Номограммы для урологов: как и для чего они создаются. Основы номографии

Номография - слово греческое. Номос - закон, графо - пишу, черчу. В буквальном переводе это слово означает ² черчение закона² .

Своей задачей номография ставит построение специальных графиков - номограмм, служащих для решения различных уравнений. Номограммы дают возможность компактно представлять функции многих переменных и таблицы с несколькими входами. На номограммах можно решать некоторые трансцендентные уравнения и системы таких уравнений. Номограммы можно применять не только для вычислительных целей, но и для исследования положенных в их основу функциональных зависимостей.

Наглядность представления различных закономерностей и простота использования номограмм при достаточно высокой точности результата обеспечивают широкое использование номограмм в различных областях техники.

В основе номограмм лежит понятие функциональной шкалы (см. выше). На основе функциональных шкал создаются не только номограммы, но и различные вычислительные средства: универсальные вычислительные номограммы, логарифмические линейки и т.п.

В данной главе излагается один из возможных видов номограмм - номограммы в декартовой системе координат, имеющие достаточно широкое использование в машиностроении.

4.1. Номограммы в декартовой системе координат

В разделах 3.1., 3.2. описана процедура построения графиков для функции одного переменного. При этом на графике получается одна линия (прямая или кривая).

Если же изучаемая функция зависит от двух переменных

то придавая в этом уравнении, например, параметру y ряд частных (постоянных) значений y 1 , y 2 , ..., y n можно, как и для функции одного переменного, построить зависимости

Z = ¦ (х, y 1);

Z = ¦ (х, y 2);

...................

Z = ¦ (х, y n).

Получим систему кривых (в частном случае прямых), называемых номограммой из ² помеченных² линий, т.к. каждая линия помечается соответствующим значением y i .

Пример. При исследовании процесса фрезерования было установлено, что наиболее целесообразно величину радиального биения смежных зубьев фрезы назначать по условию обеспечения участия в процессе резания всех зубьев фрезы. Аналитически это условие выражается уравнением

где S z - расчетная величина подачи на зуб, мм/ зуб;

k = - параметр операции;

D - диаметр фрезы, мм;

t - глубина резания, мм;

D - величина биения смежных зубьев фрезы, мм.

Как видно, S z = ¦ (k, D) является функцией двух параметров. Здесь можно отметить, что, фактически S z = ¦ (D, t, D), т.е. функцией трех параметров, но два параметра (D, t) заменены одним - k = , легко определяемым и уменьшающим количество переменных. Данный прием широко используется в номографии.

Теперь необходимо определиться с осями и помеченным параметром. В качестве оси ординат, в соответствии с функциональной зависимостью, рационально принять S z . В качестве же оси абсцисс можно принять либо k, либо D . Если в качестве оси ординат принять k (а помеченным параметром D i), то зависимость

S z = ¦ (k, D i)

будет получаться криволинейной, в соответствии с закономерностью . Проще строить и использовать прямолинейные графики при равномерных шкалах. Поэтому стараются номограммы строить на основе прямых линий. Поэтому лучше будет строить номограмму из помеченных линий вида

S z = ¦ (D , K i),

где .

Теперь выбираем масштаб построения и диапазоны изменения переменных. С учетом условий процесса фрезерования принимаем D £ 0,08 мм; S z £ 0,20 мм/ зуб. Параметр k изменяем дискретно k = 2; 5; 10; 20; 30; 40; 50. Так как зависимость S z = ¦ (D , K i) является прямой линией, проходящей через начало координат, то для построения графиков достаточно вычислить только одно значение S z при каком - либо значении D . Например, для k = 2, при D = 0,06 мм имеем

(мм/зуб).

Теперь через точки (0; 0) и (0,06; 0,06) можно провести прямую линию и пометить ее параметр k = 2. Аналогично проводятся и другие линии. На номограмме наносится линия, показывающая порядок ее использования.

4.2. Составные номограммы с помеченными линиями

Номограмму в одной четверти можно построить для функции двух переменных. При большем числе переменных это сделать уже нельзя. В этом случае используют составные номограммы. Идею построения рассмотрим сначала в общем виде.

Пусть нам дано уравнение в неявном виде с четырьмя переменными

¦ (х, y, z, h) = 0.

Допустим, что его можно привести к виду

¦ 1 (х, y) = ¦ 2 (z, h),

т.е. можно разделить переменные. Положим

¦ 1 (х, y) = g ;

¦ 2 (z, h) = g .

Мы получим два уравнения, зависящих от двух переменных. Каждое из этих уравнений можно номографировать, как описано выше. Обеспечив отсчет величины g на одинаковой функциональной шкале, можно обойтись и без численных значений g (если они нас не интересуют по условиям решаемой задачи).

Аналогично поступают и с уравнениями с большим числом переменных, которое будет приводить к увеличению числа общих шкал и большему числу четвертей построения номограммы. Нужно только иметь в виду, что не всякое уравнение допускает разложение на несколько уравнений с двумя переменными и, следовательно, не всякое уравнение удается таким образом номографировать.

Рассмотрим реальный пример построения составной номограммы.

