Геометрия. Основные понятия

Геометрия – одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до н.э.), а также в других источниках. Название науки «геометрия» - древнегреческого происхождения. Оно составлено из двух древнегреческих слов ge - «Земля» и metreo - «измеряю».

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей. Это отразилось и в названиях многих геометрических фигур. Например, название фигуры трапеция происходит от греческого слова trapezion - «столик», от которого произошло также слово «трапеза» и другие родственные слова. Термин «линия» возник от латинского linum - «лен, льняная нить».

Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом (см. Аксиоматика и аксиоматический метод). Она непрерывно развивалась, обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направления их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков ее предмет, содержание и методы.

В замечательной книге «Диалектика природы» Ф. Энгельс определил геометрию как науку о пространственных формах окружающего нас реального мира, т.е. как часть математики, изучающую свойства пространства. Это философское определение полностью отражало состояние геометрии в то время, когда жил и работал Ф. Энгельс. Но в наше время возникли и оформились новые важные разделы геометрии. Каждый из этих разделов имеет свою специфику, которая уже не всегда укладывается в определение геометрии, данное в прошлом веке Ф. Энгельсом. Крупный советский геометр академик А. Д. Александров, которому принадлежат работы не только по геометрии, но и в области философии математики, расширил рамки энгельсовского определения, сказав, что геометрия изучает пространственные и пространственноподобные формы и отношения реального мира. Что это значит и какое это имеет значение для школьной геометрии, попытаемся раскрыть в этой статье.

В III в. до н.э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Начала» (см, Евклид и его «Начала»). В этой книге Евклид подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет всюду преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам книги Евклида. Например, таким пособием был учебник А. П. Киселева, по которому советская школа работала до середины этого столетия.

Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой. Немецкий философ-идеалист XVIII в. И. Кант и многие его последователи считали, что понятия и идеи евклидовой геометрии (единственно возможной, чуть ли не божественной) были заложены в человеческое сознание еще до того, как человек научился что-либо осознавать. Происхождение этой мысли Канта становится понятным, если мы проследим процесс возникновения геометрических знаний в сознании ребенка. Дети много тысяч раз видят, например, прототипы прямых линий в жизни: угол дома или обрез книжной страницы, натянутую нитку или луч света, край стола или двери – все это, запечатленное в сознании ребенка, делает его психологически подготовленным к восприятию понятия «прямая». То же относится к прямым углам и перпендикулярам (которые мы видим с детства на каждом шагу), окружностям (колесо, пуговица, солнечный диск, край тарелки или блюдца), параллелограммам и другим фигурам. Отраженные в сознании, эти представления подготавливают восприятие геометрических понятий. Учитель же систематизирует, упорядочивает эти представления и дает школьникам соответствующий термин, завершающий и закрепляющий образование понятия.

«Геометрия – правительница всех мысленных изысканий». М. В. Ломоносов

Лишь в XIX в. благодаря в первую очередь трудам выдающегося русскою математика Н. И. Лобачевского было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной. Вслед за тем математики создали и исследовали многие различные «геометрии». Особенно большая заслуга в расширении наших представлений о возможных геометрических пространствах принадлежит немецкому математику XIX в. Г. Ф. Б. Риману. Он открыл способ построения бесконечно многих «геометрий», которые локально, «в малом» устроены почти так же, как и евклидова геометрия, но обладают «кривизной», сказывающейся при рассмотрении больших кусков пространства. По преданию, К. Ф. Гаусс, обогативший математику многими замечательными открытиями (в том числе и в области геометрии), ушел после доклада Римана, глубоко задумавшись над ошеломившими его новыми геометрическими идеями.

Интересно проследить связь геометрических идей с современной физикой. Часто идеи, обогащающие математику новыми понятиями и методами, приходят из физики, химии и других разделов естествознания. Типичным примером может служить понятие вектора, пришедшее в математику из механики. Но в отношении неевклидовых геометрий дело обстоит как раз наоборот: созданные внутри математики под воздействием ее внутренних потребностей и ее собственной логики развития, эти новые геометрические понятия проложили пути создания современной физики. В частности, геометрия Лобачевского нашла применение в специальной теории относительности, стала одной из математических основ этой теории, а риманова геометрия служит фундаментом общей эйнштейновской теории относительности. Можно даже сказать, что общая теория относительности – это больше геометрия, чем физика, и здесь обнаруживается влияние идей немецкого математика Д. Гильберта, который сотрудничал с А. Эйнштейном при создании этой теории. Важные приложения имеет риманова геометрия в теории упругости и в других разделах физики и техники.

