А. Гравитационный дрейф. Движение в скрещенных электрическом и магнитном полях

21.09.2019

Полная скорость движения заряженной частицы в электрическом поле имеет две составляющие: скорость теплового хаотического движения w и направленную скорость под действием поля u .

. (1.5)

Рис. 1.1. Скорость дрейфа электронов в воздухе в зависимости от приведенной

напряженности электрического поля

ля совокупности заряженных частиц рассматривается средняя скорость всех частиц. Средняя скорость направленного движенияw носит название скорости дрейфа . Как показывают экспериментальные данные, эта скорость зависит от отношения Е /n , где n  плотность молекул газа, и от сорта газа. При этом скорость дрейфа электронов существенно выше скорости дрейфа ионов.

На рис.1.1 приведена зависимость скорости дрейфа электронов в воздухе от значений Е /n .

В общем случае скорость дрейфа

, (1.6)

где k  носит название подвижности . Особенностью этой величины является то, что и для ионов, и для электронов существует широкая область значений напряженности, при которых в воздухе значения подвижности почти постоянны.

Для ионов в области значений поля, соответствующих развитию разряда, и при нормальных условиях газа значения подвижности в воздухе составляют К и  = 2,0 см 2 /Вс и К и  = 2,2 см 2 /Вс.

Для электронов К э = (45)10 2 см 2 /Вс, что, как видно, на два порядка выше, чем у ионов.

1.4. Коэффициент ударной ионизации

Этот коэффициент является самой важной характеристикой, используемой в теории газового разряда и определяющей основную реакцию, приводящую к развитию разряда. Ударная ионизация может быть представлена реакцией вида

e + M  M + + 2e,

где M  атом или молекула газа.

Коэффициент ударной ионизации равен числу актов ионизации, осуществляемых одним электроном на пути в 1 см вдоль поля. Энергия ионизации  W и, для большинства газов составляет 1220 эВ:


Энергия ионизации, эВ

Коэффициент ударной ионизации, обозначаемый обычно  и называемый еще первым коэффициентом ударной ионизации Таунсенда, определяется по увеличению тока в промежутке между электродами в результате ионизации молекул газа при столкновениях с электронами. Процесс ионизации ведет к образованию новых свободных электронов. Эти свободные электроны, в свою очередь, приобретают энергию поля, достаточную для ионизации, то есть для образования новых электронов. Ток, протекающий в промежутке с однородным полем, возрастает и дается выражением

, (1.7)

где d  длина промежутка (в сантиметрах), а i 0  начальное значение тока.

Так как ионизация происходит при энергии электрона W  W и, а энергия, приобретаемая электроном, зависит от поля и от длины пути свободного пробега, определяемой плотностью газа, то и вероятность ионизации, а следовательно и коэффициент  должны зависеть от поля и от концентрации молекул газа n или его давления р . Эксперименты подтверждают, что действительно имеется зависимость  /n = f (Е /n ) или  /р = f (Е /р ), причем при давлениях газа порядка атмосферного эта зависимость хорошо описывается уравнением вида

, (1.8)

где где А и В  константы, зависящие от газа.

На рис. 1.2 приведена экспериментальная зависимость  /n = f (Е /n ) для воздуха. Отношение E /n часто называют приведенной напряженностью поля.

Рис. 1.2. Зависимости коэффициентов ионизации и прилипания и эффективного коэффициента ионизации в воздухе от E / n

ак видно по рисунку, возрастание /n с ростом приведенной напряженностиE /n становится менее интенсивным, что связано с двумя факторами: если увеличениеE /n происходит за счет роста напряженности поляЕ при неизменной плотности газаn , то с возрастанием энергии свободных электронов при их движении, уменьшается время взаимодействия при их столкновениях с молекулами, что приводит к уменьшению скорости роста вероятности ионизации; если ростE /n связан с уменьшениемn , то уменьшается число молекул, с которыми сталкивается электрон, а, следовательно, уменьшается и число столкновений, что означает изменение .

А. Гравитационный дрейф.

В этом случае сила - сила тяжести и выражение для скорости дрейфа превращается в следующую формулу:

В этом виде дрейфа скорость его зависит от заряда и массы частицы. Важно, что в случае гравитационного дрейфа ионы и электроны дрейфуют в противоположных направлениях и, тем самым, создается электрический ток, плотность которого выражается формулой (ионы считаем однозарядными):

(2.1.11)

б. Градиентный дрейф .