При исследовании процесса фрезерования было установлено, что сила резания при фрезеровании узких поверхностей приобретает характер повторяющихся импульсов не гармонической формы. И возмущение технологической системы осуществляется не на одной, а в бесконечном диапазоне частот. Наиболее опасно воздействие первых трех гармоник, несущих значительно больше энергии возмущения, чем все другие. Распределение энергии по этим трем гармоникам осуществляется в зависимости от отношения фронтов нарастания и спада силы в импульсе. Это отношение можно характеризовать отношением углов контакта фрезы (j) и зуба фрезы (y) с заготовкой. Причем всегда j ³ y .

Для наглядного представления и определения характера распределения энергии по трем гармоникам в зависимости от условий операции построим номограмму.

В одной из четвертей первоначально отражается характер распределения энергии по гармоникам возмущения в зависимости отj / y (рис. 15). Эти зависимости построены из результатов исследований, которые здесь не отражаются. Коэффициент Х 2 характеризует² удельный вес² энергии данной гармоники в общем силовом возмущении. Диапазон j / y = 1...9.

Теперь отношение j / y раскрываем в параметрах инструмента и операции

.

Видно, что здесь четыре переменных величины: D, t, B, w .

Введем промежуточную ось С и построим номограмму из помеченных линий для одной из переменных величин, а именно В i

Видно, что это уравнения прямых линий, проходящих через начало координат. Задаваясь одним значением j / y и В i можно провести ее график. Например, при j / y = 5, В i = 5 получим С = 2× 5×5 = 50. Аналогично поступаем для В i = 10; 15; 20.

L = 50× tg 45° =50. Àíàëîãè÷íî ïîñòóïàåì и äëÿ äðóãèõ óãëîâ w i = 15° ; 30° ; 60° ; 75°. Проводим прямые линии через начало системы координат и помечаем значение угла w i каждой линии.

Таким образом осталась одна взаимосвязь параметров

.

Здесь необходимо определиться с параметром, направленном по оси и ² помеченным² параметром. В любом случае зависимость нелинейная. Кроме того, глубина резания является задаваемым параметром и его лучше взять в качестве ² помеченного²параметра. Для построения помеченных линий нужно определить несколько координат каждой линии.

Рассмотрим ² помеченную² линию t = 5 мм. В качестве переменного параметра принимаем диаметр фрезы D. При D = 25; 50; 100; 150; 200 мм соответственно имеем

По найденным точкам строится линия для t = 5 мм. Аналогично поступают и для других значений t.

Указаны промежуточные оси С, L, которые при использовании номограммы не нужны и могут не указываться, указаны и частные зависимости для каждой четверти номограммы.

Полученная номограмма наглядно показывает, что распределение энергии по гармоникам возмущения технологической системы определяется условиями операции, изменяя которые можно воздействовать на возмущение технологической системы.

Для исключения резонансных явлений необходимо знать спектр собственных частот системы и согласовывать условия операции с их значениями, уменьшая количество энергии на ² резонансной² частоте. Эти данные, как правило, отсутствуют. Поэтому используя номограмму можно скорректировать условия операции. Для этого по известным параметрам фрезы, которая показала неудовлетворительные результаты, и элементам режима резания необходимо определить распределение энергии по гармоникам возмущения и выбрать другое распределение. Так как глубину резания и ширину фрезерования изменять, как правило, невозможно, а изменение угла наклона режущей кромки часто нецелесообразно по условиям стойкости инструмента, то новое распределение энергии можно получить изменив диаметр фрезы (в большую или меньшую сторону по сравнению с первоначальным). При этом необходимо сохранить прежним относительное число зубьев (z/D) и скорость резания, так как число оборотов и зубьев фрезы играют самостоятельную роль в определении частотного диапазона возмущения (inz).

Как видно из изложенного, номограмма может существенно помогать в управлении процессом резания, на основе заложенных в нее функциональных зависимостей.

Контрольные вопросы

1. Сущность и назначение номографии;

2. Функцию какого числа переменных можно отразить в одной четверти декартовой системы координат?

3. Понятие номограммы из ² помеченных² линий;

4. Сущность составной номограммы и промежуточной функциональной шкалы.

1. Номограмма Киреева для определения давления пара при разных температурах 35 (рис. 77).

В середине номограммы помещена общая для обеих ее частей шкала давлений, по бокам - шкалы температур. На шкале давлений отложены lgP, на шкале температур 1 / T .

Каждому веществу на номограмме отвечает одна точка, выражающая зависимость температуры кипения вещества от давления. Прямая, проходящая через эту точку (называемую Киреевым "точкой жидкости"), пересекает оси в соответствующих точках, показывающих давление пара вещества при данной температуре (или температуру кипения его при данном давлении). Например, прямая МN показывает, что температура кипения хлорбензола (точка 22) при давлении 64 мм равна 60° С.