Нечто похожее произошло и с другим разделом современной геометрии – с так называемым выпуклым анализом. Начала теории выпуклых фигур были заложены в XIX в. немецким математиком Г. Минковским. Несколько красивых теорем, полученных им, привлекли внимание математиков к новой теории. Однако поскольку они не находили применения в других разделах математики, а тем более в естествознании, то в то время создалось впечатление, что Минковский создал очень изящную, но совершенно бесполезную математическую игрушку. Но прошли десятилетия, и совершенно неожиданно теоремы о выпуклых множествах нашли различные применения: сначала в самой математике (при решении геометрических экстремальных задач), а затем в математической экономике, теории управления и других прикладных областях.

В современной геометрии есть и много других направлений. Одни сближают се с теорией чисел, другие с квантовой физикой, третьи – с математическим анализом. А некоторые разделы современной математики таковы, что трудно сказать, чего в них больше: геометрии, алгебры или анализа.

Геометрия не только обогатилась новыми направлениями, находящимися далеко за пределами той колыбели, из которой она выросла, евклидовой геометрии. Много нового появилось со времен Евклида и в самой евклидовой геометрии. Еще в XVII в. благодаря работам французского математика и философа Р. Декарта возник метод координат, ознаменовавший собой революционную перестройку всей математики, и в частности геометрии. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так в рамках евклидовой геометрии появилась ее новая ветвь аналитическая геометрия, явившаяся мощным средством исследования геометрических образов. Например, метод координат позволяет быстро и с помощью несложных вычислений вывести основные свойства линий второго порядка (эллипса, гиперболы, параболы). Теоремы об этих линиях, найденные древнегреческим ученым Аполлонием и некогда считавшиеся вершиной геометрии, сейчас с помощью методов аналитической геометрии изучаются в вузах и техникумах.

В работах математиков XIX в. У. Гамильтона, Г. Грассмана и других были введены векторы, которые ранее в трудах Архимеда, Г. Галилея и других корифеев науки имели лишь механический смысл, а теперь приобрели права гражданства в математике. С 60-х гг. нашего столетия векторы заняли прочное место и в школьном курсе геометрии. Применяемые в рамках евклидовой геометрии векторные методы значительно упрощают доказательства многих теорем и решение задач. Например, теорема косинусов, теорема о трех перпендикулярах и другие (которые раньше было доказать довольно трудно) стали легкими упражнениями на применение скалярного произведения векторов. Но роль векторов не только в упрощении трудных мест школьного курса. Гораздо важнее то, что векторные методы находят сейчас широкие применения в физике, химии, экономике, биологии, не говоря уже о многих разделах современной математики. Так, скалярное произведение вектоpa силы и вектора перемещения есть работа, векторное произведение вектора тока и вектора напряженности магнитного поля есть сила воздействия этого поля на проводник и т.д. Как видите, и здесь геометрия диктовала физике введение новых понятий, а не наоборот. А впоследствии, при рассмотрении многомерных пространств (о которых речь еще впереди), скалярное произведение приобрело еще больший вес и значение и стало важным рабочим аппаратом, применяемым буквально во всех областях математики и ее приложений.

Другим важным обогащением, которым геометрия также обязана XIX в., стало создание теории геометрических преобразований, и в частности движений (перемещений). У Евклида движения неявно присутствовали; например, когда он говорил: «Наложим один треугольник на другой таким-то образом», то речь шла в действительности о применении движения, перемещения треугольника. Но для Евклида движение не было математическим понятием. Создание математической теории движений и осознание их важной роли в геометрии связано с именем немецкого математика XIX-XX вв. Ф. Клейна, который при вступлении на должность профессора по кафедре геометрии в университете г. Эрлангена прочитал лекцию о роли движений в геометрии. Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории движений получила название Эрлангенской программы. Идею Клейна можно пояснить следующим образом.

Геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением (такие фигуры называются равными, или конгруэнтными), то у этих фигур одинаковые геометрические свойства. В этом смысле движения составляют основу геометрии. Они обладают тем свойством, что композиция любых двух движений и (т. е. результат их последовательного выполнения) также является движением; кроме того, если - произвольное движение, то обратное отображение также является движением. Эти свойства коротко выражают следующим образом: движения образуют группу. Таким образом, группа движений задает, определяет евклидову геометрию. Но группа движений не единственная известная нам группа преобразований. Например, все параллельные переносы образуют группу, все подобные преобразования также образуют группу и т.д. По мысли Клейна, каждая группа преобразований определяет «свою геометрию». Например, можно рассматривать аффинные преобразования, которые каждую прямую взаимно-однозначно отображают на некоторую другую прямую, но при этом могут не сохранять (в отличие от движений) ни расстояний, ни углов, ни площадей. Множество всех аффинных преобразований плоскости (или пространства) представляет собой группу. Эта группа задает некоторую геометрию, которая носит название аффинной геометрии. Групповая точка зрения на геометрию позволяет с единых позиций рассмотреть многие различные геометрии: евклидову, геометрию Лобачевского, аффинную, проективную геометрию и др.

