Скачать презентацию на тему подобие треугольников. Подобие прямоугольных треугольников. Практические приложения подобия треугольников

Геометрия

глава 7

Подготовила Кириллова Дарья, ученица 9 класса

Учитель Денисова Т.А.

1.Определение подобных треугольников

а)пропорциональные отрезки

б)определение подобных треугольников

в)Отношение площадей

а)Первый признак подобия

б)Второй признак подобия

в)Третий признак подобия

а)Средняя линия треугольника

б)Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

в)Практические приложения подобия треугольников

б)Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0 , 45 0 и 60 0

Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин, т.е. АВ:CD

АВ = 8 см

СD = 11,5 см

Отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и С 1 D 1 , если:

АВ= 4 см

CD= 8 см

С 1 D 1 = 6 см

А 1 В 1 =3 см

Подобные фигуры- это фигуры одинаковой формы

Если в треугольниках все углы соответственно равны, то стороны, лежащие напротив равных углов, называются сходственными

Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 углы соответственно равны

То АВ и А 1 В 1 ,ВС и В 1 С 1 ,СА и С 1 А 1 -сходственные

Два треугольника называются подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника

K- коэффициент подобия

назад

Стороны одного треугольника равны 15 см, 20 см, и 30 см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если периметр равен 26 см

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Доказательство:

Коэффициент подобия равен К

S и S 1 - площади треугольников, то

По формуле имеем

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны

Доказать:

Доказательство

1)По теореме о сумме углов треугольника

2)Докажем, что стороны треугольников пропорциональны

Аналогично и с углами

Итак, стороны

пропорциональны сходственным сторонам

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Доказать:

Доказательство

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны

Доказать:

Доказательство

Средней линией называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон

Теорема:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

Доказать:

Доказательство

Теорема:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Доказать:

Доказательство

В треугольнике АВС медианы АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S

Теорема:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику

Доказать:

Доказательство

Теорема:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой

Доказать:

Доказательство

Определение высоты предмета:

Определить высоту телеграфного столба

Из подобия треугольников следует:

Практические приложения подобия треугольников

Определение расстояния до недопустимой точки:

Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

Тангенс- отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике

0 , 45 0 , 60 0

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0 , 45 0 , 60 0

Изобразим: а) две неравные окружности; б) два неравных квадрата; в) два неравных равнобедренных прямоугольных треугольника; г) два неравных равносторонних треугольника. а) две неравные окружности; б) два неравных квадрата; в) два неравных равнобедренных прямоугольных треугольника; г) два неравных равносторонних треугольника. Чем отличаются фигуры в каждой представленной паре? Что у них общего? Почему они не равны?

В подобных треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 АВ = 8 см, ВС = 10 см, А 1 В 1 = 5,6 см, А 1 С 1 = 10,5 см. Найдите АС и В 1 С 1. А В С А1А1 В1В1 С1С,6 10,5 подобных,6 10,5 x y Ответ: AC = 14 м, B 1 C 1 = 7 м.

Физкультминутка: Долго тянется урок Много вы решали Не поможет тут звонок, Раз глаза устали. Занимаемся все сразу Повторим четыре раза. – Пройдите глазами по знаку подобия. – Закройте глаза. – Расслабьте мышцы лба. – Медленно переведите глазные яблоки в крайнее левое положение. – Почувствуйте напряжение глазных мышц. – Зафиксируйте положение – Теперь медленно с напряжением переведите глаза вправо. – Повторите четыре раза. – Откройте глаза. – Пройдите глазами по знаку подобия.

Первый признак подобия Теорема. (Первый признак подобия.) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. А В С С1С1 В1В1 А1А1 C"C" В"

Геометрия

глава 7

Подготовила Намазгулова Гульназ ученица 8б класса ГБОУ РПЛИ г.Кумертау

Учитель: Баянова Г.А.

Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин, т.е. АВ:CD

АВ = 8 см

СD = 11,5 см

Отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и С 1 D 1 , если:

CD= 8 см

АВ= 4см

С 1 D 1 = 6 см

А1В1=3 см

Два треугольника называются подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника

K- коэффициент подобия

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Доказательство:

Коэффициент подобия равен К

S и S 1 - площади треугольников, то

По формуле имеем

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны

Доказать:

Доказательство

1)По теореме о сумме углов треугольника

2)Докажем, что стороны треугольников пропорциональны

Аналогично и с углами

Итак, стороны

пропорциональны сходственным сторонам

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Доказать:

Доказательство

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны

Доказать:

Доказательство

Средней линией называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон

Теорема:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

Доказать:

Доказательство

Теорема:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Доказать:

Доказательство

Теорема:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику

Доказать:

Доказательство

Теорема:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой

Доказать:

Доказательство

Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

Тангенс- отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике

0 , 45 0 , 60 0

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0 , 45 0 , 60 0

«Задачи на подобие» - Подобные треугольники. Найти x, y, z. Пример № 4. Решение задач по геометрии на готовых чертежах. Условие задачи: Дано: ?ABC ~ ?A1B1C1. Темы задач. Пример № 2. Автор: Скурлатова Г.Н. МОУ «СОШ № 62». Первый признак подобия треугольников. Завершить презентацию. Пример № 1. Второй и третий признаки подобия треугольников.

«Урок Признаки подобия треугольников» - В подобных фигурах стороны пропорциональны. А. А1. Урок геометрии «Признаки подобия треугольников». В1. Цель урока: Обобщение по теме «Признаки подобия треугольников». Когда. В. В подобных фигурах углы равны. Подобные фигуры. Задачи урока: Треугольники подобны?

«Практические приложения подобия треугольников» - Какие существуют способы для определения высоты предмета? Вопрос учебной темы: Применение подобия треугольников. Презентация-реферат, буклет, информационный бюллетень по способам определения высоты предмета. Как с помощью простых приспособлений можно измерять высоту предмета? Учебные предметы: геометрия, литература, физика.

«Признаки подобия» - A. Подобные треугольники. C. АВС и А1 В1С1 –треугольники <А=А1; <В=<В1. C1. B. Дано. 4. Признаки подобия треугольников. 3. 1. 2.

«Подобие треугольников 8 класс» - 1 признак подобия треугольника. Подготовил ученик 8 «б» класса Михальченко Дмитрий. 3 признак подобия треугольника. Задача № 1. 2 признак подобия треугольника. Стороны a и d, b и c – сходственные. Применение подобия в жизни человека.

«Применение подобия треугольников» - Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Деление отрезка в заданном отношении. Разделить отрезок в отношении 2/3. Практическое применение подобия треугольников. В. Применение подобия треугольников при доказательстве теорем. Измерительные работы на местности. Теорема о средней линии треугольника.

Слайд 2 . На этом слайде показано, как представлена теорема Пифагора в учебнике. Текст и готовый чертеж. В презентации статический чертеж из учебника мы можем «оживить», т.е. показать последовательные шаги построения, показать динамику дополнительных построений, необходимых для доказательства.

Я работаю в классе с дистанционной мышью, поэтому я могу управлять презентацией и одновременно индивидуально работать с обучающимися. Я считаю это главным преимуществом применения презентаций на уроке геометрии. Я не «привязана» к доске, к компьютеру, имею дополнительное время для индивидуальной работы. Появившееся свободное время позволяет мне обойти всех детей и проверить правильность выполнения чертежа в тетрадях. Бывает ощущение, что в классе два учителя. Первый работает «в реале» индивидуально – это я. Второй виртуальный учитель, показывает шаги построения – это компьютер. У меня есть возможность по просьбе детей повторить шаги построения, прокрутить колесико мышки назад.

Слайд 3 . Теорема Пифагора. Алгоритм работы на уроке с модулем.

- Читаем теорему, выделяем условие и заключение теоремы.
- Для доказательства нам необходимо достроить треугольник до квадрата. Учитель демонстрирует построение на слайде, работая с дистанционной мышью, и ведет индивидуальную работу с обучающимися.
-Для доказательства вычисляем площадь построенного квадрата двумя способами.
Как можно вычислить площадь квадрата? Фронтальная работа над идеей доказательства.

Первый способ. S = а². Сторона квадрата равна (a+b), тогда S = (a+b)².

Второй способ вычисления с применением свойства площадей: площадь квадрата равна сумме площадей четырех прямоугольных треугольников и площади квадрата со стороной с.

Приравняем правые части этих равенств. Вызываю к доске ученика. Преобразования оформляем мелом на доске.