Номограмма Киреева позволяет избежать трудоемких аналитических расчетов, точность которых не всегда оправдана, для нахождения зависимости между давлением пара и температурой кипения вещества. На основании имеющихся данных по давлению пара жидкости при двух температурах можно определить положение "точки жидкости" как места пересечения двух прямых, соединяющих соответствующие точки на шкалах давлений и температуры; это показано пунктирными линиями для бензола (точка 15). Кроме того, с помощью номограммы можно, правда с еще меньшей точностью, графически определять зависимость давления пара от температуры жидкостей, для которых известна лишь одна температура кипения (большей частью температура кипения при атмосферном давлении). Оказалось, что "точки жидкостей" лежат почти точно на прямой RS или симметричной ей прямой R"S". Пересечение прямой, соединяющей соответствующие точки на шкалах давления и температур с прямой RS или R"S", определяет "точку жидкости" в последнем случае.

Прямая RS соединяет "точки жидкостей" неполярных веществ, зависимость давления пара которых от температуры рассчитана по гексану (см. стр. 13); прямая R"S" соединяет точки полярных жидкостей, рассчитанные по воде. Номограмма может быть легко построена в любом масштабе для разных жидкостей и даже, как указывает Киреев, для смесей жидкостей.

2. Номограмма для определения относительной летучести двойных смесей углеводородов (рис. 78) (см. стр. 18).

3. Номограмма для определения минимального флегмового числа 83 (рис. 79).

Находят точку пересечения радиальной прямой, отвечающей содержанию легколетучего компонента в жидкости куба, и кривой, которая соответствует относительной летучести данной смеси. Линейкой соединяют найденную точку и точку на правой оси, отвечающую содержанию легколетучего компонента в дестиллате. Точка пересечения линейки и левой оси будет соответствовать минимальному флегмовому числу.

4. Номограмма для расчетов по ректификации 83 (рис. 80).

Номограмма состоит из двух частей - левой, позволяющей определять минимальное число теоретических тарелок, и правой, которая дает возможность по минимальному числу теоретических тарелок находить число теоретических тарелок в рабочих условиях при определенном флегмовом числе.

Рис. 77. Номограмма для определения давления пара при разных температурах: 1 - SiH 3 CH 3 ; 2 - СН 2 =СН=СН 2 ; 3 - СН 3 Сl; 4 - СН 2 =СНСl; 5 - бутадиен-1, 3; 6 - С 2 Н 5 Сl; 7 - изопрен; 8 - метилформиат; 9 - н-пентан; 10 - С 2 Н 5 Вr; 11 - СН 2 Сl 2 ; 12 - этилформиат; 13 - СНСl 3 ; 14 - н-гексан; 15 - бензол; 16 - этилацетат; 17- С 6 Н 5 F; 18 - н-гептан; 19 - толуол; 20 - н-октан; 21 - н-октан; 22 - С 6 Н 5 Сl; 23 - С 6 Н 5 Вr; 24 - н-декан; 25 - С 6 H 5 J; 26 - нафталин; 27 - NH 3 ; 28 - CH 3 NH 2 ; 29 - CH 3 COCH 3 ; 30 - СН 3 ОН; 31 - С 2 Н 5 ОН; 32 - Н 2 O; 33 - СН 3 СООН; 34 - C 2 Н 5 СООН; 35 - изо-С 3 Н 7 СООН; 36 - н-бутиленгликоль; 37- НОСН 2 СН 2 ОН; 38 - глицерин; 39 - Hg; А - В. Водные растворы аммиака, содержащие 5, 10, 15, 20, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65 70 75 80 85, 90, 95 и 100 вес. % NH 3 (приведено только общее давление пара раствора)

Абсцисса - относительная летучесть; ордината - разность температур кипения.

Вычисление эффективности колонки, необходимой для разделения данной смеси. Предварительно находят относительную летучесть α для данной двойной смеси или определяющей пары сложной смеси (см. стр. 155). Устанавливают желательный или допустимый минимальный состав дестиллата и жидкости куба (например, при содержании нижекипящего компонента в жидкости куба 0,05 молярных долей колонка должна давать дестиллат, содержащий не ниже 0,98 молярных долей этого компонента). Затем на нижней левой части номограммы находят точку пересечения прямых, отвечающих концентрациям нижекипящего компонента в дестиллате и жидкости куба (пунктирная линия). Из точки пересечения проводят вертикальную линию до кривой относительной летучести, соответствующей предварительно найденной величине. Из точки пересечения вертикальной линии и кривой а проводят горизонтальную линию влево до оси N.

Зная эффективность колонки при полном возврате и относительную летучесть смеси, можно определить составы дестиллата при разных составах жидкости в кубе.

Приведенный способ применим для расчетов результатов ректификации при полном орошении.

Если желательно найти требуемую эффективность колонки в рабочих условиях, то следует также определить минимальное флегмовое число для данной двойной смеси или для определяющей пары сложной смеси и минимальное число теоретических тарелок, как это указано выше, и установить, при каком флегмовом числе будет происходить перегонка. Затем из точки на оси флегмового числа, соответствующей выбранной величине (правая нижняя часть номограммы), проводят горизонтальную прямую до пересечения с кривой минимального флегмового числа (см. пунктир). Из точки пересечения проводят вертикаль до горизонтальной прямой, отвечающей минимальному числу теоретических тарелок. Положение найденной таким образом точки относительно кривых определяет число теоретических тарелок в рабочих условиях.

