Физический смысл волновой функции. Волновая функция

Дифракционная картина, наблюдающаяся для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц в различных направлениях - имеются минимумы и максимумы в других направлениях. Наличие максимумов в дифракционной картине означает, что в этих направлениях распределяются волны де Бройля с наибольшей интенсивностью. А интенсивность будет максимальной, если в этом направлении распространяется максимальное число частиц. Т.е. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности в распределении частиц: где интенсивность волны де Бройля максимальная, там и частиц больше.

Волны де Бройля в квантовой механике рассматриваются как волны вероятности, т.е. вероятность обнаружить частицу в различных точках пространства меняется по волновому закону (т.е. е - iωt ). Но для некоторых точек пространства такая вероятность будет отрицательной (т.е. частица не попадает в эту область). М. Борн (немецкий физик) предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности, которую также называют волновой функцией или -функцией (пси - функцией).

Волновая функция - функция координат и времени.

Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV - физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат ее модуля.

Ψ * - функция комплексно сопряженная с Ψ

(z = a +ib, z * =a- ib, z * - комплексно сопряженное)

Если частица находится в конечном объеме V, то возможность обнаружить ее в этом объеме равна 1, (достоверное событие)

Р = 1 

В квантовой механике принимается, что Ψ и АΨ, где А = const , описывают одно и то же состояние частицы. Следовательно,

Условие нормировки

интеграл по , означает, что он вычисляется по безграничному объему (пронстранству).

 - функция должна быть

1) конечной (так как Р не может быть больше1),

2) однозначной (нельзя обнаружить частицу при неизменных условиях с вероятностью допустим 0,01 и 0,9, так как вероятность должна быть однозначной).

непрерывной (следует из неприрывности пространства. Всегда имеется вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства, но для разных точек она будет разная),

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции : если система может находится в различных состояниях, описываемых волновыми функциями  1 , 2 ... n , то она может находится в состоянии , описываемой линейной комбинаций этих функций:

С n (n=1,2...) - любые числа.

С помощью волновой функции вычисляются средние значения любой физической величины частицы

§5 Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера, как и другие основные уравнения физики (уравнения Ньютона, Максвелла), не выводится, а постулируется. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с экспериментальными данными.

(1)

Временное уравнение Шредингера.

Набла - оператор Лапласа

Потенциальная функция частицы в силовом поле,

Ψ(y,z,t) - искомая функция

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. не изменяется с течением времени), то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера (т.е. Ψ - функция) может быть представлено в виде произведения двух сомножителей - один зависит только от координат, другой - только от времени:

(2)

Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля.

Подставив (2)  (1):

(3)

Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Имеется бесконечно много решений. Посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.

Граничные условия:

волновые функции должны быть регулярными , т.е.

1)конечными;

2) однозначными;

3) непрерывными.

Решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называются собственными функциями, а соответствующие им значения энергии - собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если Е n принимает дискретные значения, то спектр - дискретный , если непрерывные - сплошной или непрерывный .

· Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект

Эксперименты
Опыт Дэвиссона - Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна - Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона

Формулировки
Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана

Уравнения
Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна - Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера - Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга

Интерпретации
Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля - Бома

Развитие теории
Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу - Вайнберга - Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация

Известные учёные
Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Волнова́я фу́нкция , или пси-фу́нкция $\backslash psi$ - комплекснозначная функция , используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы . Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

$\backslash left|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle=\backslash int\; \backslash Psi(x,t)\backslash left|x\backslash right\backslash rangle\; dx$

где $\backslash left|x\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left|x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots\; ,\; x\_n\backslash right\backslash rangle$ - координатный базисный вектор, а $\backslash Psi(x,t)=\; \backslash langle\; x\backslash left|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle$ - волновая функция в координатном представлении .

Нормированность волновой функции

Волновая функция $\backslash Psi$ по своему смыслу должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:

$\{\backslash int\backslash limits\_\{V\}\{\backslash Psi^\backslash ast\backslash Psi\}dV\}=1$

Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией где-либо в пространстве равна единице. В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых зависит волновая функция в данном представлении.

