Единичная матрица 2 порядка. Какие матрицы можно умножать? Матричный метод в экономическом анализе

21.09.2019

Матрица - это особый объект в математике. Изображается в форме прямоугольной или квадратной таблицы, сложенной из определенного числа строк и столбцов. В математике имеется большое разнообразие видов матриц, различающихся по размерам или содержанию. Числа ее строк и столбцов именуются порядками. Эти объекты употребляются в математике для упорядочивания записи систем линейных уравнений и удобного поиска их результатов. Уравнения с использованием матрицы решаются посредством метода Карла Гаусса, Габриэля Крамера, миноров и алгебраических дополнений, а также многими другими способами. Базовым умением при работе с матрицами является приведение к стандартному виду. Однако для начала давайте разберемся, какие виды матриц выделяют математики.

Нулевой тип

Все компоненты этого вида матрицы - нули. Между тем, число ее строк и столбцов абсолютно различно.

Квадратный тип

Количество столбцов и строк этого вида матрицы совпадает. Иначе говоря, она представляет собой таблицу формы "квадрат". Число ее столбцов (или строк) именуются порядком. Частными случаями считается существование матрицы второго порядка (матрица 2x2), четвертого порядка (4x4), десятого (10x10), семнадцатого (17x17) и так далее.

Вектор-стобец

Это один из простейших видов матриц, содержащий только один столбец, который включает в себя три численных значения. Она представляет ряд свободных членов (чисел, независимых от переменных) в системах линейных уравнений.

Вид, аналогичный предыдущему. Состоит из трех численных элементов, в свою очередь организованных в одну строку.

Диагональный тип

Числовые значения в диагональном виде матрицы принимают только компоненты главной диагонали (выделена зеленым цветом). Основная диагональ начинается с элемента, находящегося в правом верхнем углу, а заканчивается числом в третьем столбце третьей строки. Остальные компоненты равны нулю. Диагональный тип представляет собой только квадратную матрицу какого-либо порядка. Среди матриц диагонального вида можно выделить скалярную. Все ее компоненты принимают одинаковые значения.

Подвид диагональной матрицы. Все ее числовые значения являются единицами. Используя единичный тип матричных таблиц, выполняют ее базовые преобразования или находят матрицу, обратную исходной.

Канонический тип

Канонический вид матрицы считается одним из основных; приведение к нему часто необходимо для работы. Число строк и столбцов в канонической матрице различно, она необязательно принадлежит к квадратному типу. Она несколько похожа на единичную матрицу, однако в ее случае не все компоненты основной диагонали принимают значение, равное единице. Главнодиагональных единиц может быть две, четыре (все зависит от длины и ширины матрицы). Или единицы могут не иметься вовсе (тогда она считается нулевой). Остальные компоненты канонического типа, как и элементы диагонального и единичного, равны нулю.

Треугольный тип

Один из важнейших видов матрицы, применяемый при поиске ее детерминанта и при выполнении простейших операций. Треугольный тип происходит от диагонального, поэтому матрица также является квадратной. Треугольный вид матрицы подразделяют на верхнетреугольный и нижнетреугольный.

В верхнетреугольной матрице (рис. 1) только элементы, которые находятся над главной диагональю, принимают значение, равное нулю. Компоненты же самой диагонали и части матрицы, располагающейся под ней, содержат числовые значения.

В нижнетреугольной (рис. 2), наоборот, элементы, располагающиеся в нижней части матрицы, равны нулю.

Вид необходим для нахождения ранга матрицы, а также для элементарных действий над ними (наряду с треугольным типом). Ступенчатая матрица названа так, потому что в ней содержатся характерные "ступени" из нулей (как показано на рисунке). В ступенчатом типе образуется диагональ из нулей (необязательно главная), и все элементы под данной диагональю тоже имеют значения, равные нулю. Обязательным условием является следующее: если в ступенчатой матрице присутствует нулевая строка, то остальные строки, находящиеся ниже нее, также не содержат числовых значений.

Таким образом, мы рассмотрели важнейшие типы матриц, необходимые для работы с ними. Теперь разберемся с задачей преобразования матрицы в требуемую форму.

Приведение к треугольному виду

Как же привести матрицу к треугольному виду? Чаще всего в заданиях нужно преобразовать матрицу в треугольный вид, чтобы найти ее детерминант, по-другому называемый определителем. Выполняя данную процедуру, крайне важно "сохранить" главную диагональ матрицы, потому что детерминант треугольной матрицы равен именно произведению компонентов ее главной диагонали. Напомню также альтернативные методы нахождения определителя. Детерминант квадратного типа находится при помощи специальных формул. Например, можно воспользоваться методом треугольника. Для других матриц используют метод разложения по строке, столбцу или их элементам. Также можно применять метод миноров и алгебраических дополнений матрицы.