Пользуясь номограммой, можно определять число теоретических тарелок по найденному числу эквивалентных тарелок. Для этого находят точку пересечения вертикальной прямой на правой части номограммы, построенной, как указано выше, с горизонтальной прямой, идущей от шкалы Nмин. и отвечающей числу эквивалентных тарелок. Положение найденной точки по отношению кривых правой верхней части номограммы определяет число теоретических тарелок. Соответствующая цифра на оси Nмин. и дает искомую величину.

Определение числа теоретических тарелок по Оболенцову и Фросту (см. стр. 111)

Порядок графического расчета (см. цифры в кружках на схеме построения, рис. 81):

1. Соединяют прямой точку на правой части шкалы концентраций 1, отвечающую содержанию нижекипящего компонента в дестиллате х д, с точкой на шкале а, соответствующей молярной доле дестиллата от загрузки.

2. Соединяют точку на правой части шкалы концентраций I, отвечающую содержанию нижекипящего компонента в загрузке x загр. , с точкой пересечения первой построенной прямой и линией МN. Построенную прямую продолжают до шкалы дестиллата.

3. Из найденной точки пересечениядрамой и шкалы дестиллата проводят горизонтальную линию до кривой l. Из точки пересечения опускают вертикальную линию до прямой КL.

4. 5, 6. Делают аналогичное построение на левой части шкалы концентраций II и кривой II. Вертикальную линию проводят до линии

7. Соединяют найденные точки на линиях и КL и продолжают прямую до пересечения с линией РQ.

8. Из найденной на линии РQ точки опускают вертикальную линию до кривой III. От найденной на кривой точки проводят горизонтальную линию до линии FG.

9. Соединяют точку, найденную на линии FG, с точкой на шкале а, отвечающей относительной летучести перегоняемой смеси, и продолжают прямую до шкалы N - числа теоретических тарелок.

Возможность предвидеть будущее завораживает, завораживает настолько, что с незапамятных времен человечество пытается создать что-то такое, что будет обладать такими свойствами. Человеку свойственен страх, особенно если речь идет о здоровье. Поэтому, когда мужчина или женщина сталкиваются с медициной, то один из первых вопросов, адресованных врачу: «Доктор, насколько серьезно мое заболевание?». И давая ответ, основанный на собственном опыте, врач осознает, что хотел бы ответить более достоверно.

Сейчас, коллеги, мы имеем преимущество перед докторами, которые практиковали несколько десятилетий назад. В нашем распоряжении сегодня есть прогностические модели, основанные на данных тысяч пациентов, статистически обработанные, отвечающие принципам доказательной медицины – номограммы.

Что же такое номограммы и как ими пользоваться? Номограмма представляет собой прогностический алгоритм, позволяющий оценить вероятность определенного исхода индивидуально для каждого конкретного пациента, используя набор определенных «входных» данных (например, уровень ПСА, сумма по Глисону и клиническая стадия опухоли). На сегодняшний день не вызывает сомнений тот факт, что прогнозирование на основе сочетания нескольких прогностических параметров дает более точный результат, нежели прогнозирование, использующее только 1 маркер (например, уровень свободного ПСА).

Сам термин «номограмма» подразумевает графическое представление математической формулы, составляющей основу прогностической модели. С точки зрения статистического анализа в основе номограмм лежит уравнение множественной регрессии, решить которое без помощи компьютера вряд ли было бы под силу даже математику.

В то же время с помощью графика можно легко найти значение искомого параметра, не прибегая к сложным вычислениям. В литературе номограммы представлены совокупностями шкал: каждой вводимой переменной соответствует своя шкала. Исходному параметру в зависимости от величины его значения присваивается определенное число баллов, а затем подсчитывается итоговая сумма набранных по каждому параметру баллов. По значению этой суммы в финальной паре шкал можно легко оценить искомый риск.

Однако в настоящее время применение номограмм зачастую уже не требует даже простейших самостоятельных вычислений, поскольку многие из них доступны в электронном варианте, где необходимо ввести нужные параметры, и программа сама подсчитает результат.

На сегодняшний день доказано, что в качестве прогностических моделей номограммы обладают большей точностью, нежели прогнозирование, основанное на опыте врача, либо отнесение пациента к какой-либо группе риска.

Сегодня номограммы широко используются в различных разделах медицины – кардио-логии, реаниматологии, онкологии, а также в онкоурологии. В онкоурологии разработано множество номограмм. Наибольшее их количество предназначено для ведения больных с раком предстательной железы, что не удивительно, так как в развитых странах это одна из наиболее часто встречающихся злокачественных опухолей у мужчин. Разработаны также номограммы для рака мочевого пузыря и почечно-клеточного рака.

Количество номограмм с каждым годом увеличивается, и практикующий специалист может задаться вопросом – какими же номограммами пользоваться, применение каких из них способно принести большую пользу пациентам? Чтобы прояснить сложившуюся ситуацию Европейская ассоциация урологов (EAU) в «Клинических рекомендациях по лечению рака предстательной железы» одобрила к применению только 2 варианта прогностических моделей – таблицы Partin и номограммы Kattan.