Принцип суперпозиции квантовых состояний

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции , заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями $\backslash Psi\_1$ и $\backslash Psi\_2$, то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

$\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2$ при любых комплексных $c\_1$ и $c\_2$.

Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (наложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией $\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \{c\}\_N\{\backslash Psi\}\_N=\backslash sum\_\{n=1\}^\{N\}\; \{c\}\_n\{\backslash Psi\}\_n$.

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента $\{c\}\_n$ определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией $\{\backslash Psi\}\_n$.

Поэтому для нормированных волновых функций $\backslash sum\_\{n=1\}^\{N\}\backslash left|c\_\{n\}\backslash right|^2=1$.

Условия регулярности волновой функции

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.

1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл $(1)$ станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией, т.е принадлежала гильбертовому пространству $L^2$. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.
2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.
3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции $\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Psi\}\{\backslash partial\; x\}$, $\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Psi\}\{\backslash partial\; y\}$, $\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Psi\}\{\backslash partial\; z\}$. Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода .

Волновая функция в различных представлениях

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции , представляет собой полную систему коммутирующих наблюдаемых . В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов наблюдаемых, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор величин определяет представление волновой функции . Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и др.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении , то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении , то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс .

Матричная и векторная формулировки

Волновая функция одного и того же состояния в различных представлениях - будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов. В волновой механике используется представление, где аргументами пси-функции является полная система непрерывных коммутирующих наблюдаемых, а в матричной используется представление, где аргументами пси-функции является полная система дискретных коммутирующих наблюдаемых. Поэтому функциональная (волновая) и матричная формулировки очевидно математически эквивалентны.

Философский смысл волновой функции

Волновая функция представляет собой метод описания чистого состояния квантовомеханической системы. Смешанные квантовые состояния (в квантовой статистике) следует описывать оператором типа матрицы плотности . То есть, некая обобщённая функция от двух аргументов должна описать корреляцию нахождения частицы в двух точках.

Следует понимать, что проблема, которую решает квантовая механика, - это проблема самой сути научного метода познания мира.

См. также

Напишите отзыв о статье "Волновая функция"

Литература

• Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. - М.: Сов. Энциклопедия, 1984. - 944 с.

Ссылки

• Квантовая механика - статья из Большой советской энциклопедии .