Слайд 4. Технически более сложный слайд. Использованы анимации: вращения, пути перемещения. В этом модуле используется анимационный герой для сопровождения объяснения.

Слайд 5. Используя презентацию можно дать значительно больший объем информации на уроке. Например, представить другие способы доказательства теоремы.

А сколько задач для отработки доказанных теорем можно предложить! Вот например, какие задачи я составила для отработки записи формулировки теоремы Пифагора.

Слайды 6, 7 для устной работы. Технически эти модули достаточно простые. Алгоритм работы на уроке.

Учитель. Какие прямоугольные треугольники вы видите на чертеже?
Обучающиеся должны сформулировать свойство диагоналей ромба и назвать все треугольники. А затем для каждого треугольника составить запись теоремы Пифагора.

Внеся небольшие изменения на слайдах, эти задания можно предложить на следующем уроке, как задания с последующей проверкой.

Алгоритм организации работы на уроке. Слайды 8, 9.

Слайд 8. Математический диктант. Записать последовательно теорему Пифагора для каждого треугольника. Треугольники появляются по щелчку мыши в любой части слайда (но не по шторке). Переходим на слайд 9. Еще для четырех треугольников записываем теорему. По кнопке возвращаемся назад на слайд 8. Щелчком по шторке открываем ответы. Самопроверка или взаимопроверка. Переходим на слайд 9, щелчком по шторке открываем ответы. В ходе урока можно запланировать 1 или более слайдов с самостоятельной работой с последующей самопроверкой.

Слайд 10. Алгоритмы организации работы на уроке над теоремой могут быть разными. В одном классе мы отработаем с теоремой одним способом, в другом классе организуем работу иначе. Например. Я рассмотрю свойство углов равнобедренного треугольника.

1 способ организации работы над теоремой.

Учитель. Выделяем условие и заключение теоремы.

Обучающиеся формулируют, что «дано» в теореме и что надо «доказать».

Учитель. Прошу закончить мои предложения-подсказки. Равенство углов следует обычно из … Учащиеся продолжают … из равенства треугольников.

Учитель. Значит, нам нужны треугольники. Чтобы треугольники появились, сделаем дополнительное построение. Придумайте, как разбить треугольник на два равные треугольника? Построим биссектрису ВD. (На этом построении показ презентации останавливаю).

Ученики обычно сразу видят равные треугольники. Докажем равенство треугольников. Один ученик приглашается к доске и мелом на доске записывает доказательство равенства треугольников. Выписывает равные элементы. Делает вывод, о равенстве треугольников, называет признак. Итоговый вывод, о равенстве углов при основании.

Учитель. Проверим и повторим доказательство. (Продолжает показ презентации).

Таким образом, доказательство выполнено обучающимся самостоятельно, а через проектор учитель показывает его еще раз, идет пошаговый разбор доказательства.

2 способ работы над теоремой.

Если в классе нет учеников, которые могут доказать теорему самостоятельно и сделать грамотные последовательные записи шагов доказательства от начала до конца.

Просматриваем весь ход доказательства от начала до конца. Делаем чертеж, формулируем условие и заключение теоремы. Оформляем в тетради чертеж, дано, доказать.

Обсуждаем доказательство фронтально. Вместе ищем равные элементы появившихся на чертеже треугольников. После устного разбора теоремы, вызываем к доске ученика, который сможет восстановить доказательство. Так и формулируем перед ним задачу «Восстановить доказательство». Колесиком на мышке возвращаемся на начало доказательства (Дано, доказать, ДП – биссектриса).

Итак, в первом случае учащиеся доказывают теорему самостоятельно . После этого показываем доказательство через проектор, обобщаем. Во втором случае сначала просматриваем доказательство через проектор, а затем просим восстановить доказательство .

Но бывают теоремы, которые ученикам не под силу доказать самостоятельно. Здесь учителю придет на помощь компьютер. В презентации можно «оживить» чертеж, анимировать последовательные шаги доказательства, используя выделение цветом фигур, сделать более доступным для понимания доказательство.

Слайды 11 – 13.

На слайде 11 дана визуальная подсказка компьютера – красным цветом выделены слова «Если» и «то». Не сложно сформулировать условие и заключение теоремы.

