Моделирование процессов и систем

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ

В учебнике рассматриваются основы моделирования процессов и систем. Излагаются принципы математического и компьютерного моделирования систем. Рассматриваются основные теоретические сведения генерирования случайных последовательностей, критериев проверки случайности наблюдений. Излагаются основные аспекты статистического моделирования, моделирования марковских случайных процессов, идентификации объектов, решения задач детерминированного линейного оптимального управления, принципы построения моделирующих алгоритмов на примерах систем массового обслуживания. Приводятся основные положения имитации случайных процессов, обработки результатов моделирования и многое другое.

1. Основы моделирования систем.. 4

1.1. Модели и моделирование. 4

1.2. Прикладные аспекты моделирования. 14

1.3. Основные свойства модели и моделирования. 16

2. Математическое и компьютерное моделирование. 19

2.1. Классификация видов моделирования. 19

2.2. Математическое моделирование сложных систем.. 21

2.3. Имитация случайных величин и процессов. 25

2.4. Основы математического моделирования. 27

2.5. Компьютерное моделирование. 32

3. Эволюционное моделирование и генетические алгоритмы.. 39

3.1. Основные атрибуты эволюционного моделирования. 39

3.3. Генетические алгоритмы.. 45

4. Генерирование случайных последовательностей. 48

4.1. Генерирование равномерно распределенных случайных чисел. 48

4.2. Основные критерии проверки случайных наблюдений. 56

4.3. Эмпирические критерии. 60

4.4. Численные распределения. 63

4.5. Признаки случайной последовательности. 67

5. Статистическое моделирование. 69

5.1. Введение. 69

5.2. Нормальное распределение. 70

5.3. Оценка максимального правдоподобия. 73

5.4. Метод наименьших квадратов. 74

6. Цепи Маркова. 77

6.1. Марковский процесс с дискретным временем.. 78

6.2. Марковские случайные процессы с непрерывным временем.. 87

6.3. Математический аппарат теории цепей Маркова. 91

6.4. Типовые задачи применения цепей Маркова. 93

6.5. Определение матрицы M среднего времени перехода. 97

7. Каноническое разложение случайного процесса. 104

7.1. Теоретические сведения. 104

7.2. Каноническое разложение случайного процесса в задачах. 105

8. Идентификация динамических объектов. 108

8.1. Общие положения идентификации математических моделей. 108

8.2. Обобщенная процедура идентификации. 109

9. Задачи детерминированного линейного оптимального управления. 120

9.1. Теоретические сведения. 120

9.2. Решение задач управления с применением уравнения Риккати. 121

10. Общие принципы построения моделирующих алгоритмов. 134

10.1. Принцип Δt. 135

10.2. Принцип особых состояний. 140

10.3. Принцип последовательной проводки заявок. 142

10.5. Объектный принцип моделирования. 147

11. Имитация случайных процессов. 149

11.1. Имитация нестационарных случайных процессов. 149

11.2. Имитация стационарных СП.. 150

11.3. Имитация стационарных нормальных СП.. 151

12. Обработка результатов моделирования. 153

12.1. Оценка вероятности. 153

12.2. Оценка математического ожидания и дисперсии . 154

12.3. Оценка характеристик случайного процесса. 154

12.4. Количество реализаций, обеспечивающих заданную точность. 155

13. Стохастическое линейное оптимальное регулирование. 157

13.1. Теоретические основы стохастического регулирования. 157

13.2. Решение задач стохастического линейного оптимального регулирования. 159

Литература. 166

1. Основы моделирования систем

1.1. Модели и моделирование

Модель и моделирование - универсальные понятия, атрибуты одного из наиболее мощных методов познания в любой профессиональной области, познания системы, процесса, явления.

Вид модели и методы ее исследования больше зависят от информационно - логических связей элементов и подсистем моделируемой системы, ресурсов, связей с окружением, а не от конкретного наполнения системы.

Модельный стиль мышления позволяет вникать в структуру и внутреннюю логику моделируемой системы.

Построение модели - системная задача, требующая анализа и синтеза исходных данных, гипотез, теорий, знаний специалистов. Системный подход позволяет не только построить модель реальной системы, но и использовать эту модель для оценки (например, эффективности управления или функционирования) системы.

Модель - это объект или описание объекта, системы для замещения одной системы (оригинала) другой системой для лучшего изучения оригинала или воспроизведения каких-либо его свойств.

Например, отображая физическую систему на математическую систему, получим математическую модель физической системы. Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях, гипотезах.

Пример. Рассмотрим физическую систему: тело массой m скатывается по наклонной плоскости с ускорением a , на которое воздействует сила F .

Исследуя такие системы, Ньютон получил математическое соотношение: F = m*a . Это физико-математическая модель системы или математическая модель физической системы скатывающегося тела.

