в данном случае употребляется в качестве внешнего отрицания.
Определение истинности
Как определяется истинное высказывание? Вне зависимости от структуры высказывания Х допускается только следующее определение: «Высказывание Х истинно тогда, когда есть Х, только Х».
Данное определение дает возможность ввести в язык термин «истинно». Оно определяет акт принятия согласия или высказывания с тем, о чем говорится в нем.
Простые высказывания
В них истинное высказывание без определения. Можно ограничиться при высказывании «Не-Х» общим определением, если это высказывание не является истинным. Истинна конъюнкция "X и Y", если будут истинны X и Y.
Пример высказывания
Как понять, для каких x истинно высказывание? Чтобы ответить на этот вопрос, используем выражение: «Частица а находится в области пространства b». Рассмотрим для этого высказывания следующие случаи:
- невозможно наблюдать частицу;
- можно наблюдать частицу.
Второй вариант предполагает определенные возможности:
- частица реально находится в определенной области пространства;
- ее нет в предполагаемой части пространства;
- частица движется так, что сложно определить область ее расположения.
В данном случае можно использовать четыре термина значений истинности, которые соответствуют приведенным возможностям.
Для сложных структур уместно использование большего количества терминов. Это свидетельствует о неограниченности значений истинности. Для какого числа истинно высказывание, зависит от практической целесообразности.
Двузначности принцип
В соответствии с ним, любое высказывание либо ложно, либо истинно, то есть, характеризуется одним из двух вероятных истинностных значений - «ложно» и «истинно».
Данный принцип является основой классической логики, которую именуют двузначной теорией. Двузначности принцип использовался Аристотелем. Этот философ, рассуждая над тем, для какого числа х истинно высказывание, считал его неподходящим к тем высказываниям, которые касаются будущих случайных событий.
Он устанавливал логическую взаимосвязь между фатализмом и принципом двузначности, положением о предопределенности любых действий человека.
В последующие исторические эпохи ограничения, которые накладывались на данный принцип, объяснялись тем, что он существенно затрудняет анализ высказываний о планируемых событиях, а также о несуществующих (ненаблюдаемых) объектах.
Задумываясь о том, какие высказывания истинные, этим методом не всегда можно было найти однозначный ответ.
Появляющиеся сомнения в логических системах были развеяны только после того, как была разработана современная логика.
Чтобы понять, для какого из приведенных чисел истинно высказывание, подходит двухзначная логика.
Принцип многозначности
Если переформулировать вариант двухзначного высказывания для выявления истинности, можно превратить его в частный случай многозначности: любое высказывание будет иметь одно п значение истинности, если п равно либо больше 2, или же меньше бесконечности.
В качестве исключений дополнительных значений истинности (выше «ложно» и «истинно») выступают многие логические системы, базирующиеся на принципе многозначности. Двузначная классическая логика характеризует типичные варианты использования некоторых логически знаков: «или», «и», «не».
Многозначная логика, претендующая на их конкретизацию, не должна противоречить результатам двузначной системы.
Ошибочным считают то убеждение, согласно которому, принцип двузначности всегда приводит к констатации фатализма и детерминизма. Также неверна и мысль, согласно которой, многократную логику рассматривают в качестве необходимого средства осуществления индетерминистических рассуждений, что принятие ее соответствует отказу от использования строгого детерминизма.
Семантика логических знаков
Чтобы понять, для какого числа Х истинно высказывание, можно вооружиться таблицами истинности. Семантика логическая представляет раздел металогики, который исследует отношение к обозначаемым объектам, их содержанию разнообразных языковых выражений.
Данная проблема рассматривалась уже в античном мире, но в виде полноценной самостоятельной дисциплины она была сформулирована только на рубеже XIX—XX веков. Работы Г. Фреге, Ч. Пирса, Р. Карнапа, С. Крипке позволили выявить суть данной теории, ее реалистичность и целесообразность.
На протяжении длительного временного периода семантическая логика опиралась в основном на анализ формализованных языков. Только в последнее время большая часть исследований стала посвящаться естественному языку.
В данной методике выделяют две основные области:
- теорию обозначения (референции);
- теорию смысла.
Первая предполагает исследование отношения разнообразных языковых выражений к обозначаемым объектам. В качестве ее основных категорий можно представить: «обозначение», «имя», «модель», «интерпретация». Данная теория является основой для доказательств в современной логике.