Здесь нам придется столкнуться с пространственной неоднородностью, сильно затрудняющей получение точных решений. Приближенные же ответы получают обычно, применяя так называемый подход слабой неоднородности, то есть проводя разложение по параметру (полагаемому малым) , где L – характерный масштаб неоднородности.

По-прежнему считаем магнитное поле направленным вдоль оси z, а градиент его пусть, для определенности, будет направлен по оси y. Качественно можно сразу сказать, что ларморовский радиус в области больших y будет больше, чем в области меньших y. Это приведет к тому, что дрейф ионов и электронов будет происходить в противоположных направлениях и перпендикулярно, как , так и . Итак, для нахождения скорости дрейфа мы должны получать силу, усредненную по периоду вращения частицы. В случае градиентного дрейфа усреднять нужно пространственно неоднородную силу Лоренца, . Приближенность нашего рассмотрения обусловлена усреднением по невозмущенной орбите частицы. Такое усреднение даст 0 для x компоненты силы Лоренца, =0 (частица движется вверх столько же времени, сколько и вниз). Выражение же для y – компоненты:

где использовано разложение поля в ряд Тейлора , дает при усреднении:

(2.1.13)

Таким образом, с учетом произвола при выборе направления градиента магнитного поля, получаем для скорости градиентного дрейфа:

(2.1.14)

Формула дает противоположные направления дрейфа ионов и электронов, что приводит к появлению электрического тока ^ магнитному полю.

в. Центробежный дрейф.

При движении плазмы в магнитном поле с искривленными силовыми линиями возникает центробежная сила, которая может быть рассматриваема, как некоторый аналог гравитации. Здесь также оказывается применимой дрейфовая трактовка движения заряженных частиц. Положим для простоты, что радиус кривизны силовых линий магнитного поля постоянен и равен R c . По той же причине считаем постоянным модуль магнитного поля B=const . Пусть также - средний квадрат скорости хаотического движения вдоль магнитного поля. Тогда выражение для средней центробежной силы, действующей на частицу

и, в соответствии с общим выражением для дрейфовой скорости (2.1.9) получаем выражение для центробежного дрейфа:

(2.1.16)

2.1.4. Магнитная пробка.

Этот случай соответствует условию: . Направим, как и прежде, магнитное поле вдоль оси z, положим его аксиально-симметричным с модулем напряженности, зависящем от z. В этом случае оно будет состоять из двух компонент: продольной B z и радиальной B r . Связь между этими компонентами вытекает из условия равенства нулю дивергенции магнитного поля, которое для оговоренного случая выглядит следующим образом:

(2.1.17)

Пусть производная задана на оси (при r = 0) и слабо зависит от радиуса. Тогда, проинтегрировав (2.1.17), получаем:

(2.1.18)

Для анализа движения частицы в принятых условиях удобно выписать компоненты лоренцевой силы:

Для нашего случая: () имеем:

Первое из уравнений совместно с первым членом второго описывает ларморовское вращение, изученное нами ранее. Второй член второго уравнения (азимутальная составляющая силы Лоренца), обращаясь в 0 на оси, вызывает дрейф в радиальном направлении, приводящий в результате к движению ведущих центров частиц вдоль кривых силовых линий магнитного поля. Особый интерес представляет для нас в данном случае третье из выражений (2.1.20). Подставив в него B r из (2.1.18), получим:

2.1.21)

Усредним теперь полученное выражение по периоду вращения частицы, ведущий центр которой находится на оси (для простоты). При этом r = r L и скорость u q постоянна. Получаем, что для данного случая, средняя сила, действующая на частицу, описывается выражением:

где величина определяется как магнитный момент частицы. Для общего случая выражение (2.1.22) может быть переписано, как F êê = -m êê B .

Магнитный момент частицы, движущейся в неоднородном магнитном поле, не изменяется, являясь инвариантом движения. Это легко можно показать, рассмотрев проекцию уравнения движения на направление магнитного поля:

(2.1.23)

Помножив (2.1.23) слева на u êê , а справа на равную величину ds/dt , получаем:

(2.1.23)

Здесь dB/dt – изменение поля в системе координат движущейся частицы. Запишем теперь закон сохранения полной кинетической энергии частицы:

Откуда, используя (2.1.23), получаем:

, и, следовательно, (2.1.25)

На сохранении магнитного момента движущейся в магнитном поле заряженной частицы основывается идея магнитной пробки. Частица, двигаясь в область сильного магнитного поля при сохранении магнитного момента, увеличивает скорость поперечного вращения. В соответствии с законом сохранения энергии, скорость продольного движения должна уменьшатся.