При описании этой системы приняты следующие гипотезы:

· поверхность идеальна (коэффициент трения равен нулю);

Классификацию моделей проводят по различным критериям.

Модель называется статической , если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" системы, ее срез.

Пример. Закон Ньютона F=a*m - это статическая модель движущейся с ускорением a материальной точки массой m . Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

Модель динамическая , если среди ее параметров есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Пример. Динамическая модель закона Ньютона будет иметь вид:

Модель дискретная , если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Пример. Если рассматривать только t=0, 1, 2, …, 10 (сек), то модель

или числовая последовательность: S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, :, S10=50g может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.

Модель непрерывная , если она описывает поведение системы для всех моментов времени некоторого промежутка времени.

Пример. Модель S=gt2/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).

Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.

Пример. Пусть модель экономической системы производства товаров двух видов 1 и 2, в количестве x1 и x2 единиц и стоимостью каждой единицы товара a1 и a2 на предприятии описана в виде соотношения:

a1x1 + a2x2 = S,

где S - общая стоимость произведенной предприятием всей продукции (вида 1 и 2). Можно ее использовать в качестве имитационной модели , по которой можно определять (варьировать) общую стоимость S в зависимости от тех или иных значений объемов и стоимости производимых товаров.

Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае - модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).

Пример. Приведенные выше физические модели - детерминированные. Если в модели S = gt2 / 2, 0 < t < 100 мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой p при падении тела:

S(p) = g(p) t2 / 2, 0 < t < 100,

то мы получили бы стохастическую модель (уже не свободного) падения.

Модель функциональная , если она представима в виде системы каких - либо функциональных соотношений.

Модель теоретико-множественная , если она представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Пример . Пусть задано множество

X = {Николай, Петр, Николаев, Петров, Елена, Екатерина, Михаил, Татьяна} и отношения:

· Николай - супруг Елены,

· Екатерина - супруга Петра,

· Татьяна - дочь Николая и Елены,

· Михаил - сын Петра и Екатерины,

· семьи Михаила и Петра дружат друг с другом.

Тогда множество X и множество перечисленных отношений Y могут служить теоретико-множественной моделью двух дружественных семей.

Модель называется логической, если она представима предикатами, логическими функциями.

Например, совокупность логических функций вида:

z = x https://pandia.ru/text/78/388/images/image004_10.png" alt="http://*****/img/symbols/or.gif" width="9 height=12" height="12"> x, p = x y

есть математическая логическая модель работы дискретного устройства.

Модель игровая, если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию между участниками игры.

Пример. Пусть игрок 1 - добросовестный налоговый инспектор , а игрок 2 - недобросовестный налогоплательщик. Идет процесс (игра) по уклонению от налогов (с одной стороны) и по выявлению сокрытия уплаты налогов (с другой стороны). Игроки выбирают натуральные числа i и j (i, j n) , которые можно отождествить, соответственно, со штрафом игрока 2 за неуплату налогов при обнаружении игроком 1 факта неуплаты и с временной выгодой игрока 2 от сокрытия налогов. Если в качестве модели взять матричную игру с матрицей выигрышей порядка n , то в ней каждый элемент определяется по правилу aij = |i - j| . Модель игры описывается этой матрицей и стратегией уклонения и поимки. Эта игра - антагонистическая .

Модель алгоритмическая, если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим функционирование, развитие системы.

Cледует помнить, что не все модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически.

Пример. Моделью вычисления суммы бесконечного убывающего ряда чисел может служить алгоритм вычисления конечной суммы ряда до некоторой заданной степени точности. Алгоритмической моделью корня квадратного из числа x может служить алгоритм вычисления его приближенного значения по известной рекуррентной формуле.

Модель называется структурной, если она представима структурой данных или структурами данных и отношениями между ними.

Модель называется графовой, если она представима графом или графами и отношениями между ними.

Модель называется иерархической (древовидной), если представима некоторой иерархической структурой (деревом).

Пример. Для решения задачи нахождения маршрута в дереве поиска можно построить, например, древовидную модель (рис. 1.2):

MsoNormalTable">

Таблица работ при строительстве дома

Операция

Время выполнения (дни)

Предшествующие операции

Дуги графа

Расчистка участка

Закладка фундамента

Расчистка участка (1)

Возведение стен

Закладка фундамента (2)

Возведение стен (3)

Штукатурные работы

Монтаж электропроводки (4)

Благоустройство территории

Возведение стен (3)

Отделочные работы

Штукатурные работы (5)

Настил крыши

Возведение стен (3)

Сетевая модель (сетевой график) строительства дома дана на рис. 1.3.

Синтаксис" href="/text/category/sintaksis/" rel="bookmark">синтаксическими .

Например, правила дорожного движения - языковая, структурная модель движения транспорта и пешеходов на дорогах.