Подробно разберем процесс приведения матрицы к треугольному виду на примерах некоторых заданий.

Задание 1

Необходимо найти детерминант представленной матрицы, используя метод приведения его к треугольному виду.

Данная нам матрица представляет собой квадратную матрицу третьего порядка. Следовательно, для ее преобразования в треугольную форму нам понадобится обратить в нуль два компонента первого столбца и один компонент второго.

Чтобы привести ее к треугольному виду, начнем преобразование с левого нижнего угла матрицы - с числа 6. Чтобы обратить его в нуль, умножим первую строку на три и вычтем ее из последней строки.

Важно! Верхняя строка не изменяется, а остается такой же, как и в исходной матрице. Записывать строку, в четыре раза большую исходной, не нужно. Но значения строк, компоненты которых нужно обратить в нуль, постоянно меняются.

Осталось только последнее значение - элемент третьей строки второго столбца. Это число (-1). Чтобы обратить его в нуль, из первой строки вычтем вторую.

Выполним проверку:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Значит, ответ к заданию: -22.

Задание 2

Нужно найти детерминант матрицы методом приведения его к треугольному виду.

Представленная матрица принадлежит к квадратному типу и является матрицей четвертого порядка. Значит, необходимо обратить в нуль три компонента первого столбца, два компонента второго столбца и один компонент третьего.

Начнем приведение ее с элемента, находящегося в нижнем углу слева, - с числа 4. Нам нужно обратить данное число в нуль. Удобнее всего сделать это, умножив на четыре верхнюю строку, а затем вычесть ее из четвертой. Запишем итог первого этапа преобразования.

Итак, компонент четвертой строки обращен в нуль. Перейдем к первому элементу третьей строки, к числу 3. Выполняем аналогичную операцию. Умножаем на три первую строку, вычитаем ее из третьей строки и записываем результат.

Нам удалось обратить в нуль все компоненты первого столбца данной квадратной матрицы, за исключением числа 1 - элемента главной диагонали, не требующего преобразования. Теперь важно сохранить полученные нули, поэтому будем выполнять преобразования со строками, а не со столбцами. Перейдем ко второму столбцу представленной матрицы.

Снова начнем с нижней части - с элемента второго столбца последней строки. Это число (-7). Однако в данном случае удобнее начать с числа (-1) - элемента второго столбца третьей строки. Чтобы обратить его в нуль, вычтем из третьей строки вторую. Затем умножим вторую строку на семь и вычтем ее из четвертой. Мы получили нуль вместо элемента, расположенного в четвертой строке второго столбца. Теперь перейдем к третьему столбцу.

В данном столбце нам нужно обратить в нуль только одно число - 4. Сделать это несложно: просто прибавляем к последней строке третью и видим необходимый нам нуль.

После всех произведенных преобразований мы привели предложенную матрицу к треугольному виду. Теперь, чтобы найти ее детерминант, нужно только произвести умножение получившихся элементов главной диагонали. Получаем: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Следовательно, решением является число 160.

Итак, теперь вопрос приведения матрицы к треугольному виду вас не затруднит.

Приведение к ступенчатому виду

При элементарных операциях над матрицами ступенчатый вид является менее "востребованным", чем треугольный. Чаще всего он используется для нахождения ранга матрицы (т. е. количества ее ненулевых строк) или для определения линейно зависимых и независимых строк. Однако ступенчатый вид матрицы является более универсальным, так как подходит не только для квадратного типа, но и для всех остальных.

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду, сначала нужно найти ее детерминант. Для этого подойдут вышеназванные методы. Цель нахождения детерминанта такова: выяснить, можно ли преобразовать ее в ступенчатый вид матрицы. Если детерминант больше или меньше нуля, то можно спокойно приступать к заданию. Если же он равен нулю, выполнить приведение матрицы к ступенчатому виду не получится. В таком случае нужно проверить, нет ли ошибок в записи или в преобразованиях матрицы. Если подобных неточностей нет, задание решить невозможно.

Рассмотрим, как привести матрицу к ступенчатому виду на примерах нескольких заданий.

Задание 1. Найти ранг данной матричной таблицы.

Перед нами квадратная матрица третьего порядка (3x3). Мы знаем, что для нахождения ранга необходимо привести ее к ступенчатому виду. Поэтому сначала нам необходимо найти детерминант матрицы. Воспользуемся методом треугольника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Детерминант = 12. Он больше нуля, значит, матрицу можно привести к ступенчатому виду. Приступим к ее преобразованиям.

Начнем его с элемента левого столбца третьей строки - числа 2. Умножаем верхнюю строку на два и вычитаем ее из третьей. Благодаря этой операции как нужный нам элемент, так и число 4 - элемент второго столбца третьей строки - обратились в нуль.