Значение идей Эрлангенской программы Клейна не исчерпывается рамками геометрии. Групповая точка зрения на геометрические свойства фигур широко используется в физике. Так, русский математик и кристаллограф Е. С. Федоров, используя клейновские идеи, открыл кристаллографические группы, носящие теперь его имя. Они стали в наши дни подлинной научной основой всей кристаллографии. Групповой подход находит важные применения в ядерной физике; принципы симметрии и четности – яркое проявление групповой точки зрения. Основой специальной теории относительности является группа Лоренца; по существу, эта теория представляет собой своеобразную геометрию «четырехмерного пространства – времени», определяемую группой Лоренца. Важные приложения находит групповая точка зрения и в других областях физики, химии.

Влияние группового подхода можно проследить и в школьной геометрии. Каждая фигура определяет некоторую группу движений; в эту группу входят все те движения, которые переводят фигуру в себя. Она называется группой самосовмещений фигуры . Знание группы самосовмещений фигуры во многом определяет геометрические свойства этой фигуры. Возьмем, например, параллелограмм общего вида, т.е. не являющийся ни прямоугольником, ни ромбом (рис. 1). Существуют два движения, переводящие этот параллелограмм в себя: тождественное отображение (оставляющее все точки плоскости на месте) и симметрия относительно точки , в которой пересекаются диагонали параллелограмма. Других движений плоскости, переводящих параллелограмм в себя, нет. Таким образом, группа самосовмещений параллелограмма состоит из двух элементов . Из того, что группа самосовмещений параллелограмма содержит центральную симметрию , вытекают все основные свойства параллелограмма. Например, так как противоположные углы параллелограмма симметричны относительно точки , то эти углы равны. Из симметричности противоположных сторон параллелограмма вытекает, что эти стороны равны и параллельны, и т.д.

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать». Г. Галилей

Группа самосовмещений ромба содержит кроме и еще две осевые симметрии и относительно прямых, на которых расположены диагонали ромба (рис. 2). Из того, что в этой группе имеются дополнительные (по сравнению с параллелограммом общего вида) движения и , вытекает наличие у ромба дополнительных, специфических свойств (помимо свойств, присущих всякому параллелограмму): перпендикулярность диагоналей, совпадение диагоналей с биссектрисами углов и т.д. В качестве еще одного примера отметим, что группа самосовмещений равнобедренного треугольника, не являющегося равносторонним (рис. 3), состоит из двух элементов , где - осевая симметрия. Из наличия в группе самосовмещений равнобедренного треугольника движения вытекают основные свойства этого треугольника: равенство углов при основании, совпадение биссектрисы, медианы и высоты, проведенных к основанию, равенство медиан, проведенных к боковым сторонам, и т.д. Свойства правильных многогранников (или других многогранников, обладающих той или иной симметричностью) удобнее всего доказывать, используя группы их самосовмещений. Свойства сферы, цилиндра, конуса также лучше всего выводить с помощью рассмотрения групп самосовмещений этих фигур. И для каждой конкретной геометрической фигуры богатство ее свойств определяется прежде всего ее группой самосовмещений.

Применение движений сближает математику с идеями физики, химии, биологии, техники, соответствует прогрессивным чертам математического осмысления мира.

Итак, XIX в. привнес в евклидову геометрию много нового, и прежде всего векторные методы и групповой подход. Есть и еще одно направление развития геометрии, появившееся в рамках евклидовой геометрии в XIX в., - многомерные пространства. Возникли они путем обобщения, аналогии с геометрией на плоскости и в трехмерном пространстве. На плоскости каждая точка задается в системе координат двумя числами – координатами этой точки, а в пространстве – тремя координатами. В -мерном же пространстве точка задается координатами, т.е. записывается в виде , где - произвольные действительные числа (координаты точки ). На плоскости система координат имеет две оси, в пространстве - три, а в -мерном пространстве система координат содержит осей, причем каждые две из этих осей перпендикулярны друг другу! Конечно, такие пространства существуют лишь в воображении математиков и тех специалистов из других областей знания, которые применяют эти математические абстракции. Ведь реальное пространство, в котором мы живем, математически хорошо описывается трехмерным пространством (евклидовым или римановым, но именно трехмерным). Увидеть – в буквальном, физическом смысле этого слова – фигуры в четырехмерном пространстве (а тем более в пространствах большего числа измерений) не в состоянии никто, даже самый гениальный математик; их можно видеть только мысленным взором.

