Криволинейные интегралы 1 рода. МА. Криволинейные интегралы первого рода и поверхностные интегралы первого рода
Задача о массе кривой. Пусть в каждой точке кусочно-гладкой материальной кривойL: (AB) задана ее плотность . Определить массу кривой.
Поступим так же, как мы поступали при определении массы плоской области (двойной интеграл) и пространственного тела (тройной интеграл).
1. Организуем разбиение области-
дуги Lна элементы –
элементарные дуги
так,
чтобы эти элементы не имели общих
внутренних точек и
(условие
А
)
2. Отметим на элементах разбиения
«отмеченные точки» M i
и вычислим в них значения функции
3. Построим интегральную сумму
,
где
- длина дуги
(обычно вводятся одни и те же обозначения
для дуги и ее длины). Это – приблизительное
значение массы кривой. Упрощение состоит
в том, что мы предположили плотность
дуги постоянной на каждом элементе и
взяли конечное число элементов.
Переходя к
пределу при условии
(условие В
), получим криволинейный
интеграл первого рода как предел
интегральных сумм:
.
Теорема существования 10 .
Пусть функция
непрерывна
на кусочно-гладкой дугеL 11 .
Тогда криволинейный интеграл первого
рода существует как предел интегральных
сумм.
Замечание. Предел этот не зависит от
способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А
выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,
способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В
Свойства криволинейного интеграла первого рода.
1. Линейность а) свойство суперпозиции
б) свойство
однородности
.
Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.
2.
Аддитивность.
Если
,
то
=
+
Доказательство. Выберем разбиение области Lтак, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементыL 1 , так и элементыL 2 . Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.
3.
.Здесь
– длина дуги
.
4. Если на дуге
выполнено неравенство,
то
Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.
Заметим, что, в
частности, возможно
5. Теорема об оценке.
Если существуют
константы
,
что,
то
Доказательство.
Интегрируя неравенство
(свойство 4), получим
.
По свойству 1 константы
можно
вынести из-под интегралов. Используя
свойство 3, получим искомый результат.
6. Теорема о среднем (значении интеграла).
Существует точка
,
что
Доказательство.
Так как функция
непрерывна
на замкнутом ограниченном множестве
,
то существует ее нижняя грань
и верхняя грань
.
Выполнено неравенство.
Деля обе части наL,
получим
.
Но число
заключено между нижней и верхней гранью
функции. Так как функция
непрерывна
на замкнутом ограниченном множестве
L, то в некоторой точке
функция должна принимать это значение.
Следовательно,
.
Кривая АВ, заданная параметрическими уравнениями называется гладкой, если функции и имеют на отрезке непрерывные производные и причем Если в конечном числе точек отрезка эти производные не существуют или одновременно обращаются в нуль, то кривая называете я кусочно-гладкой. Пусть АВ - плоская кривая, гладкая или ку-сочно-гладкая. Пусть f(M) - функция, заданная на кривой АВ или в некоторой области D, содержащей эту кривую. Рассмотрим разбиение кривой А В на части точками (рис. 1). Выберем на каждой из дуг A^At+i произвольную точку Mk и составим сумму где Alt - длина дуги и назовем ее интегральной суммой для функции f(M) по длине дуги кривой. Пусть Д / - наибольшая издлин частичных дуг, т. е. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между Определе нив. Если при интегральная сумма (I) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ на части, ни от выбора точек на каждой из дуг разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом \ -го рода от функции f(M) по кривой АВ (интеграл по длине дуги кривой) и обозначается символом В этом случае функция /(М) называется интегрируемой вдоль кривой АВУ кривая А В называется контуром интегрирования, А - начальной, В - конечной точками интегрирования. Таким образом, по определению, Пример 1. Пусть вдоль некоторой гладкой кривой L распределена масса с переменной линейной плотностью J(M). Найти массу т кривой L. (2) Разобьем кривую L на п произвольных частей) и вычислим приближен- но массу каждой части, предполагая, что на каждой из частей плотность постоянна и равна плотности в какой-нибудь из ее точек, например, в крайней левой точке /(Af*). Тогда сумма кшо где Д/д - длина Дг-ой части, будет приближенным значением массы т. Ясно, что погрешность будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой L. В пределе при Ы -* 0 (Д / = max Л/») получим точное значение массы всей кривой L, т.е. Но предел справа есть криволинейный интеграл 1-го рода. Значит, 1.1. Существование криволинейного интеграла 1-го рода Примем на кривой АВ за параметр длину дуги I, отсчитываемую от начальной точки А (рис.2). Тогда кривую АВ можно описать уравнениями (3) где L - длина кривой АВ. Уравнения (3) называются натуральными уравнениями кривой АВ. При переходе к натуральным уравнениям функция f(x} у), заданная на кривой АВ, сведется к функции переменной I: / (х(1)} у(1)). Обозначив через значение параметра I, отвечающее точке Мку перепишем интегральную сумму (I) в виде Это - интегральная сумма, отвечающая определенному интегралу Поскольку интегральные суммы (1) и (4) равны междусобой, то равны и отвечающие им интегралы. Таким образом, (5) Теорема 1. Если функция /(М) непрерывна вдоль гладкой кривой АВ, то существует криволинейный интеграл (поскольку при этих условиях существует определенный интеграл, стоящий в равенстве (5) справа). 