Цилиндрическая поверхность вращения. Пересечение поверхности конуса вращения с плоскостью

Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения .

Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой. Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 42).

Эти окружности называются параллелями . Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям . Линия пересечения поверхности вращения плоскостью Σ , проходящей через ось, называется меридианом .

Меридиан, который является результатом пересечения поверхности вращения с плоскостью уровня, называетсяглавным . Проекция главного меридиана на плоскость, которой параллельна плоскость уровня, является очерковой линией соответствующей проекции поверхности вращения.

М

Рис. 42 Элементы поверхности вращения

ножество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывныйкаркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана. Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку.

При проектировании различных инженерных сооружений, машин и механизмов наибольшее распространение получили поверхности, образующиеся вращением прямой линии и кривых второго порядка.

Вращением прямой линии образуются:

– цилиндр вращения , если прямая l параллельна оси i (рис. 43 а );

– конус вращения , если прямая l пересекает ось i (рис. 43 б );

– однополостный гиперболоид , если прямая l скрещивается с осью i (рис. 43 в ).

Рис. 43 Линейчатые поверхности вращения

К поверхностям вращения, образованным вращением кривых второго порядка вокруг оси относятся:

– сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 44 а );

– эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси (44 б , в );

– тор образуется вращением окружности вокруг внешней оси (рис. 44 г );

Рис. 44 Поверхности вращения второго порядка

–параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 44 д );

– однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой (рис. 44 е ).

Каналовые и циклические поверхности

Каналовой называют поверхность, образованную непрерывным каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве. Площади этих сечений могут оставаться постоянными или монотонно изменяться в процессе перехода от одного сечения к другому. На рис. 45 приведены два изображения каналовой поверхности. В инженерной практике наибольшее распространение получили два способа ориентирования плоскостей образующих:

– параллельно какой-либо плоскости – каналовые поверхности с плоскостью параллелизма ;

– перпендикулярно к направляющей линии – прямые каналовые поверхности .

Каналовая поверхность может быть использована для создания переходных участков между двумя поверхностями типа трубопроводов, имеющих:

– различную форму, но одинаковую площадь нормального сечения;

– одинаковую форму, но различные площади сечения;

– различную форму и различные площади поперечных сечений.

Циклическую поверхность можно рассматривать как частный случай каналовой поверхности. Она образуется с помощью окружности, центр которой перемещается по криволинейной направляющей. В процессе движения радиус окружности монотонно меняется. Пример циклической поверхности показан на рис. 46.

Трубчатая поверхность относится к группе нелинейчатых поверхностей с образующей постоянного вида и является частным случаем циклической и каналовой поверхностей. Она обладает свойствами, присущими этим видам поверхностей. У циклической поверхности она позаимствовала форму образующей, а у каналовой – закон движения этой образующей. На рис. 47 приведен пример трубчатой поверхности.

Конус вращения представляет собой частный случай, когда его ось вращения / _L Определитель конуса вращения выражается формулой Ф (/", /), где / - прямолинейная образующая (рис. 152).

Построение точки на поверхности конуса является, как известно, простейшей задачей. Для построения недостающей проекции точки нужно провести линию на поверхности через эту точку. Для поверхностей вращения эти линии являются прямолинейными (для конуса - /) или криволинейными меридианами и круговыми параллелями р. Непрерывное множество меридианов образует непрерывный каркас прямолинейных образующих поверхности конуса. Проекции точек, принадлежащих поверхности конуса, удобно строить с помощью параллелей и меридианов. Если точки Nn М принадлежат образующей конуса SM, совпадающей на фронтальной плоскости проекций П 2 с проекцией оси / 2 , то на горизонтальной плоскости проекций n t следует их строить с помощью параллелир (рис. 152, а). Точно так же для повышения точности графического построения можно построить с помощью параллели р точку А, определенную на эпюре с помощью образующей АВ (рис. 152, б).

Рис. 152

Линии, которые образуются при пересечении поверхности прямого конуса с плоскостью, называются коническими сечениями.

Если плоскость, пересекающая прямой конус вращения, параллельна горизонтальной плоскости проекций П 1? то в сечении конической поверхности будет окружность, т.е. кривая идет по параллели. При пересечении плоскостью, которая не параллельна ни одной из его образующих, в сечении получится эллипс (рис. 153).

Фронтально проецирующая плоскость Е на фронтальной плоскости проекций П 2 рассекает конус по проекции большой оси 1 2 -2 2

Рис. 153

эллипса. Она проецируется без искажений. Точки 1 и 2 являются опорными. Через середину большой оси эллипса проведена вспомогательная секущая плоскость (3 || flj - горизонтальная плоскость уровня, пересекающая конус по параллели р". Эта параллель проецируется на Щ в натуральную величину. Проекционная линия связи в пересечении с проекцией параллели р" отметит на П j малую ось эллипса 3J-4J. На П! она проецируется в натуральную величину. Для построения промежуточных точек 5 и 6 кривой сечения вводим дополнительную секущую горизонтальную плоскость уровня у || П,.

Точки 7 и 8 построены как симметричные точкам 5 и 6 относительно малой оси 3-4 эллипса. Натуральная величина кривой сечения эллипса построена при помощи способа замены плоскостей проекций П,/П 2 -> П 2 /П 4 .

Если секущая плоскость - фронтально проецирующая плоскость I ± П 2 - параллельна одной образующей конуса, то в сечении конуса получается парабола (рис. 154).

Опорные точки 1 - вершина парабола, точки 2 и 3 - следы параболы на плоскости у основания конуса. На рис. 154 показана вспомогательная секущая плоскость уровня (3, с помощью которой построены промежуточные точки 4 и 5 аналогично алгоритму построения эллиптического сечения. Натуральная величина параболы построена с помощью способа замены плоскостей проекций.

Рис. 154 146

Гиперболическое сечение конуса получается, если секущая плоскость Е _L П 2 параллельна двум образующим конуса. При прохождении такой плоскости через вершину конуса точку S гипербола вырождается в две прямые (образующие конуса). Секущая плоскость Е параллельна двум образующим конуса SA и SB и пересекает конус по гиперболе (рис. 155).

Рис. 155

Секущая плоскость? пересекает коническую поверхность таким образом, что в сечении получаются две ветви гиперболы, имеющие одну действительную ось i и другую мнимую, перпендикулярную к i ось у. В точке О гипербола имеет две взаимно перпендикулярные асимптоты, которые касаются ветвей гиперболы в двух бесконечно удаленных точках и принадлежат плоскости гиперболы. Асимптоты гиперболы параллельны образующим SA и SB конуса. Проводим горизонтальную плоскость уровня Р || П] и строим точки 5 и 6. Далее строим точки 7 и 8 как симметричные точкам 5 и 6 относительно мнимой оси гиперболы j. Натуральную величину ветвей гиперболы строят с помощью замены плоскостей проекций.

Поверхности вращения и ограничиваемые ими тела имеют широкое применение во многих областях техники: баллон электронно-лучевой трубки (рис. 8.11, а), центр токарного станка (рис. 8.11, б), объемный сверхвысокочастотный резонатор электромагнитных колебаний (рис. 8.11, в), сосуд Дьюара для хранения жидкого воздуха (рис. 8.11, г), коллектор электронов мощного электронно-лучевого прибора (рис. 8.11, д) и т.д.

В зависимости от вида образующей поверхности вращения могут быть линейчатыми, нелинейчатыми или состоять из частей таких поверхностей.

Поверхностью вращения называют поверхность, получающуюся от вращения некоторой образующей линии вокруг неподвижной прямой- оси поверхности.

На чертежах ось изображают штрихпунктирной линией. Образующая линия может в общем случае иметь как криволинейные, так и прямолинейные участки. Поверхность вращения на чертеже можно задать образующей и положением оси. На рисунке 8.12 изображена поверхность вращения, которая образована вращением образующей AьCD (ее фронтальная проекция a"b"c"d") вокруг оси OO 1 (фронтальная проекция о"o 1 " , перпендикулярной плоскости Н. При вращении каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси. Соответственно линия пересечения поверхности вращения любой плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью. Такие окружности называют параллелями. На виде сверху (рис. 8.12) показаны проекции окружностей, описываемых точками А, В, С и D, проходящие через проекции а, b, с, d. Наибольшую параллель из двух соседних с нею параллелей по обе стороны от нее называют экватором, аналогично наименьшую - горлом.

Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной, линию ее пересечения с поверхностью вращения - меридианом. Если ось поверхности параллельна плоскости проекций, то меридиан, лежащий в плоскости, параллельной этой плоскости проекций, называют главным меридианом. На эту плоскость проекций главный меридиан проецируется без искажений. Так, если ось поверхности вращения параллельна плоскости V, то главный меридиан проецируется на плоскость V без искажений, например проекция a"f"b"c"d". Если ось поверхности вращения перпендикулярна к плоскости Н, то горизонтальная проекция поверхности имеет очерк в виде окружности.

Наиболее удобными для выполнения изображений поверхностей вращения являются случаи, когда их оси перпендикулярны к плоскости Н, к плоскости V или к плоскости W.

Некоторые поверхности вращения являются частными случаями поверхностей, рассмотренных в 8.1, например цилиндр вращения, конус вращения. Для цилиндра и конуса вращения меридианами являются прямые линии. Они параллельны оси и равноудалены от нее для цилиндра или пересекают ось в одной и той же ее точке под одним и тем же углом к оси для конуса. Цилиндр и конус вращения - поверхности, бесконечные в направлении их образующих; поэтому на изображениях их ограничивают какими-либо линиями, например линиями пересечения этих поверхностей с плоскостями проекций или какими-либо из параллелей. Из стереометрии известно, что прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус ограничены поверхностью вращения и плоскостями, перпендикулярными к оси поверхности. Меридиан такого цилиндра - прямоугольник, конуса - треугольник.

Такая поверхность вращения, как сфера, является ограниченной и может быть изображена на чертеже полностью. Экватор и меридианы сферы - равные между собой окружности. При ортогональном проецировании на все три плоскости проекций очертания сферы проецируются в окружность.

Тор. При вращении окружности (или ее дуги) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, получается поверхность с названием тор. На рисунке 8.13 приведены: открытый тор, или круговое кольцо, - рисунок 8.13, а, закрытый тор - рисунок 8.13, б, самопересекающийся тор - рисунок 8.13, в, г. Тор (рис. 8.13, г) называют также лимоновидным. На рисунке 8.13 они изображены в положении, когда ось тора перпендикулярна к плоскости проекций Н. В открытый и закрытый торы могут быть вписаны сферы. Тор можно рассматривать как поверхность, огибающую одинаковые сферы, центры которых находятся на окружности.

В построениях на чертежах широко используют две системы круговых сечений тора: в плоскостях, перпендикулярных к его оси, и в плоскостях, проходящих через ось тора. При этом в плоско-

стях, перпендикулярных к оси тора, в свою очередь имеются два семейства окружностей - линий пересечения плоскостей с наружной поверхностью тора и линий пересечения плоскостей с внутренней поверхностью тора. У лимоновидного тора (рис. 8.13, г) имеется только первое семейство окружностей.

Кроме того, тор имеет еще и третью систему круговых сечений, которые лежат в плоскостях, проходящих через центр тора и касательных к его внутренней поверхности. На рисунке 8.14 показаны круговые сечения с центрами о 1р и о 2р на дополнительной плоскости проекций Р, образованные фронтально-проецирующей плоскостью Q (Q v), проходящей через центр тора с проекциями о" о и касательной к внутренней поверхности тора в точках с проекциями 1" , 1, 2" 2. Проекции точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 облегчают чтение чертежа. Диаметр d этих круговых сечений равен длине больших осей эллипсов, в которые проецируются круговые сечения на горизонтальной плоскости проекций: d = 2R.

Точки на поверхности вращения. Положение точки на поверхности вращения определяют по принадлежности точки линии каркаса поверхности, т. е. с помощью окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения. В случае линейчатых поверхностей для этой цели возможно применение и прямолинейных образующих.

Применение параллели и прямолинейной образующей для построения проекций точек, принадлежащих данной поверхности вращения, показано на рисунке 8.12. Если

дана проекция т", то проводят фронтальную проекцию f"f1" параллели, а затем радиусом R проводят окружность - горизонтальную проекцию параллели - и на ней находят проекцию т. Если бы была задана горизонтальная проекция т, то следовало бы провести радиусом R=om окружность, по точке f построить f" и провести f"f1" - фронтальную проекцию параллели - и на ней в проекционной связи отметить точку т". Если дана проекция п" на линейчатом (коническом) участке поверхности вращения, то проводят фронтальную проекцию d"s" очерковой образующей и через проекцию n" - фронтальную проекцию s"к" образующей на поверхности конуса. Затем на горизонтальной проекции sk этой образующей строят проекцию n. Если бы была задана горизонтальная проекция n, то следовало бы провести через нее горизонтальную проекцию sk образующей, по проекции к" и s" (построение ее было рассмотрено выше) построить фронтальную проекцию s "к" и на ней в проекционной связи отметить проекцию n"

На рисунке 8.15 показано построение проекций точки К, принадлежащей поверхности тора. Следует отметить, что построение выполнено для видимых горизонтальной проекции к и фронтальной проекции к".

На рисунке 8.16 показано построение по заданной фронтальной проекции т" точки на поверхности сферы ее горизонтальной т и профильной т" проекций. Проекция т построена с помощью окружности - параллели, проходящей через проекцию т". Ее радиус - о-1. Проекция т "" построена с помощью окружности, плоскость которой параллельна профильной плоскости проекций, проходящей через проекцию т". Ее радиус о "2".

Построение проекций линий на поверхности вращения может быть выполнено также при помощи окружностей - параллелей, проходящих через точки, принадлежащие этой линии.

На рисунке 8.17 показано построение горизонтальной проекции aь линии, заданной фронтальной проекцией a"b" на поверхности вращения, состоящей из частей поверхностей сферы, тора, конической. Для более точного вычерчивания горизонтальной проекции линии продолжим ее фронтальную проекцию вверх и вниз и отметим проекции 6" и 5" крайних точек. Горизонтальные проекции 6, 1, 3, 4, 5 построены с помощью линий связи. Проекции b , 2, 7, 8, а построены с помощью параллелей, фронтальные проекции которых проходят через проекции b " 2", 7", 8", а" этих точек. Количество и расположение промежуточных точек выбирают исходя из формы линии и требуемой точности построения. Горизонтальная проекция линии состоит из участков: b -1 - части эллипса,

Поверхности вращения – поверхности, образованные вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси (рис. 51, а). Направляющей поверхности вращения является окружность постоянного (цилиндр) или переменного радиуса (конус, сфера). Нормальное – перпендикулярное оси вращения сечение любой поверхности вращения, представляет собой окружность с центром на ее оси.

Рис. 51. Поверхность вращения: а – основные линии на поверхности вращения; б – представление поверхности вращения в виде сети

Направляющие называют также параллелями поверхности вращения. Плоскости параллелей перпендикулярны к оси поверхности. Наибольшую из параллелей называют экватором поверхности, наименьшую – горлом. Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность – меридианами. Поверхность вращения можно представить параллелями или меридианами поверхности, а также сетью, состоящей из параллелей и меридианов (рис. 51, б).

Поверхность вращения называют закрытой, если меридиональное сечение поверхности является замкнутой кривой линией, пересекающей ось поверхности в двух точках.

При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой n-го порядка образуется алгебраическая поверхность вращения, в общем случае, 2n–го порядка. Если кривая второго порядка вращается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка.

В зависимости от вида образующей различают:

Торовые поверхности – поверхности, образованные вращением окружности или дуги окружности:

Рис. 52. Торовые поверхности: а – сфера; b – открытый тор (кольцо); c – закрытый тор; d – глобоид

• Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, проходящей через ее центр (рис. 52, а).
• Тор образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр (тор является поверхностью четвертого порядка). Различают открытый тор , образованный вращением окружности вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 52, б) и закрытый тор , образованный вращением окружности вокруг оси, которая пересекает образующую окружность или касается ее (рис. 52, в).
• Глобоид образуется вращением окружности достаточно большого радиуса вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 52, г).

Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси. Если за ось вращения принята большая ось эллипса, эллипсоид вращения называют вытянутым (рис. 53. а), если малая – сжатым или сфероидом (рис. 53, б). Земной шар, например, по форме близок к сфероиду

Рис. 53. Поверхности вращения: а – вытянутый эллипсоид; б – сфероид

Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 54). Параболоиды вращения используются в качестве отражающей поверхности в прожекторах и фарах автомобилей для получения параллельного светового пучка.

Рис. 54. Параболоид вращения

Гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы. Различают однополостный гиперболоид (рис. 55, а), образованный вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси, и двуполостный гиперболоид (рис. 55, б), образованный вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении любой кривой вокруг оси i (рис. 103).

Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями . Наибольшую из параллелей называют экватором . Экватор определяет горизонтальный очерк поверхности, если i ⊥ П 1 . В этом случае параллелями являются горизонтали h этой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами . Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом ; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. На рис. 103 точка М построена на параллели h 4 .

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг пересекающейся с ней прямой - оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка А на поверхности сферы принадлежит главному меридиану f, точка В - экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h".

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а).

Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (или кольцо) (рис. 105, б).

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) - вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) - вращением гиперболы вокруг действительной оси.

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. , ). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис.). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет - цилиндр будет наклонным.

Чтобы получить круговой конус (см. рис. ), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения - конус будет прямой, если нет - наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину - конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходят через вершину - пирамида усеченная.

Призму (см. рис. ) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна - наклонная.

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.