Человек, который впервые слышит о четырехмерном пространстве, готов возразить: «Но ведь такого же не бывает, не может быть четырех прямых, которые друг другу перпендикулярны!». Есть и другие парадоксы четвертого измерения. Если, например, на плоскости имеется кольцо (оболочка), а внутри - кружок, то, как бы мы ни двигали этот кружок по плоскости, вынуть его из этой оболочки, не разрывая ее, невозможно. Но стоит только выйти в третье измерение, и кружок легко вынуть из кольца, подняв его вверх, над плоскостью. Аналогично дело обстоит и в пространстве. Если имеется сфера (оболочка), внутри которой заключен шарик, то, не прорывая оболочку, невозможно вынуть из нее этот шарик. Но если бы существовало четвертое измерение, то можно было бы «поднять» шарик над трехмерным пространством в направлении четвертого измерения, а затем положить его снова в трехмерное пространство, но уже вне оболочки. И то, что это сделать никому не удается, приводят как довод против существования четвертого измерения. Довод ошибочен, так как в нем спутаны два вопроса.

Первый вопрос: имеется ли в реальном пространстве четвертое измерение? Ответ на этот вопрос отрицателен.

Второй вопрос: можно ли рассматривать четырехмерное пространство абстрактно, математически? Ответ утвердителен.

Нет ничего нелогичного или противоречивого в том, чтобы рассматривать четверки чисел , исследовать свойства этих «четырехмерных точек», составлять из них фигуры, доказывать теоремы, постепенно строя таким образом геометрию четырехмерного (или, вообще, -мерного) пространства. Но математическая непротиворечивость -мерной геометрии еще недостаточна для суждения о ценности этой теории. В чем же состоит польза многомерных пространств? Где они применяются? Зачем понадобилось расширять представления о пространстве от реального трехмерного мира до столь далеких абстракций, которые нелегко и не сразу укладываются в сознании?

Для ответа на эти вопросы рассмотрим два примера, которые подведут нас к -мерной геометрии.

Пример 1. Сумма чисел равна единице. Каковы должны быть эти числа, чтобы сумма их квадратов была наименьшей?

Решение. Получим ответ на поставленный вопрос геометрическим путем, рассматривая сначала случай , затем , а потом обсудим ситуацию при .

Итак, пусть сначала . Иначе говоря, рассматриваются числа , удовлетворяющие условию , и требуется найти, в каком случае сумма квадратов будет наименьшей.

Уравнение определяет на координатной плоскости прямую (рис. 4). Рассмотрим окружность с центром в начале координат, которая касается этой прямой (точка ). Если точка прямой отлична от , то она лежит вне окружности и потому больше радиуса этой окружности, т. е. . Если же , то сумма равна , т.е. именно для точки эта сумма принимает наименьшее значение. Точка имеет координаты ; это и есть решение поставленной алгебраической задачи (при ).

Пусть теперь . Уравнение определяет в пространстве плоскость . Рассмотрим сферу с центром в начале , касающуюся этой плоскости в некоторой точке (рис. 5). Для любой точки , отличной от , ее расстояние от точки больше радиуса сферы , , и потому , а при имеем . Таким образом, именно для точки сумма принимает наименьшее значение. Точка имеет равные координаты: (поскольку при повороте пространства, переставляющем оси координат: ; , , и плоскость , и сфера переходят в себя, а потому их общая точка остается неподвижной). А так как , то точка имеет координаты ; это и есть решение поставленной задачи (для ).

Рассмотрим, наконец, произвольное ; рассуждения будем вести в -мерном пространстве, точками которого являются последовательности , состоящие из действительных чисел. Уравнение определяет в этом пространстве «плоскость» , имеющую размерность (например, при , т.е. в трехмерном пространстве, такое уравнение определяет плоскость размерности 2, т.е. на единицу меньшей размерности, чем все пространство). Математики называют плоскости, имеющие размерность , гиперплоскостями в -мерном пространстве. Рассмотрим сферу с центром в начале координат , касающуюся гиперплоскости в некоторой точке . Все точки гиперплоскости , кроме , лежат вне сферы , т.е. находятся от начала координат на расстоянии, большем, чем радиус сферы , а точка находится от на расстоянии, равном . Следовательно, сумма принимает в точке наименьшее значение по сравнению со всеми другими точками гиперплоскости . Заметим теперь, что все координаты точки равны между собой: (поскольку поворот пространства, переставляющий оси , переводит гиперплоскость в себя и сферу тоже в себя, а потому оставляет точку неподвижной), откуда . Итак, при сумма квадратов принимает наименьшее значение для .

Разумеется, это геометрическое решение читатель может признать корректным лишь в случае, если он уже владеет понятиями -мерной геометрии, но характер этого решения и польза -мерной геометрической интерпретации для рассмотренной алгебраической задачи очевидны.