Рис. 2.3. Магнитная пробка (зеркало).

При достаточно большом поле в «пробке», найдется место, где продольная скорость обратится в нуль и произойдет отражение частицы. Расположив две «пробки» одну напротив другой, получим магнитную ловушку, называемую обычно «пробкотроном» или зеркальной ловушкой.

Рис.2.4. Магнитная конфигурация «пробкотрона»

2.1.5. Движение в неоднородном электрическом поле.

Рассмотрим теперь влияние неоднородности электрического поля. Магнитное поле пусть будет однородным и постоянным; сохраним за ним прежнее направление – вдоль оси z.

Электрическое поле зададим в виде поля плоской стоячей электростатической волны длиной , волновой вектор которой направлен вдоль оси x.:

(2.1.26)

Поскольку движение вдоль магнитного поля здесь нас не интересует, выпишем сразу поперечные компоненты уравнения движения частицы:

а) ; б) (2.1.27)

Или, продифференцировав вторично по времени, перепишем их в виде:

а) ; б) (2.1.28)

Чтобы знать величину электрического поля в месте нахождения частицы, нужно знать ее траекторию. В нулевом приближении по электрическому полю эта траектория нам известна – ларморовское вращение в однородном магнитном поле вокруг ведущего центра: . Используем ее.Подставив электрическое поле из (2.1.26) в уравнение (2.1.28.б) , получим с учетом невозмущенной траектории частицы:

Поскольку нас интересует дрейфовая составляющая скорости, усредним уравнения движения по периоду циклотронного вращения частицы. Все осциллирующие члены при этом «зануляются». Поэтому из уравнения (2.1.28а) видно, что средняя составляющая x – компоненты скорости оказывается равной нулю, а из уравнения для y-компоненты скорости получается следующее выражение:

Отсюда нетрудно выразить среднюю скорость по направлению y :

(2.1.30)

Далее, воспользовавшись тригонометрическими преобразованиями и возможностью ограничиться малыми значениями ларморовского радиуса (kr L <<1 ; при этом используем старшие члены разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора: sina @ a , cosa @ 1-(1/2) a 2), получаем, помня об исчезновении при усреднении осциллирующих членов, следующее выражение:

, (2.1.31)

которое, в общем виде, может быть переписано следующим образом:

. (2.1.32)

Если пространственная неоднородность поля имеет произвольный вид, то оно трансформируется (k меняется на ):

. (2.1.33)

Итак, при наличии неоднородности электрического поля обычное выражение для скорости дрейфа в скрещенных полях (см.(2.1.8)) изменяется с учетом поправки, величина которой зависит от соотношения характерного размера неоднородности и ларморовского радиуса. Таким образом поправка учитывает эффект конечного ларморовского радиуса при дрейфовом движении. Очевидно, что при этом возникает различие в дрейфе электронной и ионной компонент плазмы, что ведет к разделению зарядов. Это значит, что наличие неоднородного электрического поля в плазме запускает в действие механизм возникновения вторичного электрического поля, что может явиться причиной, как развития неустойчивости, так и ее стабилизации в зависимости от знака возникающего вторичного поля.

2.1.6. Нестационарное электрическое поле.

Пусть теперь, при пространственной однородности электрического и магнитного полей, магнитное поле постоянно, а электрическое поле меняется во времени по синусоидальному закону и имеет только x-компоненту:

При этом компоненты дрейфового движения может быть записаны в виде:

, (2.1.35)

Если ввести теперь величины:

то интересующие нас компоненты уравнения движения принимают вид:

, .(2.1.37)

Решение системы.(2.1.37) ищем в виде:

, . (2.1.38)

Для этого дважды продифференцируем выражения (2.1.38) по времени и сравним с.(2.1.37). Дифференцирование дает:

Выражения (2.1.39) совпадают с.(2.1.37), если w 2 мало по сравнению с .Это означает, что предложенная нами модель решения – быстрое вращение, наложенное на сравнительно медленный дрейф ведущего центра может быть принята при сравнительно медленных изменениях электрического поля. Трактовка введенных нами в (2.1.36) величин такова: скорость дрейфа ведущего центра может быть представлена двумя медленно (по сравнению с циклотронным вращением) осциллирующими составляющими. В направлении y - это обычный дрейф в скрещенных электрическом и магнитном полях, а в направлении x – новый тип дрейфового движения – вдоль электрического поля. Это, так называемый, поляризационный дрейф, возникающий при любом изменении электрического поля. Обобщенное выражение для скорости поляризационного дрейфа получается посредством замены в первой из формул (2.1.36) на :

(2.1.40)

Скорости поляризационного дрейфа для электронов и ионов направлены в противоположные стороны, следовательно, дрейфовое движение этого типа вызывает поляризационный ток:

(2.1.41)

2.1.7. Движение в нестационарном магнитном поле

Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает появление электрического поля

которое способно (в отличие от магнитного) изменять энергию частицы:

, (2.1.43)

Рассматриваем здесь только поперечное движение; ; - элемент траектории частицы. Изменение энергии частицы за один оборот получим, проинтегрировав (2.1.43) по периоду вращения:

, (2.1.44)

Считая, что поле меняется достаточно медленно, будем интегрировать вдоль невозмущенной орбиты:

Здесь учтено, что - изменение за один оборот. Так как. приращение кинетической энергии частицы тождественно равно , то из (2.1.45) следует

Таким образом, мы получаем инвариантность магнитного момента в медленно меняющемся магнитном поле . Отсюда следует еще одно утверждение: Магнитный поток через поверхность, ограниченную ларморовской окружностью, постоянен. Действительно:

Где , поэтому (2.1.47)

откуда видно, что если , то и

2.1.8 .Адиабатические инварианты.

Как известно, в классической системе при наличии периодического движения сохраняется интеграл , взятый по периоду движения. (p и q –обобщенные импульс и координата). Если движение системы не является строго периодическим, но изменения достаточно медленны (происходят за времена, много большие периода), то выписанный выше интеграл движения по-прежнему сохраняется; в этом случае он называется адиабатическим инвариантом. В физике плазмы адиабатические инварианты, связанные с различными типами периодических движений, играют важную роль. Укажем на некоторые из них.

а) Первый адиабатический инвариант. Это уже рассматривавшийся нами магнитный момент вращающейся частицы:

Этот инвариант соответствует ларморовскому вращению и, как было показано выше, сохраняется в нестационарных и неоднородных магнитных полях. Условием адиабатичности в данном случае является неравенство <<1.

б) Второй адиабатический инвариант.. Другим периодическим движением, важным для изучения движений плазмы в магнитных ловушках, является осцилляция частиц, захваченных между двумя пробками. В этом случае интегралом движения является интеграл , где ds – элемент длины дуги при движении ведущего центра вдоль силовой линии. Этом интеграл называется продольным инвариантом J и вычисляется между точками отражения:

Условием адиабатичности здесь является медленность изменений по сравнению с баунс-периодом . <<1. Здесь w b - Баунс-частота – частота осцилляций между пробками.

в) Третий адиабатический инвариант. Нестрогость периодичности осцилляций между пробками связана, в частности, с азимутальным дрейфом частиц в пробкотроне. Это движение, в свою очередь, является периодическим и с ним связывается третий адиабатический инвариант – полный магнитный поток, охватываемый дрейфовой поверхностью Ф . Этот инвариант обычно менее полезен в технических приложениях. Дело в том, что он связан с относительно медленным движением; многие, интересные с точки зрения удержания плазмы в ловушке процессы, протекают быстрее, чем нужно для сохранения адиабатичности процесса. Однако, скажем, в геофизике его удобно использовать при изучении движения заряженных частиц в радиационных поясах Земли

2.2. Гидродинамический подход.

2.2.1. Одножидкостная гидродинамика.

В рамках этой модели плазма рассматривается как проводящая жидкость. При этом в обычное гидродинамическое уравнение движения среды кроме силы, связанной с градиентом давления, вязкостью и т.д., добавляется пондеромоторная сила:

где плотность тока, напряженность магнитного поля.