1.2. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода 1. Из вида интегральной суммы (1) следует, что т.е. величина криволинейного интеграла 1-го рода не зависит ог направления интегрирования. 2. Линейность. Если для каждой из функций /() существует криволинейный интеграл по кривой ABt то для функции а/, где а и /3 - любые постоянные, также существует криволинейный интеграл по кривой АВ> причем 3. Аддитивность. Если кривая АВ состоит из двух кусков и для функции /(М) существует криволинейный интеграл по АВУ то существуют интегралы причем 4. Если 0 на кривой АВ, то 5. Если функция интегрируема на кривой АВ, то функция || также интегрируема на А В, и при этом б. Формула среднего значения. Если функция / непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка Мс такая, что где L - длина кривой АВ. 1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями причем точке А соответствует значение t = to, а точке В - значение. Будем предполагать, что функции) непрерывны на вместе со своими производными и выполнено неравенство Тогда дифференциал дуги кривой вычисляется по формуле В частности, если кривая АВ задана явным уравнением непрерывно дифференцируема на [а, Ь] и точке А соответствует значение х = а, а точке В - значение х = 6, то, принимая х за параметр, получаем 1.4. Криволинейные интегралы 1-го рода для пространственных кривых Определение криволинейного интеграла 1-го рода, сформулированное выше для плоской кривой, дословно переносится на случай, когда функция f(M) задана вдоль некоторой пространственной кривой АВ. Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между Тогда криволинейный интеграл взятый вдоль этой кривой, можно свести к определенному интегралу при помоши следующей формулы: Пример 2. Вычислитькриволинейный интеграл где L - контур треугольнике с вершинами в точка* (рис.3). По свойству аддитивности имеем Вычислим каждый из интегралов в отдельности. Так как на отрезке OA имеем: , то На отрезке АН имеем, откуда причем тогда Рис. Наконец, Следовательно, Замечание. При вычислении интегралов мы воспользовались свойством 1, согласно которому. Криволинейные интегралы 2-го рода Пусть А В - гладкая или кусочно-гладкая ориентированная кривая на плоскости хОу и пусть - вектор-функция, определенная в некоторой области D, содержащей кривую АВ. Разобьем кривую АВ на части точками координаты которых обозначим соответственно через (рис. 4). На каждой из элементарныхдуг АкАк+\ возьмем произвольно точку и составим сумму Пусть Д/ - длина наибольшей из дуг Определение. Если при сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек rjk) на элементарных дугах, то этот предел называется криволинейным интегралом 2-города от вектор-функции по кривой АВ и обозначается символом Так что по определению Теорема 2. Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции непрерывны, то криволинейный интеграл 2-города существует. Пусть - радиус-вектор точки М(х, у). Тогда и подынтегральное выражение в формуле (2) можно представить в виде скалярного произведения векторов F(M) и dr. Так что интеграл 2-го рода от вектор-функции по кривой АВ можно записать коротко так: 2.1. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями, где функции непрерывны вместе с производными на отрезке, причем изменению параметра t от t0 до t\ соответствует движение точки по кривой АВ отточки А к точке В. Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции непрерывны, то криволинейный интеграл 2-го рода сводится к следующему определенному интегралу: Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 2-го рода также может быть сведено к вычислению определенного интеграла. О) Пример 1. Вычислить интеграл вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки 2) вдоль параболы, соединяющей те же тонки) Уравнение линии параметр, откуда Так что 2) Уравнение линии AB: Отсюда поэтому Рассмотренный пример помазывает, что величина криволинейного интеграла 2-го рода, вообще говоря, зависитот формы пути интегрирования. 2.2. Свойства криволинейного интеграл а 2-го рода 1. Линейность. Если существуют Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между то при любых действительных а и /5 существует и интеграл причем 2. Аддитеностъ. Если кривая АВ разбита на части АС и СБ и криволинейный интеграл существует, то существуют и нтегралы Последнее свойство соитвггггнусг физической интерпретации криволинейного интеграла 2-го рода ках работы силового поля F вдоль некоторого путь: при изменении направления дешкения по кривой работа силового поля вдоль этой кривой меняет знак на противоположный. 2.3. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода где ориентированная кривая АВ (А - начальная точка, В - конечная точка) задана векгорным уравнением (здесь I - длина кривой, отсчитываемая в том направлении, в котором ориентирована кривая АВ) (рис. 6). Тогда dr или где г = т(1) - единичный вектор касательной к кривой АВ в точке М(1). Тогда Заметим, что последний интеграл в этой формуле - криволинейный интеграл 1-го рода. При изменении ориентации кривой АВ единичный вектор касательной г заменяется на противоположный вектор (-г), что влечет изменение знака его подынтегрального выражения и, значит, знака самого интеграла.