Пример 2. На три завода (рис. 6) нужно завезти сырье одинакового вида, которое хранится на двух складах в соответствии с данными, указанными в таблице.

Наличие сырья		Потребность в сырье
				20т и, многоугольника. Иначе говоря, наиболее выгодный вариант перевозок соответствует точке, обозначающие количество сырья, вывозимого со склада на первые три завода. Если задать расстояния от складов до заводов, то можно будет составить выражение для общего числа тонно-километров. Можно написать и неравенства, выражающие неотрицательность количества сырья, вывозимого со складов на заводы. Теперь эти неравенства будут зависеть от трех переменных . Каждое из этих неравенств задает полупространство, а система всех неравенств определяет пересечение полупространств, т.е. выпуклый многогранник в трехмерном пространстве. Таким образом, для четырех заводов задача о перевозке сырья будет математически формулироваться как задача о наименьшем значении линейной функции на трехмерном выпуклом многограннике. Для двух складов и пяти заводов (при сохранении того условия, что все сырье должно быть вывезено полностью) потребуются уже четыре переменные, обозначающие количество сырья, вывозимого со склада , на первые четыре завода. Теперь мы будем иметь неравенства с четырьмя переменными, и для получения геометрической интерпретации потребуется четырехмерное пространство, а при большем числе складов и заводов – пространства еще большей размерности. К нахождению наибольших значений линейных функций на выпуклых многогранниках приводят и другие практические задачи, на первый взгляд никакого отношения к многогранникам не имеющие. Сюда относятся не только задачи о нахождении наиболее выгодных вариантов перевозок, но также задачи о наиболее выгодных способах раскроя материала, наиболее эффективных режимах работы предприятий, задачи о составлении производственных планов и т.п. Такие задачи объединяются новым научным направлением, получившим название линейное программирование. Тот факт, что эти задачи решаются геометрически с помощью нахождения наименьших или наибольших значений линейных функций на многогранниках (причем, как правило, в пространствах, имеющих размерность, большую трех), был впервые подмечен академиком Л. В. Канторовичем. Необходимость рассмотрения -мерных пространств при диктуется также математическими задачами физики, химии, биологии и других областей знания. Таким образом, хотя пространственные свойства окружающего мира хорошо описываются геометрическим трехмерным пространством, потребности практической деятельности человека приводят к необходимости рассмотрения пространств любой размерности . Теперь мы можем вернуться к вопросу о том, что такое геометрия. Многомерные пространства, несомненно, относятся к области геометрии, поскольку в них математики рассматривают плоскости, прямые, векторы, углы, расстояния, скалярное произведение, перпендикулярность и т. д., т. е. подлинно геометрические понятия. Многомерные пространства и имеющиеся в них гиперплоскости, многогранники и т. п. нельзя назвать отражением пространственных форм реального мира. При всей практической значимости задач о раскрое материала, транспортных задач и т. д. порождаемые ими понятия многомерной геометрии являются лишь «пространственноподобными»; они похожи на то, что мы видим в реальном пространстве, но представляют собой следующую, более высокую ступень абстракции от пространственных форм реального трехмерного мира. Понятия и факты геометрии постоянно применяются при решении практических задач. И дело не только в том, что, решая задачи по алгебре, математическому анализу или другим областям математики, мы часто делаем геометрические чертежи или используем формулы и теоремы геометрии. Гораздо важнее то, что, сопоставив алгебраические или иные формулы с геометрическими фактами, мы часто можем «увидеть» геометрически решение задачи и найти такие пути рассуждений, предугадать которые, глядя «чисто алгебраически» на нагромождение формул, просто не представляется возможным. Два приведенных выше примера иллюстрируют это. Вообще, характерной чертой современного развития математики является то, что геометрия все больше приобретает роль метода мышления, метода осмысления и организации математической информации буквально во всех областях математики и ее приложений.

Цели урока:

• Образовательная: показать новый метод решения задач на построение геометрического места точек; Научить применять его в решении задач.
• Развивающая: развитие наглядно- образного мышления; познавательного интереса.
• Воспитывающая: развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение, критически оценивать результат.

Задачи урока:

• Изучения нового материала.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Определения.
2. Пример 1.
3. Пример 2.
4. Пример 3.
5. Теоретическая часть.
6. Общии понятия.

Введение.

Древнеегипетскую и вавилонскую культуру в области математики продолжали греки. Они не только усвоили весь опыт их геометрии, но и пошли гораздо дальше. Ученые древней Греции сумели привести в систему накопленные геометрические знания и, таким образом, заложить начала геометрии как дедуктивной науки.

