Метод лагранжа вариации произвольных постоянных. Метод вариации произвольных постоянных

30.09.2019

Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:

1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.

2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).

3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).

Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).

y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:

2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда

Полученные выражения подставляем в условие (I):

Интегрируем обе части уравнения:

здесь С — уже некоторая новая константа.

3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.

1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:

Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:

Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.

2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии

Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:

Умножим обе части уравнения на

Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:

Здесь С уже не функция, а обычная константа.

3) В общее решение однородного уравнения

подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения .

y’x+y=-xy².

Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:

Подставляем полученные выражения в условие (II):

Упрощаем:

Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:

Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.

3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.

Примеры для самопроверки:

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:y’-2y=x.

1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:

Отсюда находим y:

Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C"(x)):

Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:

Теперь подставляем u, du и v в формулу:

Здесь С =const.

3) Теперь подставляем в решение однородного

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1) .
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка , также применим и для уравнений более высоких порядков.

Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.

Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений . Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2) .
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3) .
Здесь - произвольные постоянные; - n линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Шаг 2. Вариация постоянных - замена постоянных функциями

На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x :
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4) .

Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.

Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения :
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от , а затем - члены с производными от :

.
Наложим на функции первое условие:
(5.1) .
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1) .

Тем же способом находим вторую производную:

.
Наложим на функции второе условие:
(5.2) .
Тогда
(6.2) .
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций , к нулю.

Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k) ,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k) .
Здесь .

Находим n -ю производную:
(6.n)
.

Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7) .

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x . Интегрируя, получим:
.
Здесь - уже не зависящие от x постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.

Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений , если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
. (2)
Пусть y 1 ,y 2 ,.., y n - фундаментальная система решений, а - общее решение соответствующего однородного уравнения L(y)=0 . Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной - восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна
. (5)
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, n-я производная равна
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
. (7)
Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции y j , j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C" j (x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y 1 ,y 2 ,..,y n соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C" j (x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и C j (x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

Пример №1 . Найдём общее решение уравнения y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y"" + 4y" + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y 1 = e - x и y 2 = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x . Для нахождения производных C" 1 , C" 2 составляем систему уравнений (8)

решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем

Окончательно получим

Пример №2 . Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Корни характеристического уравнения: r 1 = 4, r 2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y 1 = e 4x , y 2 = e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C" i составляем систему уравнений:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Выразим C" 1 из первого уравнения:
C" 1 = -c 2 e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Интегрируем полученные функции C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Поскольку , то записываем полученные выражения в виде:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откуда:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Теоретический минимум
В теории дифференциальных уравнений существует метод, претендующий на достаточно высокую для этой теории степень универсальности.
Речь идёт о методе вариации произвольной постоянной, применимом к решению различных классов дифференциальных уравнений и их
систем. Это именно тот случай, когда теория - если вывести за скобки доказательства утверждений - минимальна, но позволяет добиваться
значительных результатов, поэтому основной акцент будет сделан на примерах.
Общую идею метода сформулировать довольно просто. Пусть заданное уравнение (систему уравнений) решить сложно или вообще непонятно,
как его решать. Однако видно, что при исключении из уравнения некоторых слагаемых оно решается. Тогда решают именно такое упрощённое
уравнение (систему), получают решение, содержащее некоторое количество произвольных констант - в зависимости от порядка уравнения (количества
уравнений в системе). Затем полагают, что константы в найденном решении в действительности константами не являются, найденное решение
подставляется в исходное уравнение (систему), получается дифференциальное уравнение (или система уравнений) для определения "констант".
Существует определённая специфика в применении метода вариации произвольной постоянной к разным задачам, но это уже частности, которые будут
продемонстрированы на примерах.
Отдельно рассмотрим решение линейных неоднородных уравнений высших порядков, т.е. уравнений вида
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
данного уравнения. Предположим, что общее решение однородного уравнения уже найдено, а именно построена фундаментальная система решений (ФСР)
. Тогда общее решение однородного уравнения равно .
Нужно найти любое частное решение неоднородного уравнения. Для этого константы считаются зависящими от переменной .
Далее нужно решить систему уравнений
.
Теория гарантирует, что у этой системы алгебраических уравнений относительно производных от функций есть единственное решение.
При нахождении самих функций константы интегрирования не появляются: ищется ведь любое одно решение.
В случае решения систем линейных неоднородных уравнений первого порядка вида

алгоритм почти не меняется. Сначала нужно найти ФСР соответствующей однородной системы уравнений, составить фундаментальную матрицу
системы , столбцы которой представляют собой элементы ФСР. Далее составляется уравнение
.
Решая систему, определяем функции , находя таким образом, частное решение исходной системы
(фундаментальная матрица умножается на столбец найденных функций ).
Прибавляем его к общему решению соответствующей системы однородных уравнений, которое строится на основе уже найденной ФСР.
Получается общее решение исходной системы.
Примеры.
Пример 1. Линейные неоднородные уравнения первого порядка .
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение (искомую функцию обозначим ):
.
Это уравнение легко решается методом разделения переменных:

.
А теперь представим решение исходного уравнения в виде , где функцию ещё предстоит найти.
Подставляем такой вид решения в исходное уравнение:
.
Как видно, второе и третье слагаемое в левой части взаимно уничтожаются - это характерная черта метода вариации произвольной постоянной.