Письмо это еще не было подано государю, когда Барклай за обедом передал Болконскому, что государю лично угодно видеть князя Андрея, для того чтобы расспросить его о Турции, и что князь Андрей имеет явиться в квартиру Бенигсена в шесть часов вечера. В этот же день в квартире государя было получено известие о новом движении Наполеона, могущем быть опасным для армии, – известие, впоследствии оказавшееся несправедливым. И в это же утро полковник Мишо, объезжая с государем дрисские укрепления, доказывал государю, что укрепленный лагерь этот, устроенный Пфулем и считавшийся до сих пор chef d"?uvr"ом тактики, долженствующим погубить Наполеона, – что лагерь этот есть бессмыслица и погибель русской армии. Князь Андрей приехал в квартиру генерала Бенигсена, занимавшего небольшой помещичий дом на самом берегу реки. Ни Бенигсена, ни государя не было там, но Чернышев, флигель адъютант государя, принял Болконского и объявил ему, что государь поехал с генералом Бенигсеном и с маркизом Паулучи другой раз в нынешний день для объезда укреплений Дрисского лагеря, в удобности которого начинали сильно сомневаться. Чернышев сидел с книгой французского романа у окна первой комнаты. Комната эта, вероятно, была прежде залой; в ней еще стоял орган, на который навалены были какие то ковры, и в одном углу стояла складная кровать адъютанта Бенигсена. Этот адъютант был тут. Он, видно, замученный пирушкой или делом, сидел на свернутой постеле и дремал. Из залы вели две двери: одна прямо в бывшую гостиную, другая направо в кабинет. Из первой двери слышались голоса разговаривающих по немецки и изредка по французски. Там, в бывшей гостиной, были собраны, по желанию государя, не военный совет (государь любил неопределенность), но некоторые лица, которых мнение о предстоящих затруднениях он желал знать. Это не был военный совет, но как бы совет избранных для уяснения некоторых вопросов лично для государя. На этот полусовет были приглашены: шведский генерал Армфельд, генерал адъютант Вольцоген, Винцингероде, которого Наполеон называл беглым французским подданным, Мишо, Толь, вовсе не военный человек – граф Штейн и, наконец, сам Пфуль, который, как слышал князь Андрей, был la cheville ouvriere [основою] всего дела. Князь Андрей имел случай хорошо рассмотреть его, так как Пфуль вскоре после него приехал и прошел в гостиную, остановившись на минуту поговорить с Чернышевым. Пфуль с первого взгляда, в своем русском генеральском дурно сшитом мундире, который нескладно, как на наряженном, сидел на нем, показался князю Андрею как будто знакомым, хотя он никогда не видал его. В нем был и Вейротер, и Мак, и Шмидт, и много других немецких теоретиков генералов, которых князю Андрею удалось видеть в 1805 м году; но он был типичнее всех их. Такого немца теоретика, соединявшего в себе все, что было в тех немцах, еще никогда не видал князь Андрей. Пфуль был невысок ростом, очень худ, но ширококост, грубого, здорового сложения, с широким тазом и костлявыми лопатками. Лицо у него было очень морщинисто, с глубоко вставленными глазами. Волоса его спереди у висков, очевидно, торопливо были приглажены щеткой, сзади наивно торчали кисточками. Он, беспокойно и сердито оглядываясь, вошел в комнату, как будто он всего боялся в большой комнате, куда он вошел. Он, неловким движением придерживая шпагу, обратился к Чернышеву, спрашивая по немецки, где государь. Ему, видно, как можно скорее хотелось пройти комнаты, окончить поклоны и приветствия и сесть за дело перед картой, где он чувствовал себя на месте. Он поспешно кивал головой на слова Чернышева и иронически улыбался, слушая его слова о том, что государь осматривает укрепления, которые он, сам Пфуль, заложил по своей теории. Он что то басисто и круто, как говорят самоуверенные немцы, проворчал про себя: Dummkopf… или: zu Grunde die ganze Geschichte… или: s"wird was gescheites d"raus werden… [глупости… к черту все дело… (нем.) ] Князь Андрей не расслышал и хотел пройти, но Чернышев познакомил князя Андрея с Пфулем, заметив, что князь Андрей приехал из Турции, где так счастливо кончена война. Пфуль чуть взглянул не столько на князя Андрея, сколько через него, и проговорил