Пусть B - множество производящих основ существительных, C - множество суффиксов, P - прилагательных, bi – корень слова; "+" - операция конкатенации слов, ":=" - операция присваивания, "=>" - операция вывода (выводимости новых слов), Z - множество значений (смысловых) прилагательных.

Языковая модель M словообразования может быть представлена:

= + <сi>.

При bi - "рыб(а)", сi - "н(ый)", получаем по этой модели pi - "рыбный", zi - "приготовленный из рыбы".

Модель визуальная, если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике.

Например, на экране компьютера часто пользуются визуальной моделью того или иного объекта.

Модель натурная, если она есть материальная копия объекта моделирования.

Например, глобус - натурная географическая модель земного шара.

Модель геометрическая, графическая, если она представима геометрическими образами и объектами.

Например, макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома. Вписанный в окружность многоугольник дает модель окружности. Именно она используется при изображении окружности на экране компьютера. Прямая линия является моделью числовой оси, а плоскость часто изображается, как параллелограмм.

Модель клеточно-автоматная, если она представима клеточным автоматом или системой клеточных автоматов.

Клеточный автомат - дискретная динамическая система, аналог физического (непрерывного) поля. Клеточно-автоматная геометрия - аналог евклидовой геометрии. Неделимый элемент евклидовой геометрии - точка, на основе ее строятся отрезки, прямые, плоскости и т. д.

Неделимый элемент клеточно-автоматного поля - клетка, на основе её строятся кластеры клеток и различные конфигурации клеточных структур. Представляется клеточный автомат равномерной сетью клеток ("ячеек") этого поля. Эволюция клеточного автомата разворачивается в дискретном пространстве - клеточном поле.

Смена состояний в клеточно-автоматном поле происходит одновременно и параллельно, а время идет дискретно. Несмотря на кажущуюся простоту их построения, клеточные автоматы могут демонстрировать разнообразное и сложное поведение объектов, систем.

В последнее время они широко используются при моделировании не только физических, но и социально-экономических процессов.

1.2. Прикладные аспекты моделирования

Модель называется фрактальной, если она описывает эволюцию моделируемой системы эволюцией фрактальных объектов.

Если физический объект однородный (сплошной), т. е. в нем нет полостей, то можно считать, что его плотность не зависит от размера. Например, при увеличении параметра объекта R до 2R масса объекта увеличится в R2 раз, если объект - круг и в R3 раз, если объект - шар, т. е. существует связь массы и длины. Пусть n - размерность пространства. Объект, у которого масса и размер связаны называется "компактным". Его плотность можно рассчитать по формуле:

Если объект (система) удовлетворяет соотношению M(R) ~ Rf(n) , где f(n) < n , то такой объект называется фрактальным.

Его плотность не будет одинаковой для всех значений R, то она масштабируется согласно формуле:

Так как f(n) - n < 0 по определению, то плотность фрактального объекта уменьшается с увеличением размера R, а ρ(R) является количественной мерой разряженности объекта.

Пример фрактальной модели - множество Кантора. Рассмотрим отрезок . Разделим его на 3 части и выбросим средний отрезок. Оставшиеся 2 промежутка опять разделим на три части и выкинем средние промежутки и т. д. Получим множество, называемое множеством Кантора. В пределе получаем несчетное множество изолированных точек (рис. 1.4 )

DIV_ADBLOCK135">

Модель можно представить формально в виде: М = < O, А, Z, B, C > .

Основные свойства любой модели :

целенаправленность - модель всегда отображает некоторую систему, т. е. имеет цель такого отображения; конечность - модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и ресурсы моделирования конечны; упрощенность - модель отображает только существенные стороны объекта и она должна быть проста для исследования или воспроизведения; наглядность, обозримость основных ее свойств и отношений; доступность и технологичность для исследования или воспроизведения; информативность - модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и должна давать возможность получать новую информацию; полнота - в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования; управляемость - модель должна иметь хотя бы один параметр, изменениями которого можно имитировать поведение моделируемой системы в различных условиях.

Жизненный цикл моделируемой системы:

сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предварительный модельный анализ; проектирование структуры и состава моделей (подмоделей); построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей; исследование модели - выбор метода исследования и разработка алгоритма (программы) моделирования; исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели; оценка средств моделирования (затраченных ресурсов); интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно-следственных связей в исследуемой системе; генерация отчетов и проектных (народно-хозяйственных) решений; уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью модели и моделирования.

Моделирование – есть метод системного анализа.

Часто в системном анализе при модельном подходе исследования может совершаться одна методическая ошибка, а именно, - построение корректных и адекватных моделей (подмоделей) подсистем системы и их логически корректная увязка не дает гарантий корректности построенной таким способом модели всей системы.