На слайде 12 анимированное доказательство. В подготовленном классе можно сначала просмотреть теорему, а затем предложить восстановить доказательство мелом на доске. После просмотра доказательства можно ПКМ выбрать Экран-Черный экран.

В другом классе можно одновременно с показом оформлять доказательство в тетради. На слайде приведены записи, которые должны быть оформлены в тетради.

Также можно привести и еще два случая, которые предложим для самостоятельного доказательства (например, выполнить по желанию дома). После оформления записей в тетради, просматриваем доказательство повторно. Учитель повторяет все шаги.

Я использовала еще такой алгоритм. Например, одновременно с демонстрацией, ученики записали доказательство в тетради. Т.е. одновременно смотрим, обсуждаем фронтально, записываем в тетради доказательство. После завершения этой работы, колесиком на мышке возвращаюсь на начало теоремы. Приглашаю к экрану ученика. С указкой в руке он доказывает теорему. А учитель, делая клик мышкой, раскрывает каждый верный шаг рассуждения.

Этот неплохой алгоритм я перестала использовать. Т.к. проектор в классе стоит на парте. В этом случае луч проектора светит в глаза ребенку, он зажмуривается, испытывает дискомфорт. Это очень вредно для глаз! Оптимальное место расположения проектора – на потолке. Тогда луч проектора идет у нас над головой, а не светит нам в глаза. Приглашая учеников к доске во время работы проектора, подбирайте удаленное место от экрана. Дорогие коллеги, берегите и свои глаза! Избегайте прямого попадания луча проектора в глаза.

На слайдах 14 -17 приведены игровые задания. Как сделать такие модули, описано в ресурсе «Геометрия. Применение презентаций для иллюстрирования определений». Используя время записи начала анимации с помощью триггера, можно делать игровые модули. Эти маленькие тестовые задания удачно предложить на любом этапе урока. Главное – мера.

Авторский прием. При изучении многих тем геометрии полезно давать «Парные задачи». Опять преимущество презентации в том, что можно заранее подготовить слайд. На доске мелом к уроку подготовить такие «пары» достаточно сложно, требуется время.

Цель составления «Парных задач» - это систематизация знаний по теме.

На слайде 18 приводится пример. Задачи по теме «Свойства параллелограмма» и «Признаки параллелограмма». Как организовать работу?

Учитель. На слайде даны две задачи. В первой задаче Дано: АВСD – параллелограмм, а во второй задаче надо доказать, что АВСD – параллелограмм. В какой задаче нам потребуются свойства параллелограмма, а в какой признаки параллелограмма?
Ученики. Дают ответ.
Устно решаем две задачи. Проговаривая формулировки применяемых свойств.

Слайд 19 – домашняя задача № 383.

Учитель. А вот ваша домашняя задача. Давайте разберемся, что вам потребуется для решения этой задачи: свойства или признаки параллелограмма.

Ученики. Дан параллелограмм АВСD, значит можно применить свойства параллелограмма. Чтобы доказать, что APCQ является параллелограммом потребуются признаки параллелограмма.

Мои ученики сразу увидели, что можно доказать равенство треугольников АВР и СDQ, DQ и СВР по 1 признаку равенства треугольников. Тогда, АР=СQ, PC=AQ, а если в 4-угольнике противолежащие стороны равны, то АРСQ параллелограмм.

А вот еще один способ, который заложен в анимациях слайда, пришлось им показать. Тогда они догадались, что есть и еще способ доказать, что АВСQ параллелограмм. Используя признак 3º, через диагонали.

Мы обсудили две дороги для решения этой задачи дома.

Слайд 20. Еще пример задач-пар. В 7 классе важно научить детей различать, в каких задачах потребуются признаки параллельности прямых, а в каких задачах необходимо применить обратные теоремы.

На этом слайде для парных задач дана визуальная подсказка – красным цветом на слайде выделено ключевое различие между задачами. В первой задаче цветом выделено «AB II CD», а во второй задаче «a II b». Если предложить подобные парные задачи на следующем уроке, то визуальную подсказку цветом уже можно не давать.

Учитель. Ключевое различие между задачами выделено на слайде цветом. В первой задаче требуется доказать, что прямые параллельны . А во второй задаче даны две параллельные прямые . В какой задаче потребуются признаки параллельности прямых. А в какой обратные теоремы – о пересечении двух параллельных прямых секущей?