Теория смысла занимается поиском ответа на вопрос относительно того, что представляет собой смысл языкового выражения. Она объясняет их тождественность по смыслу.
Существенную роль теория смысла имеет при обсуждении семантических парадоксов, при решении которых любой критерий приемлемости считается важным и актуальным.
Логическое уравнение
Данный термин используется в метаязыке. Под логическим уравнением можно представить запись F1=F2, в которой F1и F2 являются формулами расширенного языка логических высказываний. Решить такое уравнение означает, определить те наборы истинных значений переменных, которые будут входить в одну из формул F1 либо F2, при которых будет соблюдаться предложенное равенство.
Знак равенства в математике в некоторых ситуациях свидетельствует о равенстве исходных объектов, а в ряде случаев он ставится для демонстрации равенства их значений. Запись F1=F2 может свидетельствовать о том, что речь идет об одной и той же формуле.
В литературе довольно часто под формальной логикой подразумевают такой синоним, как «язык логических высказываний». В качестве «правильных слов» выступают формулы, служащие семантическими единицами, используемыми для построения рассуждений в неформальной (философской) логике.
Высказывание выступает в качестве предложения, которое выражает конкретное суждение. Иными словами, оно выражает мысль о присутствии некоего положения дел.
Данный факт стал основой пропозициональной логики. Существует подразделение высказываний на простые и сложные группы.
При формализации простых вариантов высказываний применяют элементарные формулы языка нулевого порядка. Описание сложных высказываний возможно только с применением формул языка.
Логические связки необходимы для обозначения союзов. При их применении простые высказывания превращаются в сложные виды:
- «не»,
- «неверно, что…»,
- «или».
Заключение
Формальная логика помогает выяснять, для какого имени истинно высказывание, предполагает конструирование и анализ правил преобразования определенных выражений, которые сохраняют их истинное значение независимо от содержания. В качестве отдельного раздела философской науки она появилась только в конце девятнадцатого века. Вторым направлением является неформальная логика.
Основной задачей этой науки является систематизация правил, которые позволяют выводить новые утверждения на основе доказанных утверждений.
Фундаментом логики является возможность получения каких-то идей в качестве логического следствия иных утверждений.
Подобный факт позволяет адекватно описывать не только определенную проблему в математической науке, но и переносить логику в художественное творчество.
Логическое исследование предполагает отношение, которое существует между посылками и заключениями, выводимыми из них.
Его можно отнести к числу исходных, фундаментальных понятий современной логики, которую часто именуют наукой «что из него следует».
Сложно представить себе без подобных рассуждений доказательство теорем в геометрии, объяснение физических явлений, пояснение механизмов протекания реакций в химии.
Пример 1. Установить истинность высказывания · С Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С.
В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой. При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.
| А | В | С | А+ | · С | ||
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:
Еще по теме 1. Установление истинности сложных высказываний.:
- 29. Проблема разрешимости в алгебре высказываний(АВ). Алгоритмы проверки формул алгебры высказываний на тождественную истинность: составление таблицы истинности, выполнение равносильных преобразований (анализ КНФ), алгоритм редукции, алгоритм Квайна. Преимущества и недостатки указанных методов.
- Вопрос 6. Исчисление высказываний. Аксиомы. Правило вывода. Вывод. Тождественная истинность выводимых формул (доказать). Непротиворечивость исчисления высказываний. Теорема о полноте исчисления высказываний. Проблема разрешимости. Исчисление высказываний. Проблема разрешимости
Урок №2
Алгебра высказываний. Логические операции.
(урок комбинированный, включающий повторение предыдущей темы,
введение нового материала и закрепление)
Цель урока: Сформировать у учащихся понятия: логическое высказывание, логические операции.
Задачи урока :
Повторить основные материалы 1 урока (формы человеческого мышления: понятие, суждение, умозаключение);
Познакомить с определением алгебры высказываний;
Познакомить с основными логическими операциями.
Требования к знаниям и умениям:
Учащиеся должны знать:
Что изучает алгебра высказываний и что является объектом изучения алгебры высказываний;
Значения понятий: логическое высказывание, логические операции;
Таблицы истинности логических операций.
Учащиеся должны уметь:
Приводить примеры логических высказываний;
Определять значения логических высказываний;
Называть логические операции и строить для них таблицы истинности.