Модель, построенная без учета связей системы со средой, может служить подтверждением теоремы Геделя, а точнее, ее следствия, утверждающего, что в сложной изолированной системе могут существовать истины и выводы, корректные в этой системе и некорректные вне ее.

Наука моделирования состоит в разделении процесса моделирования (системы, модели) на этапы (подсистемы, подмодели), детальном изучении каждого этапа, взаимоотношений , связей, отношений между ними и затем эффективного описания их с максимально возможной степенью формализации и адекватности.

В случае нарушения этих правил получаем не модель системы, а модель "собственных и неполных знаний".

Моделирование рассматривается, как особая форма эксперимента, эксперимента не над самим оригиналом, т. е. простым или обычным экспериментом, а над копией оригинала. Здесь важен изоморфизм систем оригинальной и модельной.

Изоморфизм - равенство, одинаковость, подобие.

Модели и моделирование применяются по основным направлениям:

в обучении, в познании и разработке теории исследуемых систем; в прогнозировании (выходных данных, ситуаций, состояний системы); в управлении (системой в целом, отдельными ее подсистемами); в автоматизации (системы или ее отдельных подсистем).

2. Математическое и компьютерное моделирование

2.1. Классификация видов моделирования

Рис. 2.1. Классификация видов моделирования

При физическом моделировании используется сама система, либо подобная ей в виде макета, например, летательный аппарат в аэродинамической трубе.

Математическое моделирование есть процесс установления соответствия реальной системе S математической модели M и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики реальной системы.

При аналитическом моделировании процессы функционирования элементов записываются в виде математических соотношений (алгебраических, интегральных, дифференциальных , логических и др.).

Аналитическая модель может быть исследована методами:

· аналитическими (устанавливаются явные зависимости, получаются, в основном, аналитические решения);

· численными (получаются приближенные решения);

Компьютерное математическое моделирование формулируется в виде алгоритма (программы для ЭВМ), что позволяет проводить над моделью вычислительные эксперименты.

Численное моделирование использует методы вычислительной математики.

Статистическое моделирование использует обработку данных о системе с целью получения статистических характеристик системы.

Имитационное моделирование воспроизводит на ЭВМ (имитирует) процесс функционирования исследуемой системы, соблюдая логическую и временную последовательность протекания процессов, что позволяет узнать данные о состоянии системы или отдельных ее элементов в определенные моменты времени.

Применение математического моделирования позволяет исследовать объекты, реальные эксперименты над которыми затруднены или невозможны.

Экономический эффект при математическом моделировании состоит в том, что затраты на проектирование систем в среднем сокращаются в 50 раз.

2.2. Математическое моделирование сложных систем

Будем считать, что элемент s есть некоторый объект, обладающий определенными свойствами, внутреннее строение которого для целей исследования не играет роли, например, самолет для моделирования полета – не элемент, а для моделирования работы аэропорта – элемент.

Связь l между элементами есть процесс их взаимодействия, важный для целей исследования.

Система S – совокупность элементов со связями и целью функционирования F.

Сложная система – это система, состоящая из разнотипных элементов с разнотипными связями.

Большая система – это система, состоящая из большого числа однотипных элементов с однотипными связями.

В общем виде систему математически можно представить в виде:

Автоматизированная система S A есть сложная система с определяющей ролью элементов двух типов: технических средств S т и действий человека S H :

Здесь s0 - остальные элементы системы.

Декомпозиция системы есть разбиение системы на элементы или группы элементов с указанием связей между ними, неизменными во время функционирования системы.

Практически все системы рассматриваются функционирующими во времени, поэтому определим их динамические характеристики.

Состояние – это множество характеристик элементов системы, изменяющихся во времени и важных для целей ее функционирования.

Процесс (динамика) – это множество значений состояний системы, изменяющихся во времени.

Цель функционирования есть задача получения желаемого состояния системы. Достижение цели обычно влечет целенаправленное вмешательство в процесс функционирования системы, которое называется управлением .

В основе моделирования лежит теория подобия, которая утвер-ждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При моделирова-нии абсолютное подобие не имеет места и стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функ-ционирования объекта.

Классификационные признаки. В качестве одного из первых при-знаков классификации видов моделирования можно выбрать сте-пень полноты модели и разделить модели в соответствии с этим признаком на полные, неполные и приближенные. В основе полного моделирования лежит полное подобие, которое проявляется как во времени, так и в пространстве. Для неполного моделирования характерно неполное подобие модели изучаемому объекту. В основе приближенного моделирования лежит приближенное подобие, при котором некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерми-нированные и стохастические, статические и динамические, диск-ретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминирован-ное моделирование отображает детерминированные процессы, т. е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероят-ностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характе-ристики, т. е. набор однородных реализаций. Статическое моде-лирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделировании используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

В зависимости от формы представления объекта (системы J можно выделить мысленное и реальное моделирование.