Мы видим, что в результате приведения образовалась треугольная матрица. В нашем случае продолжить преобразование нельзя, так как остальные компоненты не удастся обратить в нуль.

Значит, делаем вывод, что количество строк, содержащих числовые значения, в данной матрице (или ее ранг) - 3. Ответ к заданию: 3.

Задание 2. Определить количество линейно независимых строк данной матрицы.

Нам требуется найти такие строки, которые нельзя какими-либо преобразованиями обратить в нуль. Фактически нам нужно найти количество ненулевых строк, или ранг представленной матрицы. Для этого выполним ее упрощение.

Мы видим матрицу, не принадлежащую к квадратному типу. Она имеет размеры 3x4. Начнем приведение также с элемента левого нижнего угла - числа (-1).

Дальнейшие ее преобразования невозможны. Значит, делаем вывод, что количество линейно независимых строк в ней и ответ к заданию - 3.

Теперь приведение матрицы к ступенчатому виду не является для вас невыполнимым заданием.

На примерах данных заданий мы разобрали приведение матрицы к треугольному виду и ступенчатому виду. Чтобы обратить в нуль нужные значения матричных таблиц, в отдельных случаях требуется проявить фантазию и правильно преобразовать их столбцы или строки. Успехов вам в математике и в работе с матрицами!

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m ×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .

В общем виде матрицу размером m ×n записывают так

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц . Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a ij = b ij . Так если и , то A=B , если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 и a 22 = b 22 .

Транспонирование . Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A , а переход от A к B транспонированием .

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A , обычно обозначают A T .

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры . Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B , стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C , которая определяется по правилу, например,

Примеры. Найти сумму матриц:

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B )+C =A +(B+C ).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB , элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij) размера m ×n на матрицу B = (b ij) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

Примеры.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A . Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC .

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A , причём AE=EA=A .

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например , если , то

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a 11 a 22 – a 12 a 21 .

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a 11 , a 12 , a 13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Точки в пространстве, произведение Rv даёт другой вектор, который определяет положение точки после вращения. Если v - вектор-строка , такое же преобразование можно получить, используя vR T , где R T - транспонированная к R матрица.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

C# - Консоль - Олимпиада - Квадратная спираль

Матрица: определение и основные понятия

Где брать силы и вдохновения Подзарядка 4 квадратной матрицы

Сумма и разность матриц, умножение матрицы на число

Транспонована матриця / Транспонированная матрица

Субтитры

Главная диагональ

Элементы a ii (i = 1, ..., n ) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Эти элементы лежат на воображаемой прямой, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний угол матрицы. Например, главная диагональ 4х4 матрицы на рисунке содержит элементы a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Диагональ квадратной матрицы, проходящая через нижний левый и верхний правый углы, называется побочной .

Специальные виды

Название	Пример с n = 3
Диагональная матрица	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}
Нижняя треугольная матрица	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}
Верхняя треугольная матрица	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}

Диагональные и треугольные матрицы

Если все элементы вне главной диагонали нулевые, A называется диагональной . Если все элементы над (под) главной диагональю нулевые, A называется нижней (верхней) треугольной матрицей .

Единичная матрица

Q (x ) = x T Ax

принимает только положительные значения (соответственно, отрицательные значения или и те, и другие). Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно, только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно полуопределённой (соответственно, отрицательно полуопределённой). Матрица будет неопределённой, если она ни положительно, ни отрицательно полуопределена.

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все её собственные значения положительны. Таблица справа показывает два возможных случая для матриц 2×2.

Если использовать два различных вектора, получим билинейную форму , связанную с A :

B A (x , y ) = x T Ay .

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица - это квадратная матрица с вещественными элементами, столбцы и строки которой являются ортогональными единичными векторами (т. е. ортонормальными). Можно также определить ортогональную матрицу как матрицу, обратная которой равна транспонированной:

A T = A − 1 , {\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1},}

откуда вытекает

A T A = A A T = E {\displaystyle A^{T}A=AA^{T}=E} ,

Ортогональная матрица A всегда обратима (A −1 = A T), унитарна (A −1 = A *), и нормальна (A *A = AA *). Определитель любой ортонормальной матрицы равен либо +1, либо −1. В качестве линейного отображения любая ортонормальная матрица с определителем +1 является простым поворотом , в то время как любая любая ортонормальная матрица с определителем −1 является либо простым отражением , либо композицией отражения и поворота.

Операции

След

Определитель det(A ) или |A | квадратной матрицы A - это число, определяющее некоторые свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда , когда её определитель ненулевой.

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m) .

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.

1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Операции сложения и вычитания матриц

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Операция умножения матриц

Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Операция транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.