смеясь: «Da muss ein schoner taktischcr Krieg gewesen sein». [«То то, должно быть, правильно тактическая была война.» (нем.) ] – И, засмеявшись презрительно, прошел в комнату, из которой слышались голоса. Видно, Пфуль, уже всегда готовый на ироническое раздражение, нынче был особенно возбужден тем, что осмелились без него осматривать его лагерь и судить о нем. Князь Андрей по одному короткому этому свиданию с Пфулем благодаря своим аустерлицким воспоминаниям составил себе ясную характеристику этого человека. Пфуль был один из тех безнадежно, неизменно, до мученичества самоуверенных людей, которыми только бывают немцы, и именно потому, что только немцы бывают самоуверенными на основании отвлеченной идеи – науки, то есть мнимого знания совершенной истины. Француз бывает самоуверен потому, что он почитает себя лично, как умом, так и телом, непреодолимо обворожительным как для мужчин, так и для женщин. Англичанин самоуверен на том основании, что он есть гражданин благоустроеннейшего в мире государства, и потому, как англичанин, знает всегда, что ему делать нужно, и знает, что все, что он делает как англичанин, несомненно хорошо. Итальянец самоуверен потому, что он взволнован и забывает легко и себя и других. Русский самоуверен именно потому, что он ничего не знает и знать не хочет, потому что не верит, чтобы можно было вполне знать что нибудь. Немец самоуверен хуже всех, и тверже всех, и противнее всех, потому что он воображает, что знает истину, науку, которую он сам выдумал, но которая для него есть абсолютная истина. Таков, очевидно, был Пфуль. У него была наука – теория облического движения, выведенная им из истории войн Фридриха Великого, и все, что встречалось ему в новейшей истории войн Фридриха Великого, и все, что встречалось ему в новейшей военной истории, казалось ему бессмыслицей, варварством, безобразным столкновением, в котором с обеих сторон было сделано столько ошибок, что войны эти не могли быть названы войнами: они не подходили под теорию и не могли служить предметом науки. В 1806 м году Пфуль был одним из составителей плана войны, кончившейся Иеной и Ауерштетом; но в исходе этой войны он не видел ни малейшего доказательства неправильности своей теории. Напротив, сделанные отступления от его теории, по его понятиям, были единственной причиной всей неудачи, и он с свойственной ему радостной иронией говорил: «Ich sagte ja, daji die ganze Geschichte zum Teufel gehen wird». [Ведь я же говорил, что все дело пойдет к черту (нем.) ] Пфуль был один из тех теоретиков, которые так любят свою теорию, что забывают цель теории – приложение ее к практике; он в любви к теории ненавидел всякую практику и знать ее не хотел. Он даже радовался неуспеху, потому что неуспех, происходивший от отступления в практике от теории, доказывал ему только справедливость его теории. Он сказал несколько слов с князем Андреем и Чернышевым о настоящей войне с выражением человека, который знает вперед, что все будет скверно и что даже не недоволен этим. Торчавшие на затылке непричесанные кисточки волос и торопливо прилизанные височки особенно красноречиво подтверждали это. Он прошел в другую комнату, и оттуда тотчас же послышались басистые и ворчливые звуки его голоса. Не успел князь Андрей проводить глазами Пфуля, как в комнату поспешно вошел граф Бенигсен и, кивнув головой Болконскому, не останавливаясь, прошел в кабинет, отдавая какие то приказания своему адъютанту. Государь ехал за ним, и Бенигсен поспешил вперед, чтобы приготовить кое что и успеть встретить государя. Чернышев и князь Андрей вышли на крыльцо. Государь с усталым видом слезал с лошади. Маркиз Паулучи что то говорил государю. Государь, склонив голову налево, с недовольным видом слушал Паулучи, говорившего с особенным жаром. Государь тронулся вперед, видимо, желая окончить разговор, но раскрасневшийся, взволнованный итальянец, забывая приличия, шел за ним, продолжая говорить: – Quant a celui qui a conseille ce camp, le camp de Drissa, [Что же касается того, кто присоветовал Дрисский лагерь,] – говорил Паулучи, в то время как государь, входя на ступеньки и заметив князя Андрея, вглядывался в незнакомое ему лицо.