Теоретический минимумКриволинейные и поверхностные интегралы часто встречаются в физике. Они бывают двух видов, первый из которых рассматривается здесь. Этот
тип интегралов строится согласно общей схеме, по которой вводятся определённые, двойные и тройные интегралы. Коротко напомним эту схему.
Имеется некоторый объект, по которому проводится интегрирование (одномерный, двумерный или трёхмерный). Этот объект разбивается на малые части,
в каждой из частей выбирается точка. В каждой из этих точек вычисляется значение подынтегральной функции и умножается на меру той части, которой
принадлежит данная точка (длину отрезка, площадь или объём частичной области). Затем все такие произведения суммируются, и выполняется предельный
переход к разбиению объекта на бесконечно малые части. Получающийся предел и называется интегралом.1. Определение криволинейного интеграла первого рода
Рассмотрим функцию , определённую на кривой . Кривая предполагается спрямляемой. Напомним, что это означает, грубо говоря,
что в кривую можно вписать ломаную со сколь угодно малыми звеньями, причём в пределе бесконечно большого числа звеньев длина ломаной должна оставаться
конечной. Кривая разбивается на частичные дуги длиной и на каждой из дуг выбирается точка . Составляется произведение ,
проводится суммирование по всем частичным дугам. Затем осуществляется предельный переход с устремлением длины наибольшей
из частичных дуг к нулю. Предел является криволинейным интегралом первого рода.
Важной особенностью этого интеграла, прямо следующей из его определения, является независимость от направления интегрирования, т.е.
.2. Определение поверхностного интеграла первого рода
Рассмотрим функцию , определённую на гладкой или кусочно-гладкой поверхности . Поверхность разбивается на частичные области
с площадями , в каждой такой области выбирается точка . Составляется произведение, проводится суммирование
по всем частичным областям. Затем осуществляется предельный переход с устремлением диаметра наибольшей из всех частичных
областей к нулю. Предел является поверхностным интегралом первого рода.
3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Методика вычисления криволинейного интеграла первого рода просматривается уже из формальной его записи, а фактически следует непосредственно из
определения. Интеграл сводится к определённому, только нужно записать дифференциал дуги кривой, вдоль которой проводится интегрирование.
Начнём с простого случая интегрирования вдоль плоской кривой, заданной явным уравнением . В этом случае дифференциал дуги.
Затем в подынтегральной функции выполняется замена переменной , и интеграл принимает вид
,
где отрезок отвечает изменению переменной вдоль той части кривой, по которой проводится интегрирование.Очень часто кривая задаётся параметрически, т.е. уравнениями вида . Тогда дифференциал дуги
.
Формула эта очень просто обосновывается. По сути, это теорема Пифагора. Дифференциал дуги - фактически длина бесконечно малой части кривой.
Если кривая гладкая, то её бесконечно малую часть можно считать прямолинейной. Для прямой имеет место соотношение
.
Чтобы оно выполнялось для малой дуги кривой, следует от конечных приращений перейти к дифференциалам:
.
Если кривая задана параметрически, то дифференциалы просто вычисляются:и т.д.