Греческие купцы познакомились с восточной математикой, прокладывая торговые пути. Но люди Востока почти не занимались теорией, и греки быстро это обнаружили. Они задавались вопросами: почему в равнобедренном треугольнике два угла при основании равны; почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах?

К сожалению, не сохранилось первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Только благодаря восстановленным текстам четвертого столетия до нашей эры и трудам арабских ученых, которые были богаты переводами сочинений авторов античной Греции, мы располагаем изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония и других великий людей. Но в этих произведениях уже представлена вполне развитая математическая наука.

Математика древней Греции прошла длительный и сложный путь развития, начиная с VI столетия до н.э. и по VI век. Историки науки выделяют три периода ее развития в соответствии с характером знаний:

1. Накопление отдельных математических фактов и проблем (6 - 5B.B. до н.э.).
2. Систематизация полученных знаний (4 - 3 в.в. до н.э.).
3. Период вычислительной математики (3в. до н.э. - 6 в.).

Геометрическое место точек (ГМТ).

Определения.

Геометрическое место – термин, применявшийся в старой литературе по геометрии и до сих пор применяющийся в учебной литературе, для обозначения множества точек, удовлетворяющих некоторому условию , как правило, геометрического характера. Например: геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек A и B – это серединный перпендикуляр к отрезку AB. Иногда говорят и о геометрическом месте прямых и других фигур.

Название связано с представлением о линии как о «месте», на котором располагаются точки.

В геометрии траектория некоторой точки, перемещающейся в соответствии с данной формулой или условием. Например, круг является геометрическим местом точки, перемещающейся на плоскости так, что расстояние от места ее нахождения до центра остается неизменным.

Геометрическое место точек (ГМТ) - это множество точек, в которое попадают все точки, удовлетворяющие определенному условию, и только они.

Геометрическое место точек (ГМТ) - фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.

Примеры.

• Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.
• Окружность есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.
• Парабола есть геометрическое место точек, равноудалённых от точки (называемой фокусом) и прямой (называемой директрисой).

Пример 1.

Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO перпендикулярно AB и AO = OB:

Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d .

Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.

Пример 2.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон.

Пример 3.

Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра (на рис. показана одна из этих точек – А).

Хорда , проходящая через центр круга (например, BC, рис 1), называется диаметром и обозначается d или D . Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам (d = 2 r).

Касательная . Предположим, секущая PQ (рис.2) проходит через точки K и M окружности. Предположим также, что точка M движется вдоль окружности, приближаясь к точке K. Тогда секущая PQ будет менять своё положение, вращаясь вокруг точки K. По мере приближения точки M к точке K секущая PQ будет стремиться к некоторому предельному положению АВ. Прямая AB называется касательной к окружности в точке K. Точка K называется точкой касания. Касательная и окружность имеют только одну общую точку – точку касания.

Свойства касательной.

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания (AB перпендикулярно OK, рис.2).
2. Из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к одной и той же окружности; их отрезки равны АВ=АС (рис.3).

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой ACB и соответствующей хордой AB (рис.4). Длина перпендикуляра CD, проведенного из середины хорды AB до пересечения с дугой ACB, называется высотой сегмента.

Углы в круге.

Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами (∠AOB, рис.5). Вписанный угол – угол, образованный двумя хордами AB и AC, проведенными из их одной общей точки (∠BAC, рис.4). Описанный угол – угол, образованный двумя касательными AB и AC, проведенными из одной общей точки (∠BAC, рис.3).

Соотношения между элементами круга.

Вписанный угол (∠ABC, рис.7) равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу AmC (∠AOC, рис.7). Поэтому, все вписанные углы (рис.7), опирающиеся на одну и ту же дугу (AmC, рис.7), равны. А так как центральный угол содержит то же количество градусов, что и его дуга (AmC, рис.7), то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (в нашем случае AmC).

Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг (∠APB, ∠AQB, …, рис.8), прямые.

Угол (∠AOD, рис.9), образованный двумя хордами (AB и CD), измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами: (AnD + CmB) / 2 .

Угол (∠AOD, рис.10), образованный двумя секущими (AO и OD), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (AnD – BmC) / 2.

Угол (∠DCB, рис.11), образованный касательной и хордой (AB и CD), измеряется половиной дуги, заключённой внутри него: CmD / 2.

Угол (∠BOC, рис.12), образованный касательной и секущей (CO и BO), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (BmC – CnD) / 2 .

Описанный угол (∠AOC, рис.12), образованный двумя касательными (CO и AO), измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами: (ABC – CDA) / 2 .

Произведения отрезков хорд (AB и CD, рис.13 или рис.14), на которые они делятся точкой пересечения, равны: AO · BO = CO · DO.

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть (рис.12): OA 2 = OB · OD. Это свойство можно рассматривать как частный случай рис.14.

Хорда (AB, рис.15), перпендикулярная диаметру ( CD), O пополам: AO = OB.

Рис. 15

Интересный факт:

Поздравляем с Пи-раздником вас.

Выражаясь научным языком, число "Пи" - это отношение длины окружности к ее диаметру. Простая вроде бы вещь, но волнует умы математиков с глубокой древности. И продолжает волновать. До такой степени, что ученые - лет 20 назад - договорились отмечать праздник этого числа. И призвали присоединиться к торжествам всю прогрессивную общественность. Она присоединяется: ест круглые Пи-роги, вы-ПИ-вает, обязательно Пи-во и издает звуки Пи при встрече.

Фанаты будут соревноваться, вспоминая знаки числа "Пи". И постараются превзойти рекорд 24-летнего китайского студента Лю Чао, который назвал по памяти без ошибок 68890 знаков. На это у него ушло 24 часа и 4 минуты.

Отправление торжеств назначено на 14 марта - дату, которая в американском написании выглядит как 3.14 - то есть, первыми тремя цифрами числа "Пи".
По легенде, о числе "Пи" знали еще вавилонские жрецы. Использовали при строительстве Вавилонской башни. Но не смогли точно вычислить его значение и от этого не справились с проектом. Сам символ числа "Пи" впервые использовал в своих трудах в 1706 году математик Уильям Джон (William Jones). Но реально он прижился после 1737 года благодаря стараниям шведского математика Леонарда Эйлера (Leonhard Euler).

Отмечать праздник придумал американский физик Ларри Шо (Larry Shaw).
На вопрос, сколько знаков в числе "Пи" после запятой, точного ответа нет. Скорее всего, их бесконечное число. А главная особенность в том, что последовательность этих знаков не повторяется. Сегодня их известно 12411 триллионов. Обследовано 500 миллиардов. И повторений не найдено.

Как считают некоторые видные физики и математики, например Дэвид Бейли, Питер Борвин и Саймон Плофе (David Bailey, Peter Borewin, Simon Plouffe), их - повторений - не найти никому и никогда. Хоть испиши знаками всю Вселенную. Да хоть сколько Вселенных... И в этом ученые видят некую скрытую мистику. Полагают, что в числе "Пи" зашифрован бесконечный первородный хаос, ставший потом гармонией. Или какая-то загадочная информация.

Вопросы:

1. Сформулируйте определение окружности и круга?
2. С какими новыми понятиями вы познакомились?
3. Что называется геометрическим местом точек?
4. Какая разница между диаметром и радиусом?
5. Как найти радиус окружности какая описана около треугольника?

Список использованных источников:

1. Урок на тему "Наглядная геометрия"
2. Савин А.П. Метод геометрических мест /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, с. 74.
3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 84.
4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, с. 76.
5. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»

Над уроком работали:

Самылина М.В.

Потурнак С.А.

Владимир ЛАГОВСКИЙ

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

Геометрическим местом точек (в дальнейшем ГМТ), называется фигура плоскости, состоящая из точек обладающих некоторым свойством, и не содержащая ни одной точки, не обладающей этим свойством.

Мы будем рассматривать только те ГМТ, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим ГМТ на плоскости, обладающие простейшими и наиболее часто выражающимися свойствами:

1) ГМТ, отстоящих на данном расстоянии r от данной точки О, есть окружность с центром в точке О радиуса r.

2) ГМТ равноудаленных от двух данных точек А и В, есть прямая, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину.

3) ГМТ равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых, есть пара взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через точку пересечения и делящих углы между данными прямыми пополам.

4) ГМТ, отстоящих на одинаковом расстоянии h от прямой, есть две прямые, параллельные этой прямой и находящиеся по разные стороны от нее на данном расстоянии h.

5) Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой m в данной на ней точке М, есть перпендикуляр к АВ в точке М (кроме точки М).

6) Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней очке М, есть прямая, проходящая через точку М и центр данной окружности (кроме точек М и О).

7) ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом, составляет две дуги окружностей, описанных на данном отрезке и вмещающих данный угол.

8) ГМТ, расстояния от которых до двух данных точек А и В находятся в отношении m: n, есть окружность (называемая окружностью Аполлония).

9) Геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, построенная на отрезке, соединяющем данную точку с центром данной окружности, как на диаметре.

10) Геометрическое место вершин треугольников равновеликих данному и имеющих общее основание, составляет две прямые, параллельные основанию и проходящие через вершину данного треугольника и ему симметричного относительно прямой, содержащей основание.

Приведем примеры отыскания ГМТ.

ПРИМЕР 2. Найти ГМТ, являющихся серединами хорд, проведенных из одной точки данной окружности (ГМТ № 9).