Мысленное моделирование часто является единственным способом моделирования объектов, которые либо практически нереализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для их физического создания. Например, на базе мысленного моделирования могут быть проанализированы многие ситуации микромира, которые не поддаются физическому эксперименту. Мысленное моделирование может быть реализовано в вид наглядного, символического и математического.

Аналоговое моделирование основывается на применении анало-гий различных уровней. Наивысшим уровнем является полная ана-логия, имеющая место только для достаточно простых объектов. С усложнением объекта используют аналогии последующих уров-ней, когда аналоговая модель отображает несколько либо только одну сторону функционирования объекта.

Существенное место при мысленном наглядном моделировании занимает макетирование. Мысленный макет может применяться в случаях, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию, либо может предшество-вать проведению других видов моделирования. В основе постро-ения мысленных макетов также лежат аналогии, однако обычно базирующиеся на причинно-следственных связях между явлениями и процессами в объекте. Если ввести условное обозначение отдель-ных понятий, т. е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий -- составлять от-дельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объ-единения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в от-дельных символах дать описание какого-то реального объекта.

В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус. Последний образуется из набора входящих понятий, причем этот набор должен быть фиксированным. Следует отметить, что между тезаурусом и обычным словарем имеются принципиальные раз-личия. Тезаурус -- словарь, который очищен от неоднозначности, т. е. в нем каждому слову может соответствовать лишь единствен-ное понятие, хотя в обычном словаре одному слову могут соответ-ствовать несколько понятий.

Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью опреде-ленной системы знаков или символов.

Математическое моделирование. Для исследования характерис-тик процесса функционирования любой системы S математичес-кими методами, включая и машинные, должна быть проведена формализация этого процесса, т. е. построена математическая мо-дель.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристи-ки рассматриваемого реального объекта. Вид математической мо-дели зависит как от природы реального объекта, так и задач ис-следования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая,

Рис 1.

описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближе-ния к действительности. Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинирован-ное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде неко-торых функциональных соотношений (алгебраических, интегродиф-ференциальных, конечно-разностных и т. п.) или логических усло-вий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в) качест-венным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти неко-торые свойства решения (например, оценить устойчивость реше-ния).

В отдельных случаях исследования системы могут удовлетво-рить и те выводы, которые можно сделать при использовании качественного метода анализа математической модели. Такие каче-ственные методы широко используются, например, в теории авто-матического управления для оценки эффективности различных ва-риантов систем управления.

Определение модели. Общая классификация основных видов моделирования.

Модель представляет собой абстрактное описание системы (объекта, процесса, проблемы, понятия) в некоторой форме, отличной от формы их реального существования.

Определение 2. Моделирование представляет собой один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении или воспроизведении тех или иных свойств реальных объектов, предметов и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с помощью абстрактного описания в виде изображения, плана, карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ.

Итак, в процессе моделирования всегда существует оригинал (объект) и модель , которая воспроизводит (моделирует, описывает, имитирует) некоторые черты объекта.

Стадии познания объекта, а также формы соответствия модели и оригинала могут быть различными:

1) моделирование как познавательный процесс, содержащий пе­реработку информации, поступающей из внешней среды, о проис­ходящих в ней явлениях, в результате чего в сознании появляются образы, соответствующие объектам;

2) моделирование, заключающееся в построении некоторой си­стемы-модели (второй системы), связанной определенными соот­ношениями подобия с системой-оригиналом (первой системой), причем в этом случае отображение одной системы в другую являет­ся средством выявления зависимостей между двумя системами, отраженными в соотношениях подобия, а не результатом непосред­ственного изучения поступающей информации.

Моделирование основано на наличии у многообразия естественных и искусственных систем, отличающихся как целевым назначением, так и физическим воплощением, сходства или подобия некоторых свойств: геометрических, структурных, функциональных, поведенческих. Это сходство может быть полным (изоморфизм) и частичным (гомоморфизм).

Моделирование начинается с формирования предмета исследований - сис­темы понятий, отражающей существенные для моделирования характеристи­ки объекта. Эта задача является достаточно сложной, что подтверждается различной интерпретацией в научно-технической литературе таких фундамен­тальных понятий, как система, модель, моделирование. Подобная неоднознач­ность не говорит об ошибочности одних и правильности других терминов, а отражает зависимость предмета исследований (моделирования) как от рас­сматриваемого объекта, так и от целей исследователя. Отличительной особен­ностью процесса моделирования является его многофункциональность и многообразие способов использования; оно становится неотъемлемой частью всего жизненного цикла системы. Объясняется это в первую очередь технологи­чностью моделей, реализованных на базе средств вычислительной техники: достаточно высокой скоростью получения результатов моделирования и их сравнительно невысокой себестоимостью.