Соответственно, после замены переменных в подынтегральной функции криволинейный интеграл вычисляется следующим образом:
,
где части кривой, по которой проводится интегрирование соответствует отрезок изменения параметра .Несколько сложнее обстоит дело в случае, когда кривая задаётся в криволинейных координатах. Этот вопрос обычно обсуждается в рамках дифференциальной
геометрии. Приведём формулу для вычисления интеграла вдоль кривой, заданной в полярных координатах уравнением :
.
Приведём обоснование и для дифференциала дуги в полярных координатах. Подробное обсуждение построения координатной сетки полярной системы координат
см. . Выделим малую дугу кривой, расположенную по отношению к координатным линиям так, как показано на рис. 1. В силу малости всех фигурирующих
дуг снова можно применить теорему Пифагора и записать:
.
Отсюда и следует искомое выражение для дифференциала дуги.С чисто теоретической точки зрения достаточно просто понять, что криволинейный интеграл первого рода должен сводиться к своему частному случаю -
определённому интегралу. Действительно, выполняя замену, которая диктуется параметризацией кривой, вдоль которой вычисляется интеграл, мы устанавливаем
взаимно-однозначное отображение между частью данной кривой и отрезком изменения параметра . А это и есть сведение к интегралу
вдоль прямой, совпадающей с координатной осью - определённому интегралу.4. Вычисление поверхностного интеграла первого рода
После предыдущего пункта должно быть ясно, что одна из основных частей вычисления поверхностного интеграла первого рода - запись элемента поверхности ,
по которой выполняется интегрирование. Опять-таки начнём с простого случая поверхности, заданной явным уравнением . Тогда.
Выполняется замена в подынтегральной функции, и поверхностный интеграл сводится к двойному:
,
где - область плоскости , в которую проектируется часть поверхности, по которой проводится интегрирование.Однако часто задать поверхность явным уравнением невозможно, и тогда она задаётся параметрически, т.е. уравнениями вида
.
Элемент поверхности в этом случае записывается уже сложнее:
.
Соответствующим образом записывается и поверхностный интеграл:
,
где - область изменения параметров, соответствующая части поверхности , по которой проводится интегрирование.5. Физический смысл криволинейного и поверхностного интегралов первого рода
Обсуждаемые интегралы обладают очень простым и наглядным физическим смыслом. Пусть имеется некоторая кривая, линейная плотность которой не является
константой, а представляет собой функцию точки. Найдём массу этой кривой. Разобьём кривую на множество малых элементов,
в пределах которых её плотность можно приближённо считать константой. Если длина маленького кусочка кривой равна , то его масса
, где - любая точка выбранного кусочка кривой (любая, так как плотность в пределах
этого кусочка приближённо предполагается постоянной). Соответственно, масса всей кривой получится суммированием масс отдельных её частей:.
Чтобы равенство стало точным, следует перейти к пределу разбиения кривой на бесконечно малые части, но это и есть криволинейный интеграл первого рода.
Аналогично разрешается вопрос о полном заряде кривой, если известна линейная плотность заряда.
Эти рассуждения легко переносятся на случай неравномерно заряженной поверхности с поверхностной плотностью заряда
. Тогда
заряд поверхности есть поверхностный интеграл первого рода.
Замечание . Громоздкая формула для элемента поверхности, заданной параметрически, неудобна для запоминания. Другое выражение получается в дифференциальной геометрии,
оно использует т.н. первую квадратичную форму поверхности.Примеры вычисления криволинейных интегралов первого рода
Пример 1. Интеграл вдоль прямой .
Вычислить интеграл
вдоль отрезка прямой, проходящей через точки и .Сначала запишем уравнение прямой, вдоль которой проводится интегрирование:
. Найдём выражение для :
.
Вычисляем интеграл:Пример 2. Интеграл вдоль кривой на плоскости .
Вычислить интеграл
по дуге параболы от точки до точки .Заданные точки и позволяют выразить переменную из уравнения параболы: .
Вычисляем интеграл:
.Однако можно было проводить вычисления и иначе, пользуясь тем, что кривая задана уравнением, разрешённым относительно переменной .
Если принять переменную за параметр, то это приведёт к небольшому изменению выражения для дифференциала дуги:.
Соответственно, интеграл несколько изменится:.
Этот интеграл легко вычисляется подведением переменной под дифференциал. Получится такой же интеграл, как и в первом способе вычисления.Пример 3. Интеграл вдоль кривой на плоскости (использование параметризации) .
Вычислить интеграл
вдоль верхней половины окружности.