3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

3.1.Волновая функция

Всякая микрочастица – это образование особого рода, сочетающее в себе свойства и частицы, и волны. Отличие микрочастицы от волны состоит в том, что она обнаруживается как неделимое целое. Например, никто не наблюдал полэлектрона. В тоже время волну можно разделить на части и затем воспринимать каждую часть в отдельности.

Отличие микрочастицы в квантовой механике от обычной микрочастицы заключается в том, что она не обладает одновременно определенными значениями координат и импульса, поэтому понятие траектории для микрочастицы утрачивает смысл.

Распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой области пространства будем описывать волновой функцией (x , y , z , t ) (пси-функция). Вероятность dP того, что частица находится в элементе объема dV , пропорциональная
и элементу объемуdV :

dP =
dV .

Физический смысл имеет не сама функция
, а квадрат ее модуля – это плотность вероятности. Она определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства.

Волновая функция
является основной характеристикой состояния микрообъектов (микрочастиц). С ее помощью в квантовой механике могут быть вычислены средние значения физических величин, которые характеризуют данный объект, находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией
.

3.2. Принцип неопределенности

В классической механике состояние частицы задают координатами, импульсом, энергией и т.п. Это динамические переменные. Микрочастицу описывать такими динамическими переменными нельзя. Особенность микрочастиц состоит в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Например, частица не может иметь одновременно точных значений координаты х и компоненты импульсар х . Неопределенность значенийх ир х удовлетворяет соотношению:

(3.1)

– чем меньше неопределенность координаты Δх , тем больше неопределенность импульса Δр х , и наоборот.

Соотношение (3.1) называется соотношением неопределенности Гейзенберга и было получено в 1927 г.

Величины Δх и Δр х называются канонически сопряженными. Такими же канонически сопряженными являются Δу и Δр у , и т.п.

Принцип неопределенности Гейзенберга гласит: произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка ħ.

Энергия и время тоже являются канонически сопряженными, поэтому
. Это означает, что определение энергии с точностью ΔЕ должно занять интервал времени:

Δt ~ ħ/ ΔЕ .

Определим значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной Δх , расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы. До прохождения частицы через щель ее составляющая импульсар х имеет точное значение,р х = 0 (щель перпендикулярна к вектору импульса), поэтому неопределенность импульса равна нулю, Δр х = 0, зато координатах частицы является совершенно неопределенной (рис.3.1).

Вмомент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координатых появляется неопределенность Δх , и появляется неопределенность импульса Δр х .

Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2φ , гдеφ – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших порядков пренебрегаем, т.к. их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума).

Таким образом, появляется неопределенность:

Δр х =р sinφ ,

но sinφ = λ / Δх – это условие первого минимума. Тогда

Δр х ~рλ/ Δх ,

Δх Δр х ~рλ = 2πħ ≥ħ/ 2.

Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траектории микрочастиц.

Движение по траектории характеризуется определенными значениями скорости частицы и ее координат в каждый момент времени. Подставив в соотношение неопределенностей вместо р х выражение для импульса
, имеем:

–

чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости, тем с большей точностью применимы к ней понятия траектории.

Например, для микрочастицы размером 1·10 -6 м неопределенности Δх и Δ выходят за пределы точности измерения этих величин, и движение частицы неотделимо от движения по траектории.

Соотношение неопределенностей является фундаментальным положением квантовой механики. Оно, например, позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома. Если бы электрон упал на точечное ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности. Этот принцип требует, чтобы неопределенность координаты электрона Δr и неопределенность импульса Δр удовлетворяли соотношению

Δr Δp ≥ ħ/ 2,

и значение r = 0 невозможно.

Энергия электрона в атоме будет минимальна при r = 0 и р = 0, поэтому для оценки наименьшей возможной энергии положим Δr ≈ r , Δp ≈ p . Тогда Δr Δp ≥ ħ/ 2, и для наименьшего значения неопределенности имеем:

нас интересует только порядок величин, входящих в это соотношение, поэтому множитель можно отбросить. В этом случае имеем
, отсюдар = ħ/ r . Энергия электрона в атоме водорода

(3.2)

Найдем r , при котором энергия Е минимальна. Продифференцируем (3.2) и приравняем производную к нулю:

,

численные множители в этом выражении мы отбросили. Отсюда
- радиус атома (радиус первой боровской орбиты). Для энергии имеем

Можно подумать, что с помощью микроскопа удастся определить положение частицы и тем самым ниспровергнуть принцип неопределенности. Однако микроскоп позволит определить положение частицы в лучшем случае с точностью до длины волны используемого света, т.е. Δх ≈ λ , но т.к. Δр = 0, то Δр Δх = 0 и принцип неопределенности не выполняется?! Так ли это?