Кроме этого, специалист, активно применяющий номограммы в своей клинической практике, должен иметь представление об основных параметрах, по которым номограммы можно сравнивать между собой, выбирая наиболее качественную.

Самый важный показатель – прогностическая точность номограммы. Как она определяется и в чем выражается? Первоначально, в ходе построения математической модели на основе данных когорты пациентов, проверяется правильность прогноза на той же популяции участников (т. е., в каком проценте случаев, рассчитанный по номограмме, исход соответствует реальному исходу).

Исходя из этого, рассчитывается коэффициент прогностической достоверности номограммы (индекс конкордантности), выражаемый в процентах или долях единицы. Индекс конкордантности равный 50% говорит о том, что данная прогностическая модель столь же точна, как и подбрасывание монетки – она ошибется в 50% случаев.

Большинство используемых в настоящее время прогностических моделей, в том числе и номограмм, имеют индекс конкордантности 70–85%. Индекс конкордантности превышающий 80% (или 0,8) говорит о высокой прогностической точности номограммы, и лишь немногие существующие сегодня прогностические модели таким индексом обладают.

Заслуживающая доверия номограмма должна пройти и так называемую внешнюю валидизацию, т. е. проверку на других популяциях. В этом случае индекс конкордантности уточняется и корректируется.

Кстати, индекс конкордантности – не единственный параметр, на который следует обращать внимание. Конкордантность отражает лишь обобщенную способность номограммы предсказать определенный исход.

Однако прогностическая модель может, к примеру, хорошо прогнозировать исход у лиц низкого риска и обладать низкой прогностической способностью у лиц высокого риска. Если в исследуемой популяции число пациентов с низким риском значительно больше, чем с высоким, индекс конкордантности будет достаточно хорошим, но такую номограмму некорректно было бы применять у больных группы высокого риска.

Чтобы избежать таких «накладок», номограмма должна быть хорошо откалибрована, т. е. она должна одинаково хорошо прогнозировать результат внутри различных подгрупп больных. Значения индекса конкордантности и калибровки приводятся для каждой модели, а знать эти параметры необходимо для введения номограммы в клиническую практику.

Вдобавок ко всему вышесказанному, качественная номограмма должна также иметь хорошую воспроизводимость в различных популяциях (например, быть одинаково точной у пациентов различной расовой или этнической принадлежности).

Какую информацию могут дать номограммы врачу? Существуют номограммы, подсчитывающие вероятность обнаружения рака простаты при первичной или повторной биопсии. С помощью номограмм можно предсказать патологическую стадию опухоли, что необходимо для выбора правильной тактики лечения.

Например, чтобы определить показания к нервосберегающей радикальной простатэктомии (РПЭ) при раке предстательной железы (РПЖ), необходимо иметь информацию о риске экстракапсулярного распространения опухоли (ЭКР). С этой целью широко применяются таблицы Partin, позволяющие подсчитать вероятность ЭКР РПЖ, инвазии в семенные пузырьки и регионарные лимфатические узлы на основе таких параметров как сумма по Глисону, значение ПСА и клиническая стадия опухоли. Таблицы Partin прошли внешнюю валидизацию в клинике Мейо (Рочестер, штат Миннесота, США) на когорте свыше 2400 больных, и сейчас они широко используются для оценки риска и выбора тактики лечения у больных с РПЖ. Несколько позднее были разработаны номограммы (например, номограмма Ohori и др.), позволяющие оценить вероятность ЭКР с учетом стороны поражения. Примечательно, что некоторые исследования сравнивающие таблицы Partin с номограммами, имеющими аналогичные конечные точки, подтверждают достоверно большую прогностическую точность последних.

Если больному выполняется РПЭ, номограммы могут помочь в определении риска прогрессирования заболевания на предоперационном или послеоперационном этапе. В качестве примера можно привести номограммы Kattan, разработанные еще в 1998 г., в которых на основе предоперационных клинических данных можно было оценить вероятность отсутствия биохимического рецидива на протяжении 5 лет после РПЭ.

Другой пример – послеоперационные номограммы Kattan, позволяющие на основе таких параметров как сумма по Глисону, степень капсулярной инвазии, наличие положительного хирургического края, инвазия в семенные пузырьки и регионарные лимфатические узлы, подсчитать вероятность рецидива заболевания в течение 7 лет.

Другие номограммы Kattan помогают спрогнозировать риск биохимического рецидива после лучевой терапии (или брахитерапии) РПЖ. С помощью номограмм можно определить вероятность метастазирования опухоли у больных с биохимическим рецидивом после проведенной РПЭ (номограммы Kattan) или после лучевой терапии (номограмма Dotan). Также разработаны номограммы, определяющие выживаемость онкоурологических больных после различных видов терапии.