Можно, конечно, выразить из уравнения окружности одну из переменных, а затем провести остальные вычисления стандартно. Но можно использовать и
параметрическое задание кривой. Как известно, окружность можно задать уравнениями . Верхней полуокружности
отвечает изменение параметра в пределах . Вычислим дифференциал дуги:
.
Таким образом,Пример 4. Интеграл вдоль кривой на плоскости, заданной в полярных координатах .
Вычислить интеграл
вдоль правого лепестка лемнискаты.
На чертеже выше изображена лемниската. Вдоль её правого лепестка нужно проводить интегрирование. Найдём дифференциал дуги для кривой:
.
Следующий шаг - определение пределов интегрирования по полярному углу. Ясно, что должно выполняться неравенство , а потому.
Вычисляем интеграл:Пример 5. Интеграл вдоль кривой в пространстве .
Вычислить интеграл
вдоль витка винтовой линии , соответствующего пределам изменения параметра
Лекция 5 Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства..
Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода.
Задача о массе кривой. Пусть в каждой точке кусочно-гладкой материальной кривой L: (AB) задана ее плотность . Определить массу кривой.
Поступим так же, как мы поступали при определении массы плоской области (двойной интеграл) и пространственного тела (тройной интеграл).
1. Организуем разбиение области- дуги L на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А )
3. Построим интегральную сумму , где - длина дуги (обычно вводятся одни и те же обозначения для дуги и ее длины). Это – приблизительное значение массы кривой. Упрощение состоит в том, что мы предположили плотность дуги постоянной на каждом элементе и взяли конечное число элементов.
Переходя к пределу при условии 
(условие В
), получим криволинейный интеграл первого рода как предел интегральных сумм:
.
Теорема существования.
Пусть функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L. Тогда криволинейный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм.
Замечание. Предел этот не зависит от
Свойства криволинейного интеграла первого рода.
1. Линейность
а) свойство суперпозиции
б) свойство однородности 
.
Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.
2. Аддитивность.
Если,
то =
+
3. .Здесь – длина дуги .
4. Если на дуге выполнено неравенство , то 
Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.
Заметим, что, в частности, возможно
5. Теорема об оценке.
Если существуют константы , что , то
Доказательство. Интегрируя неравенство 
(свойство 4), получим 
. По свойству 1 константы можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.
6. Теорема о среднем (значении интеграла).
Существует точка 
, что 
Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань 
и верхняя грань 
. Выполнено неравенство . Деля обе части на L, получим 
. Но число 
заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве L, то в некоторой точке функция должна принимать это значение. Следовательно, .
Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
Параметризуем дугу L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Пусть t 0 соответствует точке A, а t 1 соответствует точке B. Тогда криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному интегралу (
- известная из 1 семестра формула для вычисления дифференциала длины дуги):
Пример. Вычислить массу одного витка однородной (плотность равна k) винтовой линии: .
Криволинейный интеграл 2 рода.
Задача о работе силы.
|
| Какую работу производит сила F (M ) при перемещении точки M по дуге AB ? Если бы дуга AB была отрезком прямой, а сила была бы постоянной по величине и направлению при перемещении точки M по дуге AB, то работу можно было бы вычислить по формуле , где - угол между векторами. В общем случае эту формулу можно использовать для построения интегральной суммы, предполагая силу постоянной на элементе дуги достаточно малой длины. Вместо длины малого элемента дуги можно взять длину стягивающей ее хорды , так как эти величины – эквивалентные бесконечно малые величины при условии (первый семестр). |
1. Организуем разбиение области- дуги AB на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А )
2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M i и вычислим в них значения функции
3. Построим интегральную сумму 
, где вектор, направленный по хорде, стягивающей -дугу .
4. Переходя к пределу при условии (условие В
), получим криволинейный интеграл второго рода как предел интегральных сумм (и работу силы):
.
Часто обозначают
Теорема существования.
Пусть вектор - функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L. Тогда криволинейный интеграл второго рода существует как предел интегральных сумм.
.
Замечание. Предел этот не зависит от
Способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А
Выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,
Способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В
Свойства криволинейного интеграла 2 рода.
1. Линейность
а) свойство суперпозиции
б) свойство однородности 
.
Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, используя свойство скалярного произведения, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.
2. Аддитивность.
Если,
то =
+
.
Доказательство. Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L 1 , так и элементы L 2 . Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.
3. Ориентируемость.