Мы пользуемся светом, а свет, согласно квантовой теории, состоит из фотонов с импульсом р = k /λ . Чтобы обнаружить частицу, на ней должен рассеяться или поглотиться хотя бы один из фотонов пучка света. Следовательно, частице будет передан импульс, по крайней мере достигающей h /λ . Таким образом, в момент наблюдения частицы с неопределенностью координаты Δх ≈ λ неопределенность импульса должна быть Δр ≥ h /λ .

Перемножая эти неопределенности, получаем:

–

принцип неопределенности выполняется.

Процесс взаимодействия прибора с изучаемым объектом называется измерением. Этот процесс протекает в пространстве и во времени. Существует важное различие между взаимодействием прибора с макро- и микрообъектами. Взаимодействие прибора с макрообъектом есть взаимодействие двух макрообъектов, которое достаточно точно описывается законами классической физики. При этом можно считать, что прибор не оказывает на измеряемый объект влияния, либо это влияние мало. При взаимодействии прибора с микрообъектами возникает иная ситуация. Процесс фиксации определенного положения микрочастицы вносит в ее импульс изменение, которое нельзя сделать равным нулю:

Δр х ≥ ħ/ Δх.

Поэтому воздействие прибора на микрочастицу нельзя считать малым и несущественным, прибор изменяет состояние микрообъекта – в результате измерения определенные классические характеристики частицы (импульс и др.) оказываются заданными лишь в рамках, ограниченных соотношением неопределенностей.

3.3.Уравнение Шредингера

В 1926 г. Шредингер получил свое знаменитое уравнение. Это основное уравнение квантовой механики, основное предположение, на котором основана вся квантовая механика. Все вытекающие из этого уравнения следствия согласуются с опытом – в этом его подтверждение.

Вероятностное (статистическое) истолкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей указывают, что уравнение движения в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволило объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции
(x , y , z , t ), а точнее квадратом модуля этой величины.
– это вероятность нахождения частицы в точкеx , y , z в момент времени t . Основное уравнение квантовой механики должно быть уравнением относительно функции
(x , y , z , t ). Далее, это уравнение должно быть волновым, из него должны получить свое объяснение эксперименты по дифракции микрочастиц, подтверждающие их волновую природу.

Уравнение Шредингера имеет следующий вид:

. (3.3)

где m – масса частицы, i – мнимая единица,
– оператор Лапласа,
,U – оператор потенциальной энергии частицы.

Вид Ψ-функции определяется функцией U , т.е. характером сил, действующих на частицу. Если силовое поле стационарно, то решение уравнения имеет вид:

, (3.4)

где Е – полная энергия частицы, она остается постоянной при каждого состояния, Е= const .

Уравнение (3.4) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Его еще можно записать в виде:

.

Это уравнение применимо к нерелятивистским системам при условии, что распределение вероятностей не меняется во времени, т.е. когда функции ψ имеют вид стоячих волн.

Уравнение Шредингера можно получить следующим образом.

Рассмотрим одномерный случай – свободно движущуюся частицу по оси х . Ей соответствует плоская волна де Бройля:

,

но
, поэтому
. Продифференцируем это выражение поt :

.

Найдем теперь вторую производную от пси-функции по координате

,

В нерелятивистской классической механике энергия и импульс связаны соотношением:
где Е – кинетическая энергия. Частица движется свободно, ее потенциальная энергия U = 0, и полная Е=Е k . Поэтому

,

– это уравнение Шредингера для свободной частицы.

Если частица движется в силовом поле, то Е – вся энергия (и кинетическая, и потенциальная), поэтому:

,

тогда получим
, или
,

и окончательно

Это уравнение Шредингера.

Приведенные рассуждения – не вывод уравнения Шредингера, а пример того, как это уравнение можно установить. Само же уравнение Шредингера постулируется.

В выражении

левая часть обозначает оператор Гамильтона– гамильтониан – это сумма операторов
иU . Гамильтониан – это оператор энергии. Подробно об операторах физических величин будем говорить в дальнейшем. (Оператор выражает некоторое действие под функцией ψ , которая стоит под знаком оператора). С учетом сказанного имеем:

.