В настоящее время номограммы продолжают совершенствоваться с целью повышения их прогностической точности. Предполагается, что это может быть достигнуто благодаря включению в анализ различных биомаркеров заболевания (например, уровня в плазме трансформирующего фактора роста-бета или рецептора к интерлейкину-6, уровня экспрессии некоторых генов), а также данных неинвазивных визуализационных исследований.

Ваша оценка: Нет

Номографией (от греческого nomas - «закон», yrapho - «пишу») называется область вычислительной математики, в которой развивается теория построения номограмм особых чертежей, служащих для расчета по данным формулам или для решения различных уравнений. Искомое значение величины или действительный корень уравнения можно отыскать непосредственно на самой номограмме, прикладывая линейку к определенным ее точкам.

Номограмма, таким образом, является готовым инструментом для проведения расчетов.

Обыкновенная линейка обладает тем свойством, что деления на ней составляют равномерную шкалу. Для решения ряда задач номографии приходится расширить понятие о шкале. Пусть нам дана некоторая функция . Возьмем прямую линию и будем откладывать на ней от некоторой фиксированной точки значения нашей функции, соответствующие различным значениям аргумента , и в конце каждого из полученных отрезков поставим пометку, равную тому значению , для которого получен этот отрезок. Нанесенные таким образом пометки уже не будут распределяться на прямой равномерно, их расположение зависит от выбранной функции . Эта прямая с нанесенными делениями называется функциональной шкалой. На рис. 1 показана функциональная шкала для функции .

Простейшим приложением функциональной шкалы является использование ее для вычисления значений функции при разных значениях аргумента. Возьмем две шкалы: одну функциональную, другую равномерную, построенные в одном и том же масштабе. Приложим обе шкалы одну к другой так, чтобы их начальные точки совпадали. Если теперь взять на функциональной шкале точку с пометкой , то пометка равномерной шкалы, лежащая против взятой пометки , в точности дает значение функции . Обратно, зная значение функции, можно найти значение аргумента; для этого нужно найти соответствующую пометку на равномерной шкале и прочитать соответствующую пометку функциональной шкалы. Такое соединение двух шкал является простейшей номограммой и называется двойной шкалой (рис. 2). Одно из ее главнейших применений - логарифмическая (счетная) линейка. В инженерной практике используется также логарифмическая (полулогарифмическая) бумага, где обе оси (или одна ось) являются логарифмическими функциональными шкалами.

На рис. 3 изображена номограмма для уравнения , которая состоит из трех определенным образом расположенных равномерных шкал. Прикладывая линейку к двум пометкам на разных лучах, отвечающих, например, заданным значениям и , по номограмме находим значение (на рис. 3 значение , a и тем самым ). Разобранный пример демонстрирует нам новый тип номограмм - номограмму из выровненных точек. Такое название объясняется тем, что точки на номограмме, соответствующие данным числам и искомому числу, лежат на одной прямой.

На рис. 4 изображена номограмма из выровненных точек для приближенного отыскания положительных корней уравнения . Она состоит из двух равномерных и одной неравномерной шкал. Если при помощи этой номограммы нам нужно приближенно найти положительный корень уравнения , нужно на оси взять точку с пометкой , на оси - точку с пометкой и провести прямую . Каждая точка пересечения (их может быть не больше двух) с криволинейной шкалой дает приближенное значение положительного корня заданного уравнения (на рис. 4 - случай , ). Построенная прямая может пересекаться с кривой в двух точках (оба корня положительны), в одной точке (второй корень отрицателен), может касаться кривой (в этом случае у уравнения кратный положительный корень); наконец, она может не иметь с кривой ни одной общей точки (в этом случае либо оба корня уравнения отрицательны, либо у него вообще нет действительных корней). Для получения отрицательных корней уравнения надо, сделав замену переменной , искать по той же номограмме положительные корни уже уравнения . Если значения коэффициентов и по модулю превосходят 12,6 (на рис. 4 предполагается , ), то следует сделать замену переменной и перейти от уравнения к уравнению

;

число выбирается таким образом, чтобы числа и были уже в указанных выше пределах. В случае, если оба корня уравнения близки к нулю, также выгодно сделать замену переменной . Так, для уравнения значения корней по номограмме найти трудно. Положив , получим уравнение ; его корни ; , откуда , .

Как в практическом, так и теоретическом плане значительный интерес представляют сетчатые номограммы. На рис. 5 показана такая номограмма для приближенного решения уравнений вида . Она состоит из семейства прямых линий с некоторыми пометками, касающихся параболы

Пользуются этой номограммой следующим образом. Каждому уравнению однозначно ставится в соответствие точка плоскости , и в зависимости от расположения ее по отношению к «сетке» приближенно определяются корни соответствующего уравнения. Если точка попадает внутрь параболы, т.е. если

то уравнение не имеет (действительных) корней. В случае, когда это уравнение имеет два различных действительных корня, точка лежит во внешней области параболы . Если , т. е. точка лежит на параболе, то уравнение имеет два совпадающих корня. Решим, например, уравнение . Через точку проходят на номограмме две прямые с пометками и ; тем самым числа и являются корнями нашего уравнения.. Корни уравнения также лежат в указанных интервалах. Взяв их середины, мы получим приближенные значения искомых корней:

; .