Первую задачу решаем устно, с комментированием. Кстати, в первой задаче можно обосновать решение иначе: по признаку параллельности через односторонние углы.

Вторую задачу решаем в тетради. Начинаем рассуждать устно все вместе. Если никто не вспомнит, что такие задачи решаем алгебраическим способом, обозначив за "х" одну часть, то выводим визуальную подсказку сопровождающего героя «Пусть х – 1 часть». Далее дети вспомнят: тогда углы соответственно равны 5х и 4х, а сумма односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых третей равна 180º. Значит, можно составить уравнение.

Пусть (х)º – 1 часть

Составлю и решу уравнение…

Замечание. При записи решения в тетради я часто использую аббревиатуры. Например, ОУ – односторонние углы, аналогично, НЛУ, СУ. Теорема о трех перпендикулярах ТТП и т.д.

Слайды 21 – 23 . На этапе подготовки к новой теореме можно создать модули для организации повторения. Пример из курса геометрии 8 класса. Для доказательства теоремы о площади трапеции, мне потребовалось напомнить детям о свойстве площадей. Я решила рассмотреть задачу из учебника, чтобы доказательство теоремы дети затем смогли бы придумать сами.

Слайд 21. Повторили свойство площадей. С помощью этого свойства можно вычислять площади различных фигур, разбивая их на части.

Слайд 22. Рассмотрим задачу из учебника №478. На слайде показан способ построения четырехугольника. Начать построение удобно с диагоналей! А затем построить стороны четырехугольника. Никогда не вывожу на экран визуальных подсказок, сначала слушаю идеи учеников. Одна ученица предложила вычислить площадь для каждого из четырех прямоугольных треугольников, а затем их сложить. Других идей, к сожалению, предложено не было. Я пригласила девочку к доске, она решила задачу своим способом.

Снова предлагаю детям подумать. Ведь можно рассмотреть и другие треугольники и решить задачу проще. Теперь догадались. Назвали треугольники КМB, ВРК и МВР, МКР. Второй вариант рассмотрели устно. Какой способ более красивый? Тот, который мы записали в тетради или тот, который нам предлагает компьютер? Сделали выбор. Выгодно разбить фигуру на меньшее число частей. Мы начали чертеж с диагоналей, возможно, это и помешало детям мыслить. Но, тем не менее, мы подготовились к восприятию теоремы о вычислении площади трапеции.

Слайд 23 . Итак, предложите способ, как разбить фигуру на части, для которых мы можем найти площадь по известным нам формулам. Предложили диагональ ВD или АС.

С комментированием просматриваем анимации дополнительных построений, доказательства. Затем щелчок ПКМ, выбираем «черный экран». Оформите доказательство в тетради. Один ученик приглашается к доске.

Слайды 24 – 29. Фрагмент урока. Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Актуальны знания: следствие 2 об отношении площадей треугольников, имеющих равные высоты. Слайды 24, 25 актуализация знаний. Повторили, закрепили на примере. На слайде 25 обратили внимание, что для треугольника АВС высота лежит во внутренней области треугольника, а для треугольника FBR высота прошла во внешней области. Например, можно задать детям вопрос: чем различается расположение высоты для каждого треугольника?

В теореме очень сложный чертеж. Учителю сложно на доске начертить и одновременно оказать индивидуальную помощь детям. Работать над теоремой с заготовленным заранее модулем более удобно. Учитель показывает анимации, работая с дистанционной мышью, и одновременно работает индивидуально с обучающимися. Строим чертеж и доказываем вместе с компьютером.

Оговариваем, что вершину А 1 будем называть А. Поэтому А 1 запишем в скобках. После каждой анимации задаем детям вопрос. Например, вышла на экран высота СН. Для каких треугольников эта высота является общей?... Ответ. Как записать отношение площади треугольника АВС к площади АВ 1 С. Ответ… Выводим на экран высоту СН 1 . Для каких треугольников эта высота является общей?... Ответ. Как записать отношение площади треугольника АВ 1 С к площади АВ 1 С 1 . Ответ… Умножим равенства… и т.д.

Слайды 28, 29 для закрепления доказанной теоремы. Согласитесь, что выполнить всю эту работу мелом на доске учителю сложно. А значит, есть еще важное преимущество применения модулей: облегчить тяжелый труд учителя.