Классификация видов моделирования систем

Приведем общую классификацию основных видов моделирования :

· концептуальное моделирование – представление системы с помощью специальных знаков, символов, операций над ними или с помощью естественных или искусственных языков,

· физическое моделирование – моделируемый объект или процесс воспроизводится исходя из соотношения подобия, вытекающего из схожести физических явлений;

· структурно – функциональное – моделями являются схемы (блок-схемы), графики, диаграммы, таблицы, рисунки со специальными правилами их объединения и преобразования;

· математическое (логико-математическое) моделирование – построение модели осуществляется средствами математики и логики;

· имитационное (программное) моделирование – при котором логико-математическая модель исследуемой системы представляет собой алгоритм функционирования системы, программно-реализуемый на компьютере.

Указанные виды моделирования могут применяться самостоятельно или одновременно, в некоторой комбинации (например, в имитационном моделировании используются практически все из перечисленных видов моделирования или отдельные приемы).

В зависимости от формы представления объекта мо­делирование классифицируется на мысленное и реальное. Мыс­ленное моделирование применяется тогда, когда модели не реа­лизуемы в заданном интервале времени либо отсутствуют усло­вия для их физического создания (например, ситуации микроми­ра). При реальном моделировании используется возмож­ность исследования характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования проводятся как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик (при других значениях переменных и параметров, в другом масштабе времени и т. д.). Реальное моделирование является наиболее адекватным, но его возмож­ности ограничены. Например, проведение реального моделирова­ния АСУП требует, во-первых, наличия такой АСУ и, во-вторых, проведения экспериментов с управляемым объектом, т. е. пред­приятием, что в большинстве случаев невозможно.

Информационное моделирование (часто называемое кибернетическим) связано с исследованием моделей, в которых отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию и рассма­тривают реальный объект как «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируются некоторые связи между выходами и входами. Таким образом, в основе ин­формационных (кибернетических) моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что по­зволяет оценить поведение реального объекта. Для построения модели в этом случае необходимо выделить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выходом и воспроизвести данную функцию на имитационной модели, причем на совершенно другом математическом языке и, естественно, иной физической реализации процесса.

При имитационном моделировании реализующий мо­дель алгоритм воспроизводит процесс функционирования систе­мы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Основным преимуществом имитацион­ного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные мо­дели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при анали­тических исследованиях. В настоящее время имитационное моде­лирование - наиболее эффективный метод исследования, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проек­тирования.

Структурно-системное моделирование базируется на некоторых специфических особенностях структур определенного вида, используя их как средство исследования систем или разра­батывая на их основе с применением других методов формали­зованного представления систем (теоретико-множественных, ли­нгвистических и т. п.) специфические подходы к моделированию.

Структурно-системное моделирование включает:

методы сетевого моделирования;

сочетание методов структуризации с лингвистическими (язы­ковыми);

структурный подход в направлении формализации постро­ения и исследования структур разного типа (иерархических, мат­ричных, произвольных графов) на основе теоретико-множествен­ных представлений и понятия номинальной шкалы теории изме­рений.

Ситуационное моделирование основано на модельной теории мышления, в рамках которой можно описать основные механизмы регулирования процессов принятия решений. В ос­нове модельной теории мышления лежит представление о фор­мировании в структурах мозга информационной модели объекта и внешнего мира. Эта информация воспринимается человеком на базе уже имеющихся у него знаний и опыта. Целесообразное поведение человека строится путем формирования целевой ситу­ации и мысленного преобразования исходной ситуации в целе­вую. Основой построения модели является описание объекта в виде совокупности элементов, связанных между собой опреде­ленными отношениями, отображающими семантику предметной области. Модель объекта имеет многоуровневую структуру и представляет собой тот информационный контекст, на фоне которого протекают процессы управления. Чем богаче инфор­мационная модель объекта и выше возможности ее манипулиро­вания, тем лучше и многообразие качество принимаемых реше­ний при управлении.

Похожая информация.

ВВЕДЕНИЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ

Методологическая основа моделирования. Все то, на что направ­лена человеческая деятельность, называется объектом (лат. objection - предмет). Выработка методологии направлена на упо­рядочение получения и обработки информации об объектах, кото­рые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой.

В научных исследованиях большую роль играют гипотезы, т. е. определенные предсказания, основывающиеся на небольшом коли­честве опытных данных, наблюдений, догадок. Быстрая и полная проверка выдвигаемых гипотез может быть проведена в ходе специ­ально поставленного эксперимента. При формулировании и провер­ке правильности гипотез большое значение в качестве метода сужде­ния имеет аналогия.

Аналогией называют суждение о каком-либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть существенным и несущественным. Необходимо отметить, что понятия существен­ности и несущественности сходства или различия объектов условны и относительны. Существенность сходства (различия) зависит от уровня абстрагирования и в общем случае определяется конечной целью проводимого исследования. Современная научная гипотеза создается, как правило, по аналогии с проверенными на практике научными положениями. Таким образом, аналогия связывает гипо­тезу с экспериментом.

Гипотезы и аналогии, отражающие реальный, объективно суще­ствующий мир, должны обладать наглядностью или сводиться к удобным для исследования логическим схемам; такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явле­ний, называются моделями. Другими словами, модель (лат. modulus - мера) - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Компьютерная модель – это программная реализация математической модели, дополненная различными служебными программами (например, рисующими и изменяющими графические образы во времени). Компьютерная модель имеет две составляющие – программную и аппаратную. Программная составляющая так же является абстрактной знаковой моделью. Это лишь другая форма абстрактной модели, которая, однако, может интерпретироваться не только математиками и программистами, но и техническим устройством – процессором компьютера.

Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о свойствах объекта-оригинала путем изучения объекта-модели.

Таким образом, моделирование может быть определено как пред­ставление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью. Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моде­лями) и исследования свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования .

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

В настоящее время при анализе и синтезе сложных (больших) систем получил развитие системный подход, который отличается от классического (или индуктивного - путем перехода от частного к общему и синтезирует (конструирует) систему путем слияния ее компонент, разрабатыва­емых раздельно) подхода. В отличие от этого системный подход предполага­ет последовательный переход от общего к частному , когда в основе рассмотрения лежит цель, причем исследуемый объект выделяется из окружающей среды.

Понятие системы и элемента системы. Специалисты по проектированию и эксплуатации сложных систем имеют дело с системами управления различных уровней, обладающими общим свойством - стремлени­ем достичь некоторой цели. Эту особенность учтем в следующих определениях системы.

Система S - целенаправленное множество взаимосвязанных элементов любой природы.

Внешняя среда Е - множество существующих вне системы элементов любой природы, оказывающих влияние на систему или находящихся под ее воздей­ствием.

Понятие модели. Модель – представление объекта, системы или понятия, в некоторой форме, отличного от их реального существования.

Моделирование – во-первых, построение модели, во-вторых, изучение модели, в-третьих, анализ системы на основе данной модели.

При системном подходе к моделированию систем необходимо прежде всего четко определить цель моделирования . Применительно к вопросам моделирования цель возникает из требуемых задач моделирования, что позволяет по­дойти к выбору критерия и оценить, какие элементы войдут в со­здаваемую модель М. Поэтому необходимо иметь критерий отбора отдельных элементов в создаваемую модель.

Цели моделирования:

1) оценка – оценить действительные характеристики проектируемой или существующей системы, определить насколько система предлагаемой структуры будут соответствовать предъявляемым требованиям.

2) сравнение – произвести сравнение конкурирующих систем одного функционального назначения или сопоставить несколько вариантов построения одной и той же системы.

3) прогноз – оценить поведение системы при некотором предполагаемом сочетании рабочих условий.

4) анализ чувствительности – выявить из большого числа факторов, действующих на систему тем, которое в большей степени влияют на ее поведение и определяют ее показатели эффективности.

5) оптимизация – найти или установить такое сочетание действующих факторов и их величин, которое обеспечивает наилучшие показатели эффективности системы в целом.

1-4 задачи анализа, 5 - задача синтеза.

Подходы к исследованию систем . Важным для системного под­хода является определение структуры системы - совокупности связей между элементами системы, отражающих их взаимодейст­вие.

При структурном подходе выявляются состав выделенных эле­ментов системы S и связи между ними. Совокупность элементов и связей между ними позволяет судить о структуре системы. После­дняя в зависимости от цели исследования может быть описана на разных уровнях рассмотрения. Наиболее общее описание струк­туры - это топологическое описание, позволяющее определить в самых общих понятиях составные части системы и хорошо фор­мализуемое на базе теории графов.

Менее общим является функциональное описание, когда рас­сматриваются отдельные функции, т. е. алгоритмы поведения систе­мы, и реализуется функциональный подход, оценивающий функции, которые выполняет система, причем под функцией понимается свойство, приводящее к достижению цели.

Простой подход к изучению взаимосвязей между отдельными частями модели предусматривает рассмотрение их как отражение связей между отдельными подсистемами объекта. Такой классичес­кий подход может быть использован при создании достаточно простых моделей. Процесс синтеза модели М на основе классичес­кого (индуктивного) подхода представлен на рис. 1.1, а. Реальный объект, подлежащий моделированию, разбивается на отдель­ные подсистемы, т. е. выбираются исходные данные Д для моделирования и ставятся цели Ц, отображающие отдельные сто­роны процесса моделирования. По отдельной совокупности исход­ных данных Д ставится цель моделирования отдельной стороны функционирования системы, на базе этой цели формируется некото­рая компонента К будущей модели. Совокупность компонент объ­единяется в модель М.

Рис. 1.1. Процесс синтеза модели на основе классического (а) и системного (б) подходов

Таким образом, разработка модели М на базе классического подхода означает суммирование отдельных компонент в единую модель, причем каждая из компонент решает свои собственные задачи и изолирована от других частей модели. Поэтому классичес­кий подход может быть использован для реализации сравнительно простых моделей, в которых возможно разделение и взаимно неза­висимое рассмотрение отдельных сторон функционирования реаль­ного объекта. Для модели сложного объекта такая разобщенность решаемых задач недопустима, так как приводит к значительным затратам ресурсов при реализации модели на базе конкретных программно-технических средств. Можно отметить две отличитель­ные стороны классического подхода: наблюдается движение от частного к общему, создаваемая модель (система) образуется путем суммирования отдельных ее компонент и не учитывается возник­новение нового системного эффекта.

Процесс синтеза модели М на базе системного подхода условно представлен на рис. 1.1, б. На основе исходных данных Д, которые известны из анализа внешней системы, тех ограничений, которые накладываются на систему сверху либо исходя из возможностей ее реализации, и на основе цели функционирования формулируются исходные требования Т к модели системы S . На базе этих требова­ний формируются ориентировочно некоторые подсистемы П, эле­менты Э и осуществляется наиболее сложный этап синтеза - вы­бор В составляющих системы, для чего используются специальные критерии выбора КВ.

Стадии разработки моделей. На базе системного подхода может быть предложена и некоторая последовательность разработки мо­делей, когда выделяют две основные стадии проектирования: мак­ропроектирование и микропроектирование .

На стадии макропроектирования на основе данных о ре­альной системе S и внешней среде Е строится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ограничения для построения моде­ли системы, выбирается модель системы и критерии, позволяющие оценить адекватность модели М реальной системы S .

Стадия микропроектирования в значительной степени зави­сит от конкретного типа выбранной модели. В случае имитацион­ной модели необходимо обеспечить создание информационного, математического, технического и программного обеспечений систем моделирования.

Независимо от типа используемой модели М при ее построении необходимо руководствоваться рядом принципов системного под­ хода :

1) пропорционально-последовательное продвижение по этапам и направлениям создания модели;

2) согласование информаци­онных, ресурсных, надежностных и других характеристик;

3) пра­вильное соотношение отдельных уровней иерархии в системе моде­лирования;

4) целостность отдельных обособленных стадий постро­ения модели.

КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

Классификация видов модели­рования систем S приведена на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Классификация видов моделирования систем

Детерминирован­ное моделирование отображает процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероят­ностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характе­ристики, т. е. набор однородных реализаций. Статическое модели рование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описа­ния процессов, которые предполагаются дискретными, соответст­венно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерыв­ные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как диск­ретных, так и непрерывных процессов.

В зависимости от формы представления объекта (системы S ) можно выделить мысленное и реальное моделирование.

Мысленное моделирование часто является единственным спосо­бом моделирования объектов, которые либо практически нереализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне усло­вий, возможных для их физического создания. Например, на базе мысленного моделирования могут быть проанализированы многие ситуации микромира, которые не поддаются физическому экспери­менту. Мысленное моделирование может быть реализовано в виде наглядного, символического и математического .

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, от­ображающие явления и процессы, протекающие в объекте. В основу гипотетического моделирования исследователем закладывается не­которая гипотеза о закономерностях протекания процесса в реаль­ном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между вхо­дом и выходом изучаемого объекта. Гипотетическое моделирование используется, когда знаний об объекте недостаточно для по­строения формальных моделей.

Аналоговое моделирование основывается на применении анало­гий различных уровней. Наивысшим уровнем является полная ана­логия, имеющая место только для достаточно простых объектов. С усложнением объекта используют аналогии последующих уров­ней, когда аналоговая модель отображает несколько либо только одну сторону функционирования объекта.

Существенное место при мысленном наглядном моделировании занимает макетирование. Мысленный макет может применяться в случаях, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию, либо может предшество­вать проведению других видов моделирования. Если ввести условное обозначение отдель­ных понятий, т. е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий - составлять от­дельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объ­единения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в от­дельных символах дать описание какого-то реального объекта.

В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус. Последний образуется из набора входящих понятий, причем этот набор должен быть фиксированным. Следует отметить, что между тезаурусом и обычным словарем имеются принципиальные раз­личия. Тезаурус - словарь, в котором каждому слову может соответствовать лишь единствен­ное понятие, хотя в обычном словаре одному слову могут соответ­ствовать несколько понятий.

Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью опреде­ленной системы знаков или символов.

Математическое моделирование. Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристи­ки рассматриваемого реального объекта. Вид математической мо­ли зависит как от природы реального объекта, так и задач ис­следования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегродиференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий.

Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения о состоянии процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы S .