Для того чтобы при помощи этой номограммы удобно было решать и уравнения с совпадающими корнями, парабола также снабжена пометками. Дело в том, что квадратному уравнению с корнями соответствует точка , лежащая на этой параболе.

Различного рода номограммы широко применяются в разнообразных практических расчетах. Существуют промышленно изготовленные номограммы, например, для вычисления углов установки резца на заточном станке, для определения процентного содержания трех веществ в данной смеси, для расчета скорости течения воды в реках и каналах, для вычисления площадей и объемов, для расчета параметров радиоламп и т.д.

Разработка теории номографических построений началась в XIX в. Первой была создана теория прямолинейных сетчатых номограмм французским математиком Л. Лаланом в 1843 г. Основания общей теории заложил его соотечественник М. Окань в 1884-1894 гг. Советскую номографическую школу создал Н. А. Глаголев (1888-1945). Ему принадлежит большая заслуга в деле организации номографирования инженерных расчетов.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ НОМОГРАММ В ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ МЕДИЦИНЕ.

Научный руководитель ─ учитель математики

Русская классическая гимназия №2, г. Томск

ПЛАН

1. Понятие о номографии.

2. Номограмма переносимости низких температур в зависимости от теплоизолирующих свойств одежды.

3. Расчет времени переносимости человеком холода в одежде с различной теплоизоляцией при разнообразных условиях и физической нагрузке.

4. Математическое моделирование вопросов выживания человека в холодной воде.

5. Заключение.

6. Используемая литература.

1. ПОНЯТИЕ О НОМОГРАФИИ

На производстве, в технике, медицине, в военном деле при вычислениях массового характера широко применяются номограммы - специальные чертежи, дающие возможность быстро получать готовые результаты сложных вычислений.

Номография - часть математики, которая устанавливает способы построения и использования номограмм - позволяет производить математическое моделирование различных видов деятельности человека. Творцом общей теории номограмм является французский математик Морис Окань (1862 – 1932), опубликовавший ряд работ по теории «считающих чертежей». Он и назвал их «номограммами» (от греческого номос - закон, грамма – запись). Основную роль в построении номограмм играет градуирование шкал. С помощью номограмм можно быстро выполнить расчеты, которые позволяют осуществить контроль различных производственных процессов, принять правильные управленческие решения в экстремальных ситуациях, помогают ускорить постановку диагноза заболеваний человека, определить возможный исход поражений при воздействии неблагоприятных факторов среды на организм.

Математическое моделирование с помощью номограмм в медицине, в том числе и экстремальной, осуществляется по следующей схеме:

1. Выявляется математическое правило, на основании которого строится номограмма – формула или таблица, с помощью которой задана некоторая определенная функция;

2. Устанавливается область определения функции;

3. Отбираются значения параметра, для которых строятся графики функции;

4. Строится график функции для каждого значения параметра.

Я решила изучить применение данной схемы в медицинской практике, рассмотрев построение номограмм при изучении вопросов выживания человека в экстремальных ситуациях, связанных с воздействием на организм низких температур.

2. НОМОГРАММА ПЕРЕНОСИМОСТИ

НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТЕПЛОИЗОЛИРУЮЩИХ СВОЙСТВ ОДЕЖДЫ

Где бы ни оказались люди, терпящие бедствия, - среди льдов Центрального полярного бассейна или в заснеженной тундре, - главным их врагом с первых же минут становится холод. Борьба с холодом, с воздействием на организм низких температур - важнейшая проблема автономного существования человека, особенно зимой.

Очевидно, что большое значение в предупреждении поражений холодом будет играть одежда, которая для пребывания на морозе должна обладать низкой теплопроводностью и высокой воздухопроницаемостью. Существует прямая зависимость времени, в течение которого организм человека сохраняет тепловой комфорт, от величины температуры окружающей среды и теплоизолирующих свойств одежды. Эта зависимость иллюстрируется номограммой (рис. 1).

На графике А, данной номограммы видно, что человек, одетый в летний комбинезон, при температуре минус 5˚ будет испытывать тепловой комфорт не более получаса. Столько же времени пройдет, если его одеть в шерстяное белье и ватную куртку при наружной температуре воздуха минус 30˚ (Б) или комплект, состоящий из шерстяного белья, свитера и меховой куртки с брюками при температуре минус 50˚ (В). А если добавить к меховой куртке подстежку (Г), человек начнет мерзнуть через 45-60 минут. Номограмма американского ученого С. Лутц показывает, что рано или поздно теплопотери окажутся больше, чем теплопродукция, и начнется охлаждение организма. Процесс этот начинает быстро развиваться при температуре -12˚.

Мною был проведен опыт, доказывающий что эта номограмма действительно верна: несколько человек, одетых в летнюю одежду при температуре минус 5˚ вышли на улицу. Большинство из них испытывало тепловой комфорт около 20-25 минут, и лишь два человека смогли испытывать тепловой комфорт 25-30 минут. При температуре минус 30˚ люди, одетые в теплую ватную куртку, шерстяные свитера, ватные брюки испытывали тепловой комфорт в течение 20-25 минут. К сожалению, опыт при температуре минус 50˚ мне провести не удалось. Но проведенные мной опыты доказали, что номограмма составлена верно.