Решение . Пусть дана окружность с центром О и на этой окружности выбрана точка А из которой проводятся хорды. Покажем, что искомое ГМТ есть окружность, построенная на АО как на диаметре (кроме точки А) (рис. 3).

Пусть АВ - некоторая хорда и М - ее середина. Соединим М и О. Тогда МО ^ АВ (радиус, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде). Но, тогда ÐАМО = 90 0 . Значит М принадлежит окружности с диаметром АО (ГМТ № 7). Т.к. эта окружность проходит через точку О, то О принадлежит нашему ГМТ.

Обратно, пусть М принадлежит нашему ГМТ. Тогда, проведя через М хорду АВ и соединив М и О, получим, что ÐАМО = 90 0 , т.е. МО ^ АВ, а, значит, М - середина хорды АВ. Если же М совпадает с О, то О - середина АС.

Часто метод координат позволяет находить ГМТ.

ПРИМЕР 3. Найти ГМТ, расстояние от которых до двух данных точек А и В находятся в данном отношении m: n (m ≠ n).

Решение . Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы точки А и В располагались на оси Ох симметрично относительно начала координат, а ось Оу проходила через середину АВ (рис.4). Положим АВ = 2a. Тогда точка А имеет координаты А (a, 0), точка В - координаты В (-a, 0). Пусть С принадлежит нашему ГМТ, координаты С(х, у) и CB/CA = m/n. Но Значит

(*)

Преобразуем наше равенство. Имеем

Классическое определение вероятности связано с понятием элементарного события. Рассматривается некий набор Ω равновероятных событий A i , которые в совокупности дают достоверное событие. И тогда все хорошо: всякое событие разбивается на элементарные, после чего считается его вероятность.

Однако, далеко не всегда исходный набор Ω (т.е. пространство всех элементарных событий) является конечным. Например, в качестве Ω можно взять ограниченное множество точек на плоскости или отрезок на прямой.

В качестве события A можно рассмотреть любую подобласть области Ω. Например, фигуру внутри исходной фигуры на плоскости или отрезок, лежащий внутри исходного отрезка на прямой.

Заметим, что элементарным событием на таком множестве может быть только точка. В самом деле, если множество содержит более одной точки, его можно разбить на два непустых подмножества. Следовательно, такое множество уже неэлементарно.

Теперь определим вероятность. Тут тоже все легко: вероятность «попадания» в каждую конкретную точку равна нулю. Иначе получим бесконечную сумму одинаковых положительных слагаемых (ведь элементарные события равновероятны), которые в сумме по-любому больше P (Ω) = 1.

Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω - это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события A , являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости - это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

Задача. Мишень имеет форму окружности радиуса 4. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены.

Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S (A ) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем:

Как видите, ничего сложного в геометрической вероятности нет. Однако даже в Москве многие репетиторы по высшей математике стараются обойти эту тему стороной, поскольку считают ее необязательной. Результат - непонимание материала и, как следствие, проблемы на экзамене по теории вероятностей.

Чтобы наглядно представить себе, что такое геометрическая вероятность, возьмите лист бумаги и начертите произвольную фигуру. Треугольник, квадрат или окружность - что угодно. Затем возьмите острый, хорошо заточенный карандаш и ткните им в любую точку фигуры. Повторите этот нехитрый процесс несколько раз. Если исключить попадания за пределами фигуры, то получится вот что:

1. Вероятность попадания в фигуру равна P (Ω) = 1. Это вполне логично, поскольку вся наша фигура - это и есть пространство элементарных событий Ω;
2. Если некоторую точку (элементарное событие) отметить заранее, то вероятность попадания именно в нее равна нулю. Даже если специально «целиться», точного попадания не будет. Ошибка составит тысячные доли миллиметра, но не ноль;
3. Теперь возьмем две точки. Вероятность попадания в любую из них все равно ноль. Аналогично, если взять 3 точки. Или пять - без разницы.

Этот опыт показывает, что конечная сумма нулевых слагаемых всегда равна нулю. Но что происходит, когда слагаемых становится бесконечно много? Здесь ситуация не так однозначна, и возможны три варианта:

1. Сумма равна нулю, как и для конечного набора точек. Если в нашем опыте отмечать точки до бесконечности, вероятность попадания в их объединение все равно нулевая;
2. Сумма равна некоторому положительному числу - этот случай принципиально отличается от первого. Здесь и возникает геометрическая вероятность;
3. Сумма равна бесконечности - бывает и такое, но сейчас нас это не интересует.

Почему так происходит? Механизм возникновения положительных чисел и бесконечностей связан с понятием счетности множества. Кроме того, надо понимать, что такое мера Лебега. Впрочем, эти знания действительно нужны вам, только если вы учитесь на математика.