Вот здесь уже - действительно, произвольная постоянная. Таким образом,
.
Пример 2. Уравнение Бернулли .
Действуем аналогично первому примеру - решаем уравнение

методом разделения переменных. Получится , поэтому решение исходного уравнения ищем в виде
.
Подставляем эту функцию в исходное уравнение:
.
И снова происходят сокращения:
.
Здесь нужно не забыть удостовериться, что при делении на не теряется решение. А случаю отвечает решение исходного
уравнения . Запомним его. Итак,
.
Запишем .
Это и есть решение. При записи ответа следует также указать найденное ранее решение , так как ему не соответствует никакое конечное значение
константы .
Пример 3. Линейные неоднородные уравнения высших порядков .
Сразу заметим, что это уравнение можно решить и проще, но на нём удобно показать метод. Хотя некоторые преимущества
у метода вариации произвольной постоянной и в этом примере есть.
Итак, начинать нужно с ФСР соответствующего однородного уравнения. Напомним, что для нахождения ФСР составляется характеристическое
уравнение
.
Таким образом, общее решение однородного уравнения
.
Входящие сюда константы и предстоит варьировать. Составляем сист

Обратимся к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида

где - искомая функция аргумента, а функции

заданы и непрерывны на некотором интервале
.

Введем в рассмотрение линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью неоднородного уравнения (2.31),

Уравнение вида (2.32) называют однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2.31).

Имеет место следующая теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (2.31).

Теорема 2.6. Общее решение линейного неоднородного уравнения (2.31) в области

есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (2.32) в области (2.33), т.е.

где - частное решение уравнения (2.31),
- фундаментальная система решений однородного уравнения (2.32), а
- произвольные постоянные.

Доказательство этой теоремы Вы найдете в .

На примере дифференциального уравнения второго порядка изложим метод, при помощи которого можно найти частное решение линейного неоднородного уравнения. Этот метод называют методом Лагранжа вариации произвольных постоянных .

Итак, пусть дано неоднородное линейное уравнение

(2.35)

где коэффициенты
и правая часть
непрерывны в некотором интервале
.

Обозначим через
и
фундаментальную систему решений однородного уравнения

(2.36)

Тогда его общее решение имеет вид

(2.37)

где и- произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (2.35) в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного уравнения, заменяя произвольные постоянные некоторыми дифференцируемыми функциями от (варьируем произвольные постоянные), т.е.

где
и
- некоторые дифференцируемые функции от, которые пока неизвестны и которые попытаемся определить так, чтобы функция (2.38) была бы решением неоднородного уравнения (2.35). Дифференцируя обе части равенства (2.38), получим

Чтобы при вычислении не появились производные второго порядка от
и
, потребуем, чтобы всюду в
выполнялось условие

Тогда для будем иметь

Вычислим вторую производную

Подставляя выражения для,,из (2.38), (2.40), (2.41) в уравнение (2.35), получим

Выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю всюду в
, так каки- частные решения уравнения (2.36). При этом (2.42) примет видОбъединяя это условие с условием (2.39), получим систему уравнений для определения
и

(2.43)

Последняя система представляет собой систему двух алгебраических линейных неоднородных уравнений относительно
и
. Определителем этой системы является определитель Вронского для фундаментальной системы решений,и, следовательно, отличен от нуля всюду в
. Это означает, что система (2.43) имеет единственное решение. Решив ее любым способом относительно
,
найдем

где
и
- известные функции.

Выполняя интегрирование и учитывая, что в качестве
,
следует брать одну какую-нибудь пару функций, положим постоянные интегрирования равными нулю. Получим

Подставив выражения (2.44) в соотношения (2.38), сможем записать искомое решение неоднородного уравнения (2.35) в виде

Этот метод можно обобщить для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения -го порядка.

Пример 2.6 . Решить уравнение
при
если функции

образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения.

Найдем частное решение данного уравнения. Для этого в согласии с методом Лагранжа следует сначала решить систему (2.43), которая в нашем случае имеет вид
Сократив обе части каждого из уравнений наполучим

Вычитая почленно из второго уравнения первое, найдем
а тогда из первого уравнения следует
Выполняя интегрирование и полагая постоянные интегрирования равными нулю, будем иметь

Частное решение данного уравнения можно представить в виде

Общее решение данного уравнения имеет при этом вид