Физический смысл имеет не сама ψ -функция, а квадрат ее модуля, определяющий плотность вероятности нахождения частицы в данном месте пространства. Квантовая механика имеет статистический смысл. Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. Пси-функция лишь дает вероятность, с какой частица может быть обнаружена в данной точке пространства. В связи с этим пси-функция должна удовлетворять следующим условиям:

Она должна быть однозначной, непрерывной и конечной, т.к. определяет состояние частицы;

Она должна иметь непрерывную и конечную производную;

Функция Iψ I 2 должна быть интегрируема, т.е. интеграл

должен быть конечным, так как он определяет вероятность обнаружения частицы.

Интеграл

,

Это условие нормировки. Оно означает, что вероятность того, что частица находится в какой-нибудь из точек пространства, равна единице.

Волнова́я фу́нкция , или пси-фу́нкция ψ {\displaystyle \psi } - комплекснозначная функция , используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы . Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

| ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x , t) | x ⟩ d x {\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx}

где | x ⟩ = | x 1 , x 2 , … , x n ⟩ {\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right\rangle } - координатный базисный вектор, а Ψ (x , t) = ⟨ x | ψ (t) ⟩ {\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle } - волновая функция в координатном представлении.

Нормированность волновой функции

Волновая функция Ψ {\displaystyle \Psi } по своему смыслу должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:

∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 {\displaystyle {\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dV}=1}

Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией где-либо в пространстве равна единице. В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых зависит волновая функция в данном представлении.

Принцип суперпозиции квантовых состояний

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции , заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{1}} и Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{2}} , то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}} при любых комплексных c 1 {\displaystyle c_{1}} и c 2 {\displaystyle c_{2}} .

Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+\ldots +{c}_{N}{\Psi }_{N}=\sum _{n=1}^{N}{c}_{n}{\Psi }_{n}} .

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента c n {\displaystyle {c}_{n}} определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ n {\displaystyle {\Psi }_{n}} .

Поэтому для нормированных волновых функций ∑ n = 1 N | c n | 2 = 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}=1} .

Условия регулярности волновой функции

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.

Волновая функция в различных представлениях используется состояния в различных представлениях - будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов. В волновой механике используется представление, где аргументами пси-функции является полная система непрерывных коммутирующих наблюдаемых, а в матричной используется представление, где аргументами пси-функции является полная система дискретных коммутирующих наблюдаемых. Поэтому функциональная (волновая) и матричная формулировки очевидно математически эквивалентны.

4.4.1. Гипотеза де Бройля

Важным этапом в создании квантовой механики явилось обнаружение волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свойствах была первоначально высказана как гипотеза французским физиком Луи де Бройлем.

В физике в течение многих лет господствовала теория, согласно которой свет есть электромагнитная волна. Однако после работ Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и других стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойствами.

Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц-фотонов. Корпускулярные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свойства.

Итак, фотон-элементарная частица света, обладающая волновыми свойствами.

Формула для импульса фотона

.

(4.4.3)

По де Бройлю, движение частицы, например, электрона, подобно волновому процессу с длиной волны λ , определяемой формулой (4.4.3). Эти волны называют волнами де Бройля . Следовательно, частицы (электроны, нейтроны, протоны, ионы, атомы, молекулы) могут проявлять дифракционные свойства.

К.Дэвиссон и Л.Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля.

Может возникнуть вопрос: что происходит с отдельными частицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?

Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интенсивности, то есть как бы отдельных частиц, показали, что при этом электрон не "размазывается" по разным направлениям, а ведет себя как целая частица. Однако вероятность отклонения электрона по отдельным направлениям в результате взаимодействия с объектом дифракции различная. Наиболее вероятно попадание электронов в те места, которые по расчету соответствуют максимумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов. Таким образом, волновые свойства присущи не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности.

4.4.2. Волновая функция и ее физический смысл

Так как с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, то состояние частиц в квантовой механике описывается волновой функцией, зависящей от координат и времени: .

Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, то есть не зависящим от времени, то ψ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой от координат:

Отсюда следует физический смысл волновой функции:

4.4.3. Соотношение неопределенностей

Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В.Гейзенбергом.

Пусть одновременно измеряют положение и импульс частицы, при этом неточности в определениях абсциссы и проекции импульса на ось абсцисс равны соответственно Δx и Δр x .

В классической физике нет каких-либо ограничений, запрещающих с любой степенью точности одновременно измерить как одну, так и другую величину, то есть Δx→0 и Δр x→ 0.

В квантовой механике положение принципиально иное: Δx и Δр x , соответствующие одновременному определению x и р x , связаны зависимостью

Формулы (4.4.8), (4.4.9) называют соотношениями неопределенностей .

Поясним их одним модельным экспериментом.

При изучении явления дифракции было обращено внимание на то, что уменьшение ширины щели при дифракции приводит к увеличению ширины центрального максимума. Аналогичное явление будет и при дифракции электронов на щели в модельном опыте. Уменьшение ширины щели означает уменьшение Δ x (рис. 4.4.1), это приводит к большему "размазыванию" пучка электронов, то есть к большей неопределенности импульса и скорости частиц.

Рис. 4.4.1.Пояснение к соотношению неопределенности.

Соотношение неопределенностей можно представить в виде

,

(4.4.10)

где ΔE - неопределенность энергии некоторого состояния системы; Δt -промежуток времени, в точение которого оно существует. Соотношение (4.4.10) означает, что чем меньше время существования какого-либо состояния системы, тем более неопределенно его значение энергии. Энергетические уровни Е 1 , Е 2 и т.д. имеют некоторую ширину (рис.4.4.2)), зависящую от времени пребывания системы в состоянии, соответствующем этому уровню.

Рис. 4.4.2.Энергетические уровни Е 1 , Е 2 и т.д. имеют некоторую ширину.

"Размытость" уровней приводит к неопределенности энергии ΔE излучаемого фотона и его частоты Δν при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:

,

где m- масса частицы; ; Е и Е n -ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени)

Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид

(4.4.13)

Одним из наиболее простых примеров на использование уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме.

4.4.5. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа

Описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для одного электрона, находящегося в поле ядра. Такие системы соответствуют атому водорода и водородоподобным ионам (однократно ионизированный атом гелия, двукратно ионизированный атом лития и т.п.). Однако и в этом случае решение задачи является сложным, поэтому ограничимся лишь качественным изложением вопроса.

Прежде всего в уравнение Шредингера (4.4.12) следует подставить потенциальную энергию, которая для двух взаимодействующих точечных зарядов - e (электрон) и Ze (ядро), - находящихся на расстоянии r в вакууме, выражается следующим образом:

Это выражение является решением уравнения Шредингера и полностью совпадает с соответствующей формулой теории Бора (4.2.30)

На рис.4.4.3 показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода (Е 1 , Е 2 , Е 3 и т.д.) и график зависимости потенциальной энергии Е n от расстояния r между электроном и ядром. С возрастанием главного квантового числа n увеличивается r (см.4.2.26), а полная (4.4.15) и потенциальная энергии стремятся к нулю. Кинетическая энергия также стремится к нулю. Заштрихованная область (Е>0) соответствует состоянию свободного электрона.

Рис. 4.4.3. Показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода
и график зависимости потенциальной энергии от расстояния r между электроном и ядром.

Второе квантовое число - орбитальное l , которое при данном n может принимать значения 0, 1, 2, …., n-1. Это число характеризует орбитальный момент импульса L i электрона относительно ядра:

Четвертое квантовое число - спиновое m s . Оно может принимать только два значения (±1/2) и характеризует возможные значения проекции спина электрона:

.(4.4.18)

Состояние электрона в атоме с заданными n и l обозначают следующим образом: 1s, 2s, 2p, 3s и т.д. Здесь цифра указывает значение главного квантового числа, а буква - орбитальное квантовое число: символам s, p, d, f, соответствуют значения l=0, 1, 2. 3 и т.д.