3. РАСЧЕТ ВРЕМЕНИ ПЕРЕНОСИМОСТИ ЧЕЛОВЕКОМ ХОЛОДА

В ОДЕЖДЕ С РАЗЛИЧНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ ПРИ РАЗНООБРАЗНЫХ УСЛОВИЯХ И ФИЗИЧЕСКОЙ НАГРУЗКЕ

Российские ученые В. И Кричагин, и А. И Резников составили специальную номограмму для расчетов ориентировочного времени переносимости человеком холода в одежде с различной теплоизоляцией при разнообразных условиях и физической нагрузке. В основу номограммы была положена формула:

Q=http://pandia.ru/text/80/162/images/image003_157.gif" width="11" height="20 src=">/час, обеспечивающая состояние комфорта у человека, находящегося в состоянии покоя, при теплообразовании 50ккал/м/час; thttp://pandia.ru/text/80/162/images/image005_76.jpg" width="420" height="397">

Вторая (нижняя) часть номограммы позволяет вычислить дефицит тепла в организме по формуле Д = Q – M, где Д - дефицит тепла в организме (Д, равное 80 ккал/час, соответствует переходу в состояние дискомфорта II степени, а Д, равное 180 ккал/час - III степени; Q - общие теплопотери (в ккал/час) организма, определяемые по верхней части номограммы; M-теплопродукция организма (в ккал/час). Пользуясь этой номограммой, можно решать любые задачи по прогнозированию допустимых интервалов времени пребывания человека на холоде.

Выбранная величина теплоизоляции одежды откладывается на шкале I. На этом уровне проводится горизонталь до пересечения с линией, обозначающей заданную температуру воздуха. Из этой точки опускается перпендикуляр до дугообразной линии, которая имеет соответствующие обозначение уровня физической нагрузки (в ккал/час); из последней точки проводится горизонталь до пересечения с правой или левой шкалой, где указано время наступления дискомфорта II или III степеней, при которых создается угроза трудоспособности человека.

Если числовые значения энерготрат находятся правее вертикали, проведенной от первой точки пересечения в нижнюю половину номограмм, то это значит, что теплозатрата через данную одежду недостаточна и организм будет перегреваться. Таким образом, по номограмме можно получать и количественную характеристику перегревания организма.

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОПРОСОВ ВЫЖИВАНИЯ ЧЕЛОВЕКА В ХОЛОДНОЙ ВОДЕ

Математическое моделирование вопросов выживания человека в холодной воде является чрезвычайно важной задачей и прежде всего для организации и проведения спасательных и медицинских мероприятий.

Известно, что даже в тропиках, где температура океанской воды относительно высока, время пребывания в ней человека ограничено, поскольку она все-таки ниже температуры тела. В результате организм непрерывно теряет тепло и температура тела, постепенно снижаясь, рано или поздно достигает критического предела, при котором невозможна жизнедеятельность организма и его систем. И это не случайно, ведь теплопроводность воды в 27 раз больше, чем воздуха. При температуре воды 22˚ человек за 4 минуты теряет 100 ккал, т. е. примерно столько же, сколько на воздухе при той же температуре за час.

Известно, что в апреле 1912 года при гибели «Титаника» от столкновения с айсбергом , спасательные суда, приняв сигнал бедствия, прибыли на место катастрофы всего через 1 час 50 минут. Они подняли на борт людей, находившихся в шлюпках. Но ни одного из 1489 пассажиров оказавшихся в воде, спасти не удалось.

Американские ученые Г. Смит и Е. Хэме составили номограмму для расчета времени выживания в холодной воде.

Номограмма учитывает характер одежды, теплообразование, вес человека и, наконец, площадь тела, погруженного в воду. В примере, обозначенном мной в номограмме сплошной линией, человек, имеющий теплоизоляцию, равную Н = 0.30 кло, находящийся в воде с t = 4˚ теряет 610 ккал/кв. м /час. Теплопродукция составляет , 400 ккал/кв. м/час, дефицит тепла - 210 ккал/кв. м/час; площадь тела, погружаемого в воду - 1,75 кв. м. Уменьшение теплосодержания организма в час должно составлять 365-400 ккал/час. При весе 75 кг (В) температура тела будет падать в час на 6˚. Если за предельно низкую температуру Тула принять 31˚, то человек может находиться в воде при 4˚ в течение 1 часа.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из выше разобранных мной номограмм, можно сделать вывод, что математическое моделирование с помощью номограмм может быть широко использовано для выполнения практических расчетов в различных областях медицины, а также при конструировании и испытании одежды для работы в условиях низких или высоких температур.

6. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Волович в экстремальных условиях природной среды. – М., Мысль, 1990.

2. , Усков вопросы работоспособности и жизнедеятельности человека при автономном существовании в условиях низких температур. – Фрунзе, Илим, 1987.

3. Шапиро задач с практическим содержанием в преподавании математики. – М., Просвещение, 1998.