Если пренебречь вязкостью и другими диссипативными силами, то уравнение движения проводящей жидкости имеет вид:

(2.2.2)

где ускорение рассматриваемого «элемента жидкости». Уравнение(2.2.2) написано в представлении Лагранжа, когда движение жидкости изучается путем слежения за траекторией выбранного элемента и, выписанная выше производная, является производной вдоль траектории; ее называют лагранжевой производной. Существует альтернативный подход, называемый представлением Эйлера, при котором рассматривается изменение скорости среды в выбранной точке пространства: эйлерова производная. Хотя она и является производной скорости по времени, но не имеет физического смысла ускорения. Связь между лагранжевой и эйлеровой производными дается выражением:

Поэтому уравнение (2.2.2) в представлении Эйлера будет выглядеть следующим образом:

Плотность тока задается законом Ома:

(2.2.3)

где напряженность электрического поля в системе отсчета, движущейся вместе с плазмой, проводимость плазмы, напряженность электрического поля в лабораторной системе координат.

Задание плотности тока с помощью закона Ома, при том, что проводимость плазмы считается константой - главный недостаток одно-жидкостной МГД теории. Во многих случаях этот подход неприменим, однако имеется достаточно много практически интересных случаев, когда такое упрощение является оправданным.

Система уравнений (2.2.2) – (2.2.3), описывающая движение плазмы, должна быть дополнена уравнениями Максвелла. Совместное их решение и составляет обсуждаемый подход к исследованию плазмы. Дополнительное существенное упрощение модели получается, если иметь в виду относительную медленность процессов, описываемых данным приближением, что позволяет пренебречь токами смещения. Тогда из всей системы уравнений Максвелла остается лишь:

и уравнение (2.2.2) принимает вид

(2.2.5)

Используя известное соотношение векторного анализа:

(2.2.6)

получим из него:

и, подставив затем (2.2.7) в (2.2.5), имеем:

(2.2.8)

Правая часть уравнения (2.2.8) содержит три члена, описывающие действие сил, связанных с градиентом давления, кривизной силовых линий и пространственным изменением модуля напряженности магнитного поля. Если магнитное поле меняется только в направлении, поперечном по отношению к силовым линиям, то второй член в правой части, связанный с кривизной силовых линий, обращается в нуль и уравнение может быть переписано в следующем виде:

(2.2.9)

Здесь ускорение в направлении поперек силовых линий магнитного поля. Член входит в формулу на равных основаниях с газокинетическим давлением (поперечным) , поэтому его также можно интерпретировать как давление – давление магнитного поля. Таким образом, полученное выражение позволяет сделать практически важный вывод о возможности оказывать давление на плазму (проводящую среду) с помощью магнитного поля.

Лекция № 3. ДРЕЙФОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ Движение в неоднородном магнитном поле. Дрейфовое приближение - условия применимости, дреЛекция № 3.
ДРЕЙФОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Движение в неоднородном магнитном поле. Дрейфовое приближение - условия применимости,
дрейфовая скорость. Дрейфы в неоднородном магнитном поле. Адиабатический инвариант.
Движение в скрещенных электрическом и магнитном полях.
Движение в скрещенных однородных E H полях.
Дрейфовое приближение применимо в случае, если можно выделить
некоторую одинаковую для всех частиц одного сорта постоянную скорость
дрейфа, не зависящую от направления скоростей частиц. Магнитное поле не
влияет на движение частиц в направлении магнитного поля. Поэтому скорость
дрейфа может быть направлена только перпендикулярно магнитному полю.
E H
Vдр c
H2
- скорость дрейфа.
Условие применимости дрейфового движения E H
в полях:
E
V
H
c
Для определения возможных траекторий заряженных частиц в полях рассмотрим
уравнение движения для вращающейся компоненты скорости:
. q
mu
c
u H

В плоскости скоростей (Vx, Vy) можно
выделить четыре области характерных
траекторий.
Область 1. Круг, описываемый
неравенством 0 u Vдр в координатах
(x,y) соответствует трохоиде без петель
(эпициклоида) с «высотой», равной, 2 re
где re u / л
Область 2. Окружность, задаваемая
уравнением u Vдр, соответствует
циклоиде. При вращении вектора
вектор скорости на каждом периоде
будет проходит через начало координат,
то есть, скорость будет равна нулю.
Область 3. Область вне круга,
соответсвует трохоиде с петлями
(гипоциклоида).
V
Vy
0
V др
u
Vx
1
2
3
Области характерных траекторий в
плоскости скоростей.
e
E
i
H
1
e
2
i
e
3
i
Область 4: Точка
V0 Vдр
- прямой.
4

В случае невыполнения условия дрейфового приближения, то есть при или при действие электрического поля не компенсируется действием магни

В случае невыполнения условия дрейфового приближения, то есть при или
при E H действие электрического поля не компенсируется действием
магнитного, поэтому частица переходит в режим непрерывного
E H
ускорения
H
y
e
x
H
e
E
E
x
E
H
Ускорение электрона в
полях при E H
.
Ускорение электрона в полях
E H
Все выводы, сделанные выше, верны, если вместо электрической силы
использовать произвольную силу, действующую на частицу, причем F H
Скорость дрейфа в поле произвольной силы:
c F H
Vдр
q H2

Дрейфовое движение заряженных частиц в неоднородном магнитном поле.

Если магнитное поле медленно меняется в пространстве, то движущаяся
в нем частица совершит множество ларморовских оборотов, навиваясь на
силовую линию магнитного поля с медленно меняющимся ларморовским
радиусом.
Можно рассматривать движение не собственно частицы, а её
мгновенного центра вращения, так называемого ведущего центра.
Описание движения частицы как движение ведущего центра, т.е.
дрейфовое приближение, применимо, если изменение ларморовского
радиуса на одном обороте будет существенно меньше самого
ларморовского радиуса.
Это условие, очевидно, будет выполнено, если характерный
пространственный масштаб изменения полей будет значительно
превышать ларморовский радиус:
хар
lполя
что равносильно условию: rл
H
H
rл
1.
Очевидно, это условие выполняется тем лучше, чем больше величина
напряженности магнитного поля, так как ларморовский радиус убывает
обратно пропорционально величине магнитного поля.

Рассмотрим задачу о движении
заряженной частицы в
магнитном поле со скачком,
слева и справа от плоскости
которого магнитное поле
однородно и одинаково
направлено При движении
частицы её ларморовская
окружность пересекает
плоскость скачка. Траектория
состоит из ларморовских
окружностей с переменным
ларморовским радиусом, в
результате чего происходит
«снос» частицы вдоль плоскости
скачка. Скорость дрейфа можно
определить как
l 2V H 2 H1 V H
Vдр
t
H 2 H1 H
H1 H 2
V др е
e
H
Vдр i
i

Дрейф заряженных частиц вдоль плоскости скачка магнитного поля. Градиентный дрейф.

Дрейф возникает и том случае, когда слева
и справа от некоторой плоскости магнитное
поле по величине не меняется, но изменяет
направление Слева и справа от границы
частицы вращаются по ларморовским
окружностям одинакового радиуса, но с
противоположным направлением вращения.
Дрейф возникает, когда ларморовская
окружность пересекает плоскость раздела.
Пусть пересечение плоскости слоя
частицей происходит по нормали, тогда
ларморовскую окружность следует
«разрезать» вдоль вертикального диаметра
и затем, правую половину следует отразить
зеркально вверх для электрона, и вниз для
иона, как это изображено на рисунке. При
этом за ларморовский период смещение
вдоль слоя, очевидно, составляет два
ларморовских диаметра, так что скорость
дрейфа для этого случая:
4
Vдр
H1
H2
Vдр е
H1 H 2
e
Vдр i
i
V
2rл
л 2V
T
2
2
л
Градиентный дрейф при смене
направления магнитного поля

Дрейф в магнитном поле прямого тока.

Дрейф заряженных частиц в
неоднородном магнитном поле прямого
проводника тока связан, прежде всего с
тем, что магнитное поле обратно
пропорционально расстоянию от тока,
поэтому будет существовать градиентный
дрейф движущейся в нем заряженной
частицы. Кроме этого дрейф связан с
кривизной магнитных силовых линий.
Рассмотрим две составляющие этой силы,
вызывающей дрейф, и соответственно
получим две составляющие дрейфа.
Вращающуюся вокруг силовой линии
заряженную частицу можно рассматривать
как магнитный диполь эквивалентного
кругового тока. Выражение для скорости
градиентного дрейфа можно получить из
известного выражения для силы,
действующей на магнитный диполь в
неоднородном поле:
H
F H
H
W
H
Для магнитного поля, как можно показать,
справедливо соотношение:
H
Hn
Rкр
r
b r n
i
n
Rкр
H
R
Vдр i
Vдр е
e
Диамагнитный дрейф в магнитном
поле прямого тока.
c mV 2 H H
Vдр
2
q 2H
H
2
V H H
V 2
b
2
2 л
2 л Rкр
H

Центробежный (инерционный) дрейф.

При движении частицы,
навивающейся на силовую
линию с радиусом
кривизны R, на нее
действует центробежная
mv||2
сила инерциии
Fцб
n
R
возникает дрейфовая
скорость, равная по
величине
v цб
2
2
2
mv
v
v
c
|| 1
|| | B|
e RB
R B
и направленная по
бинормали
v цб
v||2 [ B B ]
B2

Поляризационный дрейф.

Дрейф в неоднородном магнитном поле прямого проводника тока
представляет собой сумму скоростей градиентного и
V2
центробежного дрейфов (тороидальный дрейф):
Так как ларморовская частота
содержит заряд, то электроны и
ионы в неоднородном магнитном
поле дрейфуют в
противоположных направлениях,
ионы в направлении протекания
тока электроны – против тока,
создавая диамагнитный ток.
Кроме того, при разделении
зарядов в плазме возникает
электрическое поле, которое
перпендикулярно магнитному
полю. В скрещенных полях
электроны и ионы дрейфуют уже
в одном направлении то есть
происходит вынос плазмы на
стенки как целого.
H
V||2
Vдр 2
b
л Rкр
Vдр
E

10. Тороидальный дрейф и вращательное преобразование

Картина принципиально
изменится, если внутри, в центре
сечения соленоида, поместить
проводник с током, или
пропустить ток непосредственно
по плазме. Этот ток создаст
собственное магнитное поле В,
перпендикулярное к полю
соленоида Вz, так что суммарная
силовая линия магнитного поля
пойдет по винтовой траектории,
охватывающей ось соленоида.
Образование винтовых линий
магнитного поля получило
название вращательного (или
ротационного) преобразования.
Эти линии будут замыкаться
сами на себя, если коэффициент
запаса устойчивости,
представляющий собой
отношение шага винтовой
силовой линии к длине оси тора:
Bz a
q

В астрофизических и термоядерных задачах значительный интерес представляет поведение частиц в магнитном поле, меняющемся в пространстве. Часто это изменение достаточно слабое, и хорошим приближением является решение уравнений движения методом возмущений, впервые полученное Альфвеном. Термин «достаточно слабое» означает, что расстояние, на котором В существенно изменяется по величине или по направлению, велико по сравнению с радиусом а вращения частицы. В этом случае в нулевом приближении можно считать, что частицы движутся по спирали вокруг силовых линий магнитного поля с частотой вращения, определяемой

локальной величиной магнитного поля. В следующем приближении появляются медленные изменения орбиты, которые можно представить в виде дрейфа их ведущего центра (центра вращения).

Первым типом пространственного изменения поля, которое мы рассмотрим, является изменение в направлении, перпендикулярном В. Пусть имеется градиент величины поля в направлении единичного вектора , перпендикулярного В, так что . Тогда в первом приближении частоту вращения можно записать в виде

здесь - координата в направлении и разложение производится в окрестности начала координат, для которого Поскольку В не меняется по направлению, движение вдоль В остается равномерным. Поэтому мы рассмотрим только изменение поперечного движения. Записав в виде , где - поперечная скорость в однородном поле, a -малая поправка, подставим (12.102) в уравнение движения

(12.103)

Тогда, удерживая только члены первого порядка, получаем приближенное уравнение

Из соотношений (12.95) и (12.96) вытекает, что в однородном поле поперечная скорость и координата связаны соотношениями

(12.105)

где X - координата центра вращения в невозмущенном круговом движении (здесь Если в (12.104) выразить через то получим

Это выражение показывает, что, помимо осциллирующего слагаемого, имеет отличное от нуля среднее значение, равное

Для определения средней величины достаточно учесть, что декартовы составляющие изменяются синусоидально с амплитудой а и сдвигом фазы 90°. Поэтому на среднее значение влияет лишь составляющая параллельная , так что

(12.108)

Таким образом, «градиентная» дрейфовая скорость дается выражением

(12.109)

или в векторной форме

Выражение (12.110) показывает, что при достаточно малых градиентах поля, когда дрейфовая скорость мала по сравнению с орбитальной скоростью .

Фиг. 12.6. Дрейф заряженных частиц, обусловленный поперечным градиентом магнитного поля.

При этом частица быстро вращается вокруг ведущего центра, который медленно движется в направлении, перпендикулярном В и grad В. Направление дрейфа положительной частицы определяется выражением (12.110). Для отрицательно заряженной частицы дрейфовая скорость имеет противоположный знак; это изменение знака связано с определением Градиентный дрейф можно качественно объяснить, рассматривая изменение радиуса кривизны траектории при движении частицы в областях, где величина напряженности поля больше и меньше средней. На фиг. 12.6 качественно показано поведение частиц с различными знаками заряда.

Другим типом изменения поля, приводящим к дрейфу ведущего центра частицы, является кривизна силовых линий. Рассмотрим изображенное на фиг. 12.7 двумерное поле, не зависящее от . На фиг. 12.7, а показано однородное магнитное поле параллельное оси Частица вращается вокруг силовой линии по окружности радиусом а со скоростью и одновременно движется с постоянной скоростью вдоль силовой линии. Мы будем рассматривать это движение в качестве нулевого приближения для движения частицы в поле с искривленными силовыми линиями, показанном на фиг. 12.7,б, где локальный радиус кривизны силовых линий R велик по сравнению с а.

Фиг. 12.7. Дрейф заряженных частиц, обусловленный кривизной силовых линий. а - в постоянном однородном магнитном поле частица движется по спирали вдоль силовых линий; б - кривизна силовых линий магнитного поля вызывает дрейф, перпендикулярный плоскости

Поправку первого приближения можно найти следующим образом. Поскольку частица стремится двигаться по спирали вокруг силовой линии, а силовая линия изогнута, то для движения ведущего центра это эквивалентно появлению центробежного ускорения Можно считать, что это ускорение возникает под действием эффективного электрического поля

(12.111)

как бы добавленного к магнитному полю . Но, согласно (12.98), комбинация такого эффективного электрического поля и магнитного поля приводит к центробежному дрейфу со скоростью

(121,2)

Используя обозначение запишем выражение для скорости центробежного дрейфа в виде

Направление дрейфа определяется векторным произведением, в котором R представляет собой радиус-вектор, направленный от центра кривизны к точке нахождения частицы. Знак в (12.113) соответствует положительному заряду частицы и не зависит от знака Для отрицательной частицы величина становится отрицательной и направление дрейфа меняется на обратное.

Более аккуратный, но менее изящный вывод соотношения (12.113) можно получить непосредственным решением уравнений движения. Если ввести цилиндрические координаты с началом координат в центре кривизны (см. фиг. 12.7,б), то магнитное поле будет иметь только -составляющую Легко показать, что векторное уравнение движения сводится к следующим трем скалярным уравнениям:

(12-114)

Если в нулевом приближении траектория представляет собой спираль с радиусом а, малым по сравнению с радиусом кривизны то в низшем порядке Поэтому из первого уравнения (12.114) получаем следующее приближенное выражение гаусс частицы плазмы с температурой имеют дрейфовую скорость см/сек. Это означает, что за малую долю секунды они вследствие дрейфа выйдут на стенки камеры. Для более горячей плазмы скорость дрейфа соответственно еще больше. Одним из способов компенсации дрейфа при тороидальной геометрии является изгибание тора в виде восьмерки. Так как частица обычно совершает много оборотов внутри такой замкнутой системы, то она проходит области, где как кривизна, так и градиент имеют различные знаки, и дрейфует поочередно в различных направлениях. Поэтому по крайней мере в первом порядке по результирующий средний дрейф оказывается равным нулю. Такой метод исключения дрейфа, обусловленного пространственным изменением магнитного поля, применяется в термоядерных установках типа стелларатора. Удержание плазмы в таких установках в отличие от установок, использующих пинч-эффект (см. гл. 10, § 5-7), осуществляется с помощью сильного внешнего продольного магнитного поля.

Дрейф заряженных частиц, относительно медленное направленное перемещение заряженных частиц под действием различных причин, налагающееся на основное движение. Так, например, при прохождении электрического тока через ионизованный газ электроны, помимо скорости их беспорядочного теплового движения, приобретают небольшую скорость, направленную вдоль электрического поля. В этом случае говорят о токовой дрейфовой скорости. Вторым примером может служить Д. з. ч. в скрещённых полях, когда на частицу действуют взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Скорость такого дрейфа численно равна cE/H , где с - скорость света, Е - напряжённость электрического поля в СГС системе единиц , Н - напряжённость магнитного поля в эрстедах . Эта скорость направлена перпендикулярно к Е и Н и накладывается на тепловую скорость частиц.

Л. А. Арцимович.

Большая Советская Энциклопедия М.: "Советская энциклопедия", 1969-1978