Этапы урока
I. Организационный момент. Постановка цели урока. 2 мин.
II. Повторение. 7мин.
III. Проверка домашнего задания. 5 мин.
IV. Введение нового материала. 20 мин.
V. Закрепление. 7 мин.
VI. Подведение итогов урока. 3 мин.
VII. Постановка домашнего задания. 1 мин.
Ход урока
II. Повторение .
1) Повторение основных определений и понятий 1 урока:
· Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные признаки объектов.
o Объём понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.
Привести примеры .
· Суждение (высказывание, утверждение) - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними.
o Форма суждения – это его строение, способ связи его составных частей.
· Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение (вывод умозаключения)
- Определите, какие из перечисленных фраз являются высказываниями и почему?
1. Как хорошо быть генералом!
2.
3. Познай самого себя.
4. Все медведи живут на севере.
5. Революция не может быть мирной и бескровной.
6.
7.
(Примеры 1 и 3 не являются высказываниями, т. к. являются восклицательным и побудительным предложениями соответственно).
- Теперь определите, простые или составные суждения даны .
(В 5 примере можно разбить на два простых утверждения, значит, оно составное.)
- Определите значения высказываний (истина или ложь).
На 6 примере убеждаемся, что содержание высказывания часто субъективная характеристика. Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне науки логики. Например, опираясь на свой жизненный опыт, мы присваиваем определённое значение суждению 6.
Русские пословицы как в примере 4 будут всегда истинны, т. к. опираются на жизненный опыт целых поколений людей.
В примере 7 значение высказывания решается в курсе геометрии, а в 5 утверждении в курсе истории.
Результаты оформляются в виде следующей таблицы:
Фразы | Высказывания | Истина или ложь | Простые высказывания |
1. Как хорошо быть генералом! | |||
2. Без труда не выловишь и рыбку из пруда. | |||
3. Познай самого себя. | |||
4. Все медведи живут на севере. | |||
5. Революция не может быть мирной и бескровной. | |||
6. Талант всегда пробьёт себе дорогу. | |||
7. Сумма углов треугольника равна 1800. |
На прошлом уроке мы говорили, что каждое высказывание состоит из трех элементов:
субъекта, предиката и связки
. Субъект
(S) -
понятие о предмете. Предикат
(P)
- понятие о свойствах и отношениях предмета. Связка -
отношение между субъектом и предикатом.
Определите, что в простых высказываниях является субъектом, предикатом и связкой.
Без труда не выловишь и рыбку из пруда.
Все медведи живут на севере.
Талант всегда пробьёт себе дорогу.
Сумма углов треугольника равна 1800.
III. Проверка домашнего задания:
Карточка для домашней работы |
1.Из приведенных простых высказываний составьте и запишите не менее 3-ёх составных высказываний: 1) Поедем на дачу. 2) Хорошая погода. 3) Плохая погода. 4) Мы поедем на пляж. 5) Антон приглашает нас в театр . |
2. Выведите, если это возможно, заключение из каждой пары посылок: А) Все птицы – животные. Все воробьи – птицы. Б) Некоторые уроки трудны. Всё, что трудно, требует внимания. В) Ни один добрый поступок не является незаконным. Всё, что законно, можно делать без страха. |
|
А) Тем, кто лыс, расчёска не нужна. Ни одна ящерица не имеет волос. Следовательно, ящерицам расчёска не нужна. Б) Всем, кто отлично закончит 3 четверть, подарят компьютер. Ты закончил 3 четверть без троек. Значит, готовься получить в подарок компьютер. |
VI. Объяснение нового материала
Алгебра высказываний
Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII веке. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и высказыванию можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное высказывание или ложно. То есть споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычислений. Идея Лейбница оказалось ложной, так как невозможно (не найдены способы) свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.
Однако, подлинный прогресс этой науки был достигнут в середине XIX века прежде всего благодаря трудам Дж. Буля "Математический анализ логики". Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.
В развитии математической логики приняли участие многие выдающиеся математики и логики конца XIX и XX веков, в том числе К. Гедель (австр.), Д. Гильберт (нем.), С. Клини (амер.), Э. Пост (амер.), А. Тьюринг (анг.), А. Чёрч (амер.), и многие другие.
Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее (синтез и анализ автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный интеллект).
Таким образом, объектами изучения алгебры логики являются высказывания.
Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Обозначать высказывания будем большими латинскими буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать "А = 1" и говорить: "А - истинно". Если высказывание Х ложно, то будем писать "Х = 0" и говорить "Х ложно".
Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равно 180о» устанавливается геометрией, причём в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского – ложным.
Алгебра логики отвлекается от смыслового содержания высказываний. Её интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание. Такое суждение интересов даёт возможность изучать высказывания алгебраическими методами.
Логические операции
В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (как и в алгебре действительных чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень над числами). Мы рассмотрим только некоторые, наиболее важные из них:
- Дизъюнкция (логическое сложение)
Импликация (логическое следование)
Эквивалентность (логическое равенство)
1) Инверсия (логическое отрицание)
Инверсия (логическое отрицание) – это логическая операция, которая каждому данному высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, которое истинно, если данное высказывание – ложно, и ложно, если данное высказывание истинно.
Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью кругов Эйлера , названных в честь великого математика, физика и астронома Леонарда Эйлера ()
Обозначение инверсии: ; неА ; А; NOT А
0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
А
Образуется из простого высказывания с помощью добавления частицы НЕ к сказуемому или использованием оборота речи "НЕВЕРНО, ЧТО...".
Пример: А = "На улице дождь"
= "Неверно, что на улице дождь"
Задание 1. Приведите пример высказывания и его отрицания.
Определите истинность каждого.
Итак, инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно.
2) Конъюнкция (логическое умножение)
истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Обозначение конъюнкции: А &В , А andВ , А LВ , А В .
Таблица истинности:
|
||
А
&В
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И»
Пример: А = "На улице дождь"
В= "Небо голубое"
А &В = "На улице дождь и небо голубое"
Задание 2. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя логическую связку "И".
Итак, конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
3) Дизъюнкция (логическое сложение) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое
истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух исходных высказываний истинно.
Обозначение дизъюнкции: А V В , А OR В , А +В .
0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
А V В
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ»
Пример: А = "На улице дождь"
В= "Небо голубое"
А V В = "На улице дождь или небо голубое"
Задание 3. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку "ИЛИ".
Итак, дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух исходных высказываний истинно.
4) Импликация (логическое следование) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое
ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание (условие) истинно, а второе высказывание (следствие) ложно.
Обозначение дизъюнкции: А ® В .
Таблица истинности: Диаграмма Эйлера:
«ЕСЛИ …, ТО …»
Если клятва дана, то она должна выполняться.
Если число делится на 9, то оно делится и на 3.
Пример: А = " На улице дождь"
В= "Небо голубое"
А ® В = "Если на улице дождь, то небо голубое"
Задание 4 . а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание, используя связку "ЕСЛИ, ТО...".
б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний
Итак, импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание (условие) истинно, а второе высказывание (следствие) ложно.
5) Эквивалентность (логическое равенство) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое
истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
Обозначение дизъюнкции: А « В, А = В, А≡В .
Таблица истинности: Диаграмма Эйлера:
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»
Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 900
Все законы математики, физики, все определения – эквивалентность высказываний
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.
Пример: А = "На улице дождь"
В= "Небо голубое"
А « В = "На улице дождь тогда и только тогда, когда небо голубое"
Задание 5. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку речи «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»
б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний.
Итак, эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
VI. Закрепление изученного.
1. Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями :
· Какого цвета этот дом?
· Число Х не превосходит единицы.
· Посмотрите в окно.
· Пейте томатный сок!
· Эта тема скучна.
· Вы были в театре?
2. Объясните, почему формулировка любой теоремы является высказыванием.
3. Приведите по 2 примера истинных и ложных высказываний из математики, биологии, истории, информатики, литературы.
4. Из следующих предложений выбрать те, которые являются высказываниями:
- Коля спросил: «Как пройти к Большому театру?» Как пройти в библиотеку? Картины Пикассо слишком абстрактны. Решение задачи – информационный процесс. Число 2 является делителем числа 7 в некоторой системе счисления.
5. Выбрать истинные высказывания:
· “Число 28 является совершенным числом”
· “Без труда не выловишь и рыбку из пруда”
· “Талант всегда пробьёт себе дорогу”
· “Некоторые животные мыслят”
· “Информатика - наука об алгоритмах”
· “2+3*5=30”
· “Все ученики любят информатику”
6.
7. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
8. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
9. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
10. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
Итог урока:
- Вы познакомились с основными понятиями алгебры логики. Рассмотрели логические операции. Разобрали для каждой логической операции таблицу истинности и проиллюстрировали ЛО с помощью кругов Эйлера.
2. Выучить все определения в тетради из конспекта урока .
3. Подобрать высказывания для каждой логической операциипримера)