= -
Доказательство. Интеграл по дуге –L, т..е. в отрицательном направлении обхода дуги есть предел интегральных сумм, в слагаемых которых вместо стоит (). Вынося «минус» из скалярного произведения и из суммы конечного числа слагаемых, переходя к пределу, получим требуемый результат.
На случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:
где f (x , y ) - функция двух переменных, а L - кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB .
Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?
Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L , а функция двух переменных f (x , y ) определена в точках кривой L . Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.
- Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
- В каждой части свободно выбрать точку M .
- Найти значение функции в выбранных точках.
- Значения функции умножить на
- длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода ;
- проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода .
- Найти сумму всех произведений.
- Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.
Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f (x , y ) по кривой AB .
первого рода
Случай криволинейного интеграла
второго рода
Введём следующие ообозначения.
M i (ζ i ; η i ) - выбранная на каждом участке точка с координатами.
f i (ζ i ; η i ) - значение функции f (x , y ) в выбранной точке.
Δs i - длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).
Δx i - проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).
d = maxΔs i - длина самой длинной части отрезка кривой.
Криволинейные интегралы первого рода
Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:
.
Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл . Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:
В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B ) считать началом отрезка, а какую концом, то есть
.
Криволинейные интегралы второго рода
Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:
.
В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:
.
При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции f i (ζ i ; η i ) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy . Тогда получим интеграл
.
На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P (x , y ) и f = Q (x , y ) и интегралы
,
а сумма этих интегралов
называется общим криволинейным интегралом второго рода .
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.
Пусть на плоскости задана кривая y
= y
(x
)
и отрезку кривой AB
соответствует изменение переменной x
от a
до b
.
Тогда в точках кривой подынтегральная функция f
(x
, y
) = f
(x
, y
(x
))
("игрек" должен быть выражен через "икс"),
а дифференциал дуги 
и
криволинейный интеграл можно вычислить по формуле
.
Если интеграл проще интегрировать по y , то из уравнения кривой нужно выразить x = x (y ) ("икс" через "игрек"), где и интеграл вычисляем по формуле
.
Пример 1.
где AB - отрезок прямой между точками A (1; −1) и B (2; 1) .
Решение. Составим уравнение прямой AB
, используя
формулу 
(уравнение прямой,
проходящей через две данные точки A
(x
1
; y
1
)
и
B
(x
2
; y
2
)
):
Из уравнения прямой выразим y через x :
Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни "иксы":
Пусть в пространстве задана кривая
Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр
t
()
а дифференциал дуги 
,
поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле
Аналогично, если на плоскости задана кривая
,
то криволинейный интеграл вычисляется по формуле
.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
где L - часть линии окружности
находящаяся в первом октанте.
Решение. Данная кривая - четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3 . Она соответствует значениям параметра . Так как
то дифференциал дуги
Подынтегральную функцию выразим через параметр t :
Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t , можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.
Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах
Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции "игрек", выраженной через "икс": y = y (x ) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b . Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение "игрека" через "икс" и определим дифференциал этого выражения "игрека" по "иксу": . Теперь, когда всё выражено через "икс", криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:
Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции "икс", выраженной через "игрек": x = x (y ) , . В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл
, если
а) L - отрезок прямой OA , где О (0; 0) , A (1; −1) ;
б) L - дуга параболы y = x ² от О (0; 0) до A (1; −1) .
а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке - синяя). Напишем уравнение прямой и выразим "игрек" через "икс":
.
Получаем dy = dx . Решаем данный криволинейный интеграл:
б) если L - дуга параболы y = x ² , получим dy = 2xdx . Вычисляем интеграл:
В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.
Теорема . Если функции P (x ,y ) , Q (x ,y ) и их частные производные , - непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования по линии L , находящейся в области D .
Кривая дана в параметрической форме
Пусть в пространстве дана кривая
.
а в подынтегральные функции подставим
выражения этих функций через параметр t . Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:
Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл
,
если L - часть эллипса
отвечающая условию y ≥ 0 .
Решение. Данная кривая - часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2 . Она соответствует значению параметра .
можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:
Если дан криволинейный интеграл и L - замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина .
Больше примеров вычисления криволинейных интегралов
Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл
где L - отрезок прямой между точками её пересечения с осями координат.
Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0 , получим , . Подставив x = 0 , получим , . Таким образом, точка пересечения с осью Ox - A (2; 0) , с осью Oy - B (0; −3) .
Из уравнения прямой выразим y :
.
,
.
Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:
В подынтегральном выражении выделяем множитель , выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем.