Понятие площади

Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.

Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.

Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника , у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется

Тогда площадь треугольника равняется

Ответ: $15$.

Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

Теорема 1

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.

Математически это выглядит следующим образом

$S=\frac{1}{2}αh$

где $a$ - длина стороны, $h$ - высота, проведенная к ней.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.

Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $h\cdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $h\cdot HC$. Тогда

$S_ABH=\frac{1}{2}h\cdot AH$, $S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot HC$

Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется

$S=S_ABH+S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot AH+\frac{1}{2}h\cdot HC=\frac{1}{2}h\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}αh$

Теорема доказана.

Пример 2

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 9=40,5$

Ответ: $40,5$.

Формула Герона

Теорема 2

Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом

$S=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим следующий рисунок:

По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим

Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Из этих двух соотношений получаем равенство

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac{γ^2-α^2+β^2}{2β}$

$h^2=γ^2-(\frac{γ^2-α^2+β^2}{2β})^2$

$h^2=\frac{(α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2)}{4β^2}$

$h^2=\frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β^2}$

Так как $ρ=\frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит

$h^2=\frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β^2}$

$h^2=\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2 }$

$h=\sqrt{\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2}}$

$h=\frac{2}{β}\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

По теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2} βh=\frac{β}{2}\cdot \frac{2}{β} \sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

Порой в жизни встречаются такие ситуации, когда приходится копаться в памяти в поисках давно забытых школьных знаний. Например, нужно определить площадь земельного участка треугольной формы или же пришел черед очередного ремонта в квартире или частном доме, и нужно посчитать, сколько уйдет материала для поверхности с треугольной формой. Было время, когда вы могли решить такую задачку за пару минут, а теперь отчаянно пытаетесь вспомнить, как же определить площадь треугольника?

Не стоит из-за этого переживать! Ведь это вполне нормально, когда мозг человека решает переложить давно неиспользуемые знания куда-нибудь в удаленный уголок, из которого порой их не так-то и легко извлечь. Чтобы вам не пришлось мучиться с поиском забытых школьных знаний для решения такой задачи, в этой статье собраны различные методы, которые позволяют легко найти искомую площадь треугольника.

Общеизвестно, что треугольником называют такой вид многоугольника, который ограничен минимально возможным количеством сторон. В принципе, любой многоугольник можно разделить на несколько треугольников, соединив его вершины отрезками, которые не пересекают его стороны. Поэтому, зная треугольника, можно посчитать площадь практически любой фигуры.

Среди всех возможных треугольников, которые встречаются в жизни, можно выделить следующие частные виды: и прямоугольный.

Проще всего площадь треугольника рассчитывается, когда один из его углов прямой, то есть в случае с прямоугольным треугольником. Несложно заметить, что он представляет собой половину прямоугольника. Поэтому его площадь равна половине произведения сторон, которые образуют между собой прямой угол.

Если нам известны высота треугольника, опущенная из одной из его вершин на противоположную сторону, и длина этой стороны, которую называют основанием, то площадь рассчитывается как половина произведения высоты на основание. Записывается это с помощью такой формулы:

S = 1/2*b*h, в которой

S - искомая площадь треугольника;

b, h - соответственно, высота и основание треугольника.

Так легко рассчитать площадь равнобедренного треугольника, поскольку высота будет делить противоположную сторону пополам, и ее легко можно будет измерить. Если определяется площадь то в качестве высоты удобно брать длину одной из сторон, образующих прямой угол.

Все это конечно хорошо, но как определить, является ли один из углов треугольника прямым или нет? Если размер нашей фигуры небольшой, то можно воспользоваться строительным углом, чертежным треугольником, открыткой или другим предметом с прямоугольной формой.

Но что делать, если у нас треугольный земельный участок? В этом случае поступают следующим образом: отсчитывают от вершины предполагаемого прямого угла по одной из сторон расстояние кратное 3 (30 см, 90 см, 3 м), а по другой стороне отмеряют в той же пропорции расстояние кратное 4 (40 см, 160 см, 4 м). Теперь нужно измерить расстояние между конечными точками этих двух отрезков. Если получилось значение кратное 5 (50 см, 250 см, 5 м), то можно утверждать, что угол прямой.

Если известно значение длины каждой из трех сторон нашей фигуры, то площадь треугольника можно определить, используя формулу Герона. Для того чтобы она имела более простой вид, применяют новую величину, которая называется полупериметром. Это сумма всех сторон нашего треугольника, разделенная пополам. После того как полупериметр посчитан, можно приступать к определению площади по формуле:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где

sqrt - квадратный корень;

p - значение полупериметра (p =(a+b+c)/2);

а,b,с - ребра (стороны) треугольника.

Но что делать, если треугольник имеет неправильную форму? Здесь возможны два способа. Первый из них состоит в том, чтобы попытаться разделить такую фигуру на два прямоугольных треугольника, сумму площадей которых посчитать отдельно, а затем сложить. Или же, если известен угол между двумя сторонами и размер этих сторон, то применить формулу:

S = 0.5 * ab * sinC, где

a,b - стороны треугольника;

с - величина угла между этими сторонами.

Последний случай на практике встречается редко, но тем не менее, в жизни все возможно, поэтому приведенная выше формула не будет лишней. Удачи в расчётах!

Треугольник - самая простая геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех вершин. Благодаря своей простоте треугольник с античных времен используется для проведения различных измерений, а сегодня фигура может пригодиться для решения практических и бытовых задач.

Особенности треугольника

Фигура издревле используется для вычислений, к примеру, землемеры и астрономы оперируют свойствами треугольников для вычисления площадей и расстояний. Через площадь этой фигуры легко выразить площадь любого n-угольника, и это свойство было использовано античными учеными для выведения формул площадей многоугольников. Постоянная работа с треугольниками, в особенности с прямоугольным треугольником, стала основной для целого раздела математики - тригонометрии.

Геометрия треугольника

Свойства геометрической фигуры изучались с древних времен: самая ранняя информация о треугольнике была найдена в египетских папирусах 4000-летней давности. Затем фигуру изучали в Древней Греции и наибольший вклад в геометрию треугольника внесли Евклид, Пифагор и Герон. Изучение треугольника никогда не прекращалось, и в 18-м веке Леонард Эйлер ввел понятие ортоцентра фигуры и окружности Эйлера. На рубеже 19 и 20 веков, когда казалось, что о треугольнике известно абсолютно все, Фрэнк Морли сформулировал теорему о трисектрисах угла, а Вацлав Серпинский предложил треугольник-фрактал.

Существует несколько видов плоских треугольников, знакомых нам со школьного курса геометрии:

• остроугольный - все углы фигуры острые;
• тупоугольный - у фигуры есть один тупой угол (больше 90 градусов);
• прямоугольный - фигура содержит один прямой угол, равный 90 градусов;
• равнобедренный - треугольник с двумя равными сторонами;
• равносторонний - треугольник со всеми равными сторонами.
• В реальной жизни встречаются все виды треугольников, и в некоторых случаях нам может потребоваться вычислить площадь геометрической фигуры.

Площадь треугольника

Площадь - это оценка того, какую часть плоскости ограничивает фигура. Площадь треугольника можно найти шестью способами, оперируя сторонами, высотой, величинами углов, радиусом вписанной или описанной окружности, а также используя формулу Герона или вычисляя двойной интеграл по линиям, ограничивающим плоскость. Самая простая формула для вычисления площади треугольника выглядит как:

где a - сторона треугольника, h - его высота.

Однако на практике нам не всегда удобно находить высоту геометрической фигуры. Алгоритм нашего калькулятора позволяет вычислять площадь, зная:

• три стороны;
• две стороны и угол между ними;
• одну сторону и два угла.

Для определения площади через три стороны мы используем формулу Герона:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

где p - полупериметр треугольника.

Вычисление площади по двум сторонам и углу производятся по классической формуле:

S = a × b × sin(alfa),

где alfa - угол между сторонами a и b.

Для определения площади через одну сторону и два угла мы используем соотношение, что:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Используя простую пропорцию, мы определяем длину второй стороны, после чего рассчитываем площадь по формуле S = a × b × sin(alfa). Данный алгоритм полностью автоматизирован и вам необходимо только внести заданные переменные и получить результат. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из жизни

Тротуарная плитка

Допустим, вы хотите замостить пол треугольной плиткой, и чтобы определить количество необходимого материала, вам следует узнать площадь одной плитки и площадь пола. Пусть нужно обработать 6 квадратных метров поверхности, используя плитку, размеры которой составляют a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см. Очевидно, что для вычисления площади треугольника калькулятор использует формулу Герона и выдаст результат:

Таким образом, площадь одного элемента плитки составит 0,021 квадратный метр, и вам понадобится 6/0,021 = 285 треугольников для благоустройства пола. Числа 20, 21 и 29 составляют пифагорову тройку - числа, которые удовлетворяют . И верно, наш калькулятор также рассчитал все углы треугольника, и угол гамма составляет именно 90 градусов.

Школьная задача

В школьной задаче необходимо отыскать площадь треугольника, зная, что сторона a = 5 см, а углы альфа и бета раны 30 и 50 градусов соответственно. Для решения этой задачи вручную мы вначале нашли бы значение стороны b, используя пропорцию соотношения сторон и синусов противолежащих углов, после чего определили площадь с использованием простой формулы S = a × b × sin(alfa). Давайте сэкономим время, введем данные в форму калькулятора и получим мгновенный ответ

При использовании калькулятора важно корректно указать углы и стороны, иначе результат будет неверным.

Заключение

Треугольник - уникальная фигура, которая встречается как в реальной жизни, так и в абстрактных расчетах. Используйте наш онлайн-калькулятор для определения площади треугольников любых видов.

Треугольник – это такая геометрическая фигура, которая состоит из трех прямых, соединяющихся в точках, не лежащих на одной прямой. Точки соединения прямых – это вершины треугольника, которые обозначаются латинскими буквами (например, A, B,C). Соединяющиеся прямые треугольника называются отрезками, которые также принято обозначать латинскими буквами. Различают следующие типы треугольников:

• Прямоугольный.
• Тупоугольный.
• Остроугольный.
• Разносторонний.
• Равносторонний.
• Равнобедренный.

Общие формулы для вычисления площади треугольника

Формула площади треугольника по длине и высоте

S= a*h/2,
где а – это длина стороны треугольника, площадь которого нужно найти, h-длина проведенной к основанию высоты.

Формула Герона

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
где √-это квадратный корень, p-полупериметр треугольника, a,b,c-это длина каждой стороны треугольника. Полупериметр треугольника можно вычислить по формуле p=(a+b+c)/2.

Формула площади треугольника по величине угла и длине отрезка

S = (a*b*sin(α))/2,
где b,c -это длина сторон треугольника, sin(α)- синус угла между двумя сторонами.

Формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

S=p*r,
где p-это полупериметр треугольника, площадь которого нужно найти, r-радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной вокруг него окружности

S= (a*b*c)/4*R,
где a,b,c-это величина длины каждой стороны треугольника, R- радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Формула площади треугольника по декартовым координатам точек

Декартовы координаты точек – это координаты в системе xOy, где x- это абсцисса, y- ордината. Декартовой системой координат xOy на плоскости называют взаимно перпендикулярные числовых оси Oх и Oy с общим началом отсчета в точке О. Если заданы координаты точек на этой плоскости в виде A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то можно вычислить площадь треугольника по следующей формуле, которая получена из векторного произведения двух векторов.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
где || обозначает модуль.

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. Такой угол у треугольника может быть лишь один.

Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

S= a*b/2,
где a,b – это длина катетов. Катетами называются стороны, прилежащие к прямому углу.

Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

S = a*b*sin(α)/ 2,
где a, b – это катеты треугольника, а sin(α)- это синус угла, в котором пересекаются прямые a, b.

Формула площади прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

S = a*b/2*tg(β),
где a, b – это катеты треугольника, tg(β) – это тангенс угла, в котором соединяются катеты a, b.

Как вычислить площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренным называется такой треугольник, который имеет две равные стороны. Эти стороны называются боковыми, а другая сторона является основой. Для вычисления площади равнобедренного треугольника можно использовать одну из следующих формул.

Основная формула для вычисления площади равнобедренного треугольника

S=h*c/2,
где с – это основание треугольника, h-это высота треугольника, опущенного к основанию.

Формула равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
где с – основание треугольника, a- величина одной из боковых сторон равнобедренного треугольника.

Как найти площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади равностороннего треугольника можно использовать следующую формулу:
S = (√3*a*a)/4,
где a-это длина стороны равностороннего треугольника.

Вышеприведенные формулы позволят вычислить искомую площадь треугольника. Важно помнить, что для вычисления пощади треугольников нужно учитывать тип треугольника и доступные данные, которые можно использовать для вычисления.

Из противоположной вершины) и разделите полученное произведение на два. В виде данное выглядит следующим образом:

S = ½ * а * h,

где:
S – площадь треугольника,
а – длина его стороны,
h – высота, опущенной на эту сторону.

Длина стороны и высота должны быть представлены в одинаковых единицах измерения. При этом площадь треугольника получится в соответствующих « » единицах.

Пример.
На одну из сторон разностороннего треугольника длиной 20 см, опущен перпендикуляр из противоположной вершины длиной 10 см.
Требуется площадь треугольника.
Решение.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (см²).

Если известны длины двух любых сторон разностороннего треугольника и угол между ними, то воспользуйтесь формулой:

S = ½ * а * b * sinγ,

где: а, b – длины двух произвольных сторон, а γ – угла между ними.

На практике, например, при измерении земельных участков, использование вышеприведенных формул иногда затруднительно, так как требует дополнительных построений и измерения углов.

Если вам известны длины всех трех сторон разностороннего треугольника, то воспользуйтесь формулой Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – длины сторон треугольника,
р – полупериметр: p = (a+b+c)/2.

Если кроме длин всех сторон известен радиус вписанной в треугольник окружности, то воспользуйтесь следующей компактной формулой:

где: r – радиус вписанной окружности (р – полупериметр).

Для вычисления площади разностороннего треугольника описанной окружности и длины его сторон, используйте формулу:

где: R – радиус описанной окружности.

Если известна длина одной из сторон треугольника и трех углов (в принципе, достаточно двух – величина третьего вычисляется из равенства суммы трех углов треугольника - 180º), то воспользуйтесь формулой:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

где α – величина противолежащего стороне а угла;
β, γ – величины остальных двух углов треугольника.

Потребность в нахождении различных элементов, в том числе и площади треугольника , появилась за много веков до нашей эры у ученых астрономов Древней Греции. Площадь треугольника можно вычислить различными способами, используя разные формулы. Способ вычисления зависит от того, какие элементы треугольника известны.

Инструкция

Если из условия нам известны значения двух сторон b, c и угол ими образованный?, то площадь треугольника ABC находится по формуле:
S = (bcsin?)/2.

Если из условия нам известны значения двух сторон a, b и не образованный ими угол?, то площадь треугольника ABC находится следующим образом:
Находим угол?, sin? = bsin?/a, далее по таблице определяем сам угол.
Находим угол?, ? = 180°-?-?.
Находим саму площадь S = (absin?)/2.

Если из условия нам известны значения только трех сторон треугольника a, b и c, то площадь треугольника ABC находится по формуле:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , где p – полупериметр p = (a+b+c)/2

Если из условия задачи нам известны высота треугольника h и сторона к которой опущена эта высота, то площадь треугольника ABC по формуле:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Если нам известны значения сторон треугольника a, b, c и радиус описанной около данного треугольника R, то площадь этого треугольника ABC определяется по формуле:
S = abc/4R.
Если известны три стороны a, b, c и радиус вписанной в , то площадь треугольника ABC находится по формуле:
S = pr, где p – полупериметр, p = (a+b+c)/2.

Если ABC – равносторонний, то площадь находится по формуле:
S = (a^2v3)/4.
Если треугольник ABC – равнобедренный, то площадь определяется по формуле:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, где с – треугольника .
Если треугольник ABC – прямоугольный, то площадь определяется по формуле:
S = ab/2, где a и b – катеты треугольника .
Если треугольник ABC – прямоугольный равнобедренный, то площадь определяется по формуле:
S = c^2/4 = a^2/2, где с – гипотенуза треугольника , a=b – катет.

Видео по теме

Источники:

• как измерить площадь треугольника

Совет 3: Как найти площадь треугольника, если известен угол

Знания лишь одного параметра (величины угла) не достаточно для нахождения площади треугольника . Если же есть какие-либо дополнительные размеры, то для определения площади можно выбрать одну из формул, в которых в качестве одной из известных переменных используется и величина угла. Несколько таких формул, применяемых наиболее часто, приведено ниже.

Инструкция

Если кроме величины угла (γ), образованного двумя сторонами треугольника , известны и длины этих сторон (A и B), то площадь (S) фигуры можно определить, как половину от произведения длин сторон на синус этого известного угла: S=½